中考数学二轮复习 专题练习（下）几何问题—翻折问题 新人教版

7 7 翻折问题翻折问题 1 在中 为延长线上一点 为abcaabac 60bac dbce 内部一点 且 acd 90abeecd 1 若 如图 1 直接写出间的数量关系 60abe acbe 2 若 如图 2 求证 45abe 2beac 3 在 2 的条件下 如图 3 将线段沿翻折 翻折后的点落在点处 babeam 且 连接 交的延长线于 若 求的长 mcbc embcn2cn an 解析 1 acbe 提示 作于 交延长线于afbc fbgce ecg abac 1 2 bffcbc 9060abeecdabe 30ecd 30bcg 1 60 2 cbgbgbc abfebgbfbg rt abfrt ebgaa abbe acbe 2 作于 交延长线于afbc fbgce ecg abac 1 2 bffcbc 9045abeecdabe 45ecd 45bcg 45cbg 2 2 2bgbcbf abfebg rt abfrt ebgaa 2 bebg abbd 2beab 2beac 3 作于 于afbc fmhbe h 则 90abfbaf 1 2 bffcbc 由题意 45mbeabeabbm 90abm 90abfmbc bafmbc mcbc 90bcmafb abfbmcaa 2afbcbfbfmc 2bcmc 由 2 知 2beab 2bebm 45mbh 45bmh 2 2 1 2 bhmhbmbe bhehmh 45mehemh 90bme rt bmcrt mncaa 24mccn 468fcfnaf 2222 6810anfnaf 2 如图 在中 翻折 使点落在斜边上某一点处 rt abca90c c cabd 折痕为 点分别在边上 efef acbc 1 若与相似 cefaabca 当时 求的长 2acbc ad 当时 求的长 34acbc ad 2 当点是的中点时 与相似吗 请说明理由 dabcefaabca 解析 1 若与相似 cefaabca 当时 为等腰直角三角形 如答图 1 所示 2acbc abca 此时为边中点 dab 2 2 2 adac 当时 有两种情况 34acbc i 若 如答图 2 所示 3 4cecf cecfacbc efbc 由折叠性质可知 cdef 即此时为边上的高 cdab cdab 在中 rt abca34acbc 5ab 3 cos 5 ac a ab 3 cos31 8 5 adaca ii 若 如答图 3 所示 3 4cfce cefcabaa cefb 由折叠性质可知 90cefecd 又 90ab aecd adcd 同理可得 bfcdcdbd 此时 11 52 5 22 adab 综上所述 当时 的长为或 34acbc ad1 82 5 2 当点是的中点时 与相似 理由如下 dabcefaabca 如答图 3 所示 连接 与交于点 cdefq 是的中线 cdrt abca cddbab dcbb 由折叠性质可知 90cqfdqf 90dcbcfe 90ba cfea 又 cc cefcbaaa 3 在矩形中 点分别在边上 abcd ab a ad gh abdc 且 点为边上的一个动点 连接 把沿直线翻折得hahg eabheaheahe 到 fhea 1 如图 1 当时 dhda 填空 度 hga 若 求的度数 并求此时的最小值 efhg ahe a 2 如图 3 连接 交边于点 且602aehegbg fgdcp 为垂足 求的值 fgab ga 解析 1 45 分两种情况 第一种情况 如图 1 45haghga 180454590ahg 由折叠可知 45haefahefhe 又 efhg 45fhgf 904545ahfahgfhg 即 45ahefhe 22 5ahe 此时 当与重合时 的值最小 最小值是bga2 第二种情况 如图 2 efhg 45hgafea 即45aehfeh 由折叠可知 aehfeh 22 5aehfeh efhg 22 5ghefeh 9022 5112 5ahe 此时 当与重合时 的值最小bea 设 则dhdax 2ahghx 在中 rt ahga90ahg 22agahx aehfehghefeh aehghe 2ghgex 22abaexx 22 22 abxx a adx 2 过点作交于 hhqabq 则90aqhgqh 在矩形中 abcd90ddaq 90ddaqaqh 四边形为矩形 daqh adhq 设 则adxgby 2hqxegy 由折叠可知 60aehfeh 180606060feg 在中 rt efga cos604egefefy 在中 rt hqea 3 tan603 ho eqx 3 2 3 qgqeegxy hahghqab 3 2 3 aqgqxy 2 3 2 3 aeaqqexy 由折叠可知 aeef 2 3 24 3 xyy 3 3 yx 37 2223 33 abaqgbxyyx 7 3 3 ab a ad 4 如图 为等边三角形 为内一点 且 把abcadabca120adb 沿翻折 点落在点处 连接 adbabdaece 1 求证 bdcead 2 连接 若 求的长 cd87adcd ce 解析 1 将绕点逆时针旋转得 连接 abdaa60 acfadfcfef 则是等边三角形 adfa 60addfadfafd 120adb 180adbadf 三点在同一直线上bdf 120afcadb 60dfc 由题意 60edfadfdead dedf 是等边三角 形defa 60efdeaddfe 三点在同一直线上ecf bdcecfceefad 2 过作于ccgde g 是等边三角形 defa60def 设 则 cex 1 2 gex 3 2 cgx 1 8 2 dgx 在中 rt cdga 2 2 2 13 87 22 xx 解得 12 35xx 的长为或ce35 5 已知矩形的一条边 将矩形折叠 使顶点落在边上的abcd8ad abcdbcd 点处 p 1 如图 1 已知折痕与边交于点 连结 bcoapopoa 求证 ocppdaaa 若与的面积比为 求边的长 ocpapdaa1 4ab 2 若图 1 中的点恰好是边的中点 求的度数 pcdoab 3 如图 2 在 1 的条件下 擦去折痕 线段 连结 动点在线段aoopbpm 上 点与点不重合 动点在线段的延长线上 且 连apmpa nabbnpm 结交于点 作于点 试问当点在移动过程中 线段mnpbfmebp emn 的长度是否发生变化 若变化 说明理由 若不变 求出线段的长度 efef 解析 1 四边形是矩形 abcd90cd 90apddap 是由沿折叠 aopaaboaao 90apob 90apdcpo dapcpo ocppdaaa 的面积比为ocppdaaa ocppdaaa与1 4 2 1 4 ocp pda scp sad 1 2 cp ad 8ad 4cp 设 则abx 4dpx 在中 rt pdaa 222 apaddp 222 8 4xx 10 x 即边的长为ab10 2 折叠后与重合 aobaaopa apab oaboap abcd apcd 是的中点 pcd 1 2 dpap 90d 30pad 又 oaboap 30oab 3 线段的长度不变ef 作交于点mhbn pbh apab apbabp mhpabpmhfnbf mhpapb mpmh mpbn bnmh nfbmfh nbfmhfaa fhfb efehfh 1 2 efepfbpb 由 1 得 108abad 6dp 4pc 4 5pb 2 5ef 6 如图 1 在平行四边形中 点是边的中点 连接并延长 交abcdebcae 的延长线于点 且 连接 dcf2aecabe bfac 1 求证 四边形是矩形 abfc 2 在图 1 中 若点是上一点 沿折叠 使点恰好落在线段mbfamabmab 上的点处 如图 2 求的长 df b 1312abac mf 解析 1 四边形是平行四边形 abcd abdf abefcebaecfe 是的中点 ebcbece aebfecaa abfc 四边形是平行四边形abfc 22afaebcbe 2aecabeaecabebae abebae aebe afbc 四边形是矩形abfc 2 四边形是矩形 abfc1312abac 131290cfabbfacacfmfb 是由折叠得到的ab m aabma 13ababb mbm 在中 rt ab c a 2222 13125abab cc 13 5 8b fcfb c 设 则mfx 12b mbmx 在中 rt b mf a 222 b fmfb m 即 解得 222 812 xx 10 3 x 10 3 mf 7 在直角梯形中 点在abcd90adbcb 60c adcd e 射线上 将沿翻折 点落到点处 射线与射线交于点bcabeaaebfefcd m 1 如图 1 当点在边上时 求证 mcd 3 3 fmdmab 2 如图 2 当点在边的延长线上时 线段的数量关系是 ebcfmdmab 3 在 2 的条件下 过点作 垂足为点 设直线与直线aagcm gbg 交于点 若求的长 amn61adfm gn 解析 1 过作 交的延长线于 连接aagcd cdgamac adbc acbdac adcd acddac acbacd abag abaf afag 又90amamafmg amfamgaa fmgm fmdmdg 60adgbcd 33 33 dgagab 3 3 fmdmab 2 3 3 dmfmab 提示 过作于 连接aagcm gamac 同 1 可证 abagaffmgm dmgmdg 33 33 dgagab 3 3 dmfmab 3 连接 作于 于acmhbc hdkbc k 6160adfmbcd 63cdkc 3 3abdk 9bc 3 3 dmfmab 3 3 314 3 dm 105cmhc 5 3mh 4bh 设 则bex 14fexmexhex 222 mhheme 222 5 3 4 1 xx 解得 15x 156bece 60bcg 120ecg 30120acbacdbag amfamgaa mafmag 1 2 maegaceacmagbafeac 60baeeacbac 又 60gac gancae 120abagbag 30abg 150agnace agnaceaa 1 2 agac 1 2 3gnce 8 如图 1 等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形的顶点重合 将此三角板abcda 绕点旋转 使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边于点 abcdc ef 连结 ef 1 猜想三条线段之间的数量关系 并证明你的猜想 beefdf 2 在图 1 中 过点作于点 请直接写出和的数量关系 aamef mamab 3 如图 2 将沿斜边翻折得到 分别是rt abcaacrt adcaef 边上的点 连接 过点作于点bccd 1 2 eafbad efaamef 试猜想与之间的数量关系 并证明你的猜想 mamab 答 案 见解析 解析 1 猜想 bedfef 证明 延长到 使 连接cbgbgdf ag 四边形是正方形abcd 90abadabcd 90abg abgd abgadfaa agafgabfad 45904545eaffadbaebadeaf 45gaegabbae gaeeaf 又 agafaeae aegaefaa egef 即bedfef 2 amab 3 猜想 amab 证明 延长到 使 连接cbgbgdf ag 沿斜边翻折得到rt abcaacrt adca 90abadabcd 90abg abgd abgadfaa agafgabfad 1 2 eafbad 1 2 fadbaebad 1 2 gaegabbaefadbaebad gaeeaf 又 agafaeae aegaefaa egef aegaef ss aa 11 22 eg abef am amab 9 1 如图 1 将矩形纸片沿对角线折叠 使点落在点处 交abcdbdcebe 于点 adf 求证 bfdf 2 若矩形纸片中 将矩形沿过点的直线折abcd410abbc abcdb 叠 使点落在点处 折痕交线段 不含端点 于点 线段交cd eg adhbe 直线于点 图 2 是该矩形折叠后的一种情况 请探究并解决以下问题 adf 当为直角三角形时 求的长 behadh 当时 求的取值范围 110dh tanbeh 解析 1 由题意 12 adbc 13 23 bfdf 2 不与端点重合had 9090behebh 当为直角三角形时 只能beha90bhe 连接ch bcbecbhebhbhbh bchbehaa 90bhcbhe dhcabhaa dhab dcah 即 解得或 4 410 dh dh 2dh 8dh 当为直角三角形时 的长为或behadh28 behg behehg 4 tantan eg behehg ghgh 110dh tan4beh 0 4 10 已知矩形的一条边 将矩形折叠 使得顶点落在边abcd8ad abcdbcd 上的点处 p 1 如图 1 已知折痕与边交于点 连结 bcoapopoa 图中 cop 若与的面积比为 求边的长为 ocpapdaa14 ab 2 若图 1 中的点恰好是边的中点 求的度数为 度 pcdoab 3 如图 2 在 1 的条件下 擦去折痕 线段 连结 动点在线段aoopbpm 上 点与点不重合 动点在线段的延长线上 且 apmpa nabbnpm 连结交于点 作于点 试问当点在移动过程中 线mnpbfmebp emn 段的长度是否发生变化 若变化 说明理由 若不变 求出线段的长度 efef 解析 1 如图 1 四边形是矩形 abcd 90adbcdcabdabbcd 由折叠可得 apabpobopaobaoapob 90apo 90apdcpopoc dcapdpoc ocppda aa 与的面积比为 ocp apdaa14 11 42 ocopcp pdpada 222pdocpaopdacp 848adcpbc 设 则 opx 8obxcox 在中 rt pcoa 9048ccpopxcox 222 84xx 解得 5x 210abapop 边的长为 ab10 2 如图 1 是边的中点 p cd 1 2 dpdc dcababap 1 2 dpap 90d 1 2 dp sin dap ap 30dap 9030dabpaobaodap 30oab 的度数为 oab 30 3 作 交于点 如图 2 mqan pbq apabmqan apbabpabpmqp apbmqp mpmq mpmq mepq 1 2 peeqpq bnpmmpmq bnqm mqan qmfbnf 在和中 mfqanfba qmfbnf qfmbfn qmbn mfqnfb aa qfbf 1 2 qfqb 111 222 efeqqfpqqbpb 由 1 中的结论可得 4890pcbcc 22 844 5pb 1 2 5 2 efpb 在 1 的条件下 当点在移动过程中 线段的长度不变 长度为 mn ef2 5 11 问题解决问题解决 如图 1 将正方形纸片折叠 使点落在边上一点 不与点 abcdbcdec 重合 压平后得到折痕 dmn 当时 求的值为 1 2 ce cd am bn 类比归纳类比归纳 在图 1 中 若则的值等于 注 若答案不是整数 请化 1 3 ce cd am bn 为小数 若则的值等于 若 为整数 则的 1 4 ce cd am bn 1ce cdn n am bn 值等于 用含的式子表示 n 联系拓广联系拓广 如图 2 将矩形纸片折叠 使点落在边上一点 不与点重合 abcdbcdecd 压平后得到折痕设则的值等于 用含mn 11 1 abce m bcmcdn am bn 的式子表示 m n 方法指导 为了求得的值 可先求 的长 不妨设 am bn bnam 2ab 解析 解析 方法一 如图 1 1 连接bmembe 由题设 得四边形和四边形关于直线对称 abnmfenmmn 垂直平分 mnbe bmem bnen 四边形是正方形 abcd 90 2adcabbccdda 1 1 2 ce cede cd 设 则 bnx nex 2ncx 在中 rt cnea 222 necnce 解得 即 222 2 1xx 5 4 x 5 4 bn 在和在中 rt abmart dema 222 amabbm 222 dmdeem 2222 amabdmde 设则amy 2dmy 2222 2 2y 1y 解得即 1 4 y 1 4 am 1 5 am bn 方法二 同方法一 5 4 bn 如图 1 2 过点做交于点 连接n ngcdadgbe adbc 四边形是平行四边形 gdcn ngcdbc 同理 四边形也是平行四边形 abng 5 4 agbn 90mnbeebcbnm 90 ngbcmngbnmebcmng 在与中bceangma 90 ebcmng bcng cngm bcengm ecmg aa 51 1 44 amagmg am 1 5 am bn 类比归纳 或 2 5 4 10 9 17 2 2 1 1 n n 联系拓广 22 22 21 1 n mn n m 12 中 为延长线上一点 为abca60abacbac dbce 内部一点 且 acd 90abeecd 1 若 如图 1 直接写出间的数量关系 60abe acbe ac be 2 若 如图 2 求证 45abe 2beac 3 在 2 的条件下 如图 3 将线段沿翻折 翻折后的点落在点处 babeam 且 连接 交的延长线于 若 求的长为mcbc embcn2cn an 解析 1 acbe 提示 作于交延长线于afbc fbgce ecg 1 2 abacbffcbc 9060abeecdabe 3030ecdbcg 1 60 2 cbgbgbc abfebgbfbg rtrtabfebgabbe aa ac be 2 作于交延长线于afbc fbgce ecg 1 2 abacbffcbc 9045abeecdabe 4545ecdbcg 2 452 2 cbgbgbcbf rtrtabfebgabfebg aa 2 2 bebg beab abbd 2beac 3 作于于afbc fmhbe h 则 1 90 2 abfbafbffcbc 由题意 45mbeabeabbm 9090abmabfmbc bafmbc 90mcbcbcmafb 2abfbmcafbcbfbfmc aa 2bcmc 由 2 知 2beab 2bebm 21 4545 22 mbhbmhbhmhbmbe 45bhehmhmehemh 90rtrtbmebmcmnc aa 1 2 ncmc mcbc 248ncmcbc 68fnaf 2222 6810anfnaf 13 如图 1 四边形是一张正方形纸片 先将正方形对折 使与abcdabcdbc 重合 折痕为 把这个正方形展平 然后沿直线折叠 使点落在上 adefcgbef 对应点为 b 1 求的度数为 度 cb f 2 如图 2 在图 1 的基础上 连接 试判断与的大小关系 并ab b ae gcb 说明理由 3 如图 3 按以下步骤进行操作 第一步第一步 先将正方形对折 使与重合 折痕为 把这个正方形展abcdbcadef 平 然后继续对折 使与重合 折痕为 再把这个正方形展平 设和abdcmnef 相 交于点 mno 第二步第二步 沿直线折叠 使点落在上 对应点为 再沿直线折叠 使cgbefb ah 点落在上 对应点为 defd 第三步第三步 设分别与相交于点 连接 cgah mnpq b ppdd q qb 试判断四边形的形状为 并证明你的结论 b pd q 解析 1 如图 1 由对折可知 1 90 2 efccfcd 四边形为正方形 abcd 1 2 cdcbcfcb 又由折叠可知 1 2 cbcbcfcb 在中 rt b fc a 1 sin 2 cf cb f cb 30cb f 解法二 如图 1 连接 bd 2 理由如下 b aegcb 如图 2 连接b d 由对折知 垂直平分efcdb cb d 由折叠知 b cbc 四边形为正方形 abcdbccd 为等边三角形b ccdb db cd a 60cdb 四边形为正方形abcd 9030cdadabb da dbdadabdb a 1 180 75 2 db ab da 907515b aedabdab 由 1 知30cb f 30efbcb cbcb f 由折叠知 11 3015 22 gcbb cb b aegcb 3 四边形为正方形b pd q 如图 3 连接ab 由 2 知 b aegcb 由折叠知 gcbpcnb aepcn 由对折知 11 90 22 aebcnpaeabcnbc 又 四边形是正方形 abcdabbc aecnaebcnp aa ebnp 同理可得 fdmq 由对称性可知 ebfd ebnpfdmq 由两次对折可知 oeonofom 四边形为矩形obopodoq b pd q 由对折知 于点于点mnef opqb d o 四边形为正方形b pd q 14 如图 在中 是边上一点 rt abca9045cacbcd bc 是边上一动点 不与重合 过点作交于点3cd pacac ppebc ad e 1 设 求关于的函数关系式 apxdey yx 2 以为半径的与以为半径的能否相切 若能 求的值 peeadbdatan dpe 若不能 请说明理由 3 将沿直线翻折 得到 连接 当abdaadab d aecb c 时 求的长 acebcb ap 解析 1 在中 rt acda435accdad 即 pebc apae acad 5 45 xy 5 504 4 yxx 2 对于 对于 圆心距 3 4 e erepxa 2 d drdba 5 5 4 edx 当两圆外切时 ed rred 35 25 44 xx 解得 35 22 xpc pebcdpepdc 5 tantan 6 pc dpepdc cd 当两圆内切时 ed rred 35 2 5 44 xx 解得或 舍去 7 2 x 6x 1 2 pc 1 tantan 6 pc dpepdc cd 3 延长交于 则垂直平分ad bb fafbb 在中 rt bdfa2bd 4 sinsin 5 ac bdfadc ad 8 5 bf 16 5 bb adcbdfcaddbf 当时 acebcb caecbb aa 即 acbc aebb 45 16 5 5 y 64 5 25 y 解得 564 55 425 x 256 125 x 15 如图 把矩形纸片沿同时折叠 两点恰好落在边abcdefgh bc ad 的点处 已知 p9086fphpfph 1 求图 中矩形的边的长为 abcdbc 2 求图 中四边形的面积为 efhg 3 如图 点是直线上的动点 点是直线上的动点 连接mefngh 求的最小值为 a mmnnd a mmnnd 答案 24 57 6 24 解析 1 由题意 86bfpfchph 90fph 2222 8610fhpfph 810624bcbffhhc 2 连接becg adbcpefbfe a pfebfepefpfe 8pepf 同理 6pgph 8614egpepg 作于 则pqbc q 8 624 105 pf ph pq fh 1124288 1410 2255 efhg segfh pq 四边形 3 连接amdn 由题意 a mmnndammnndad 当点都落在线段上时 取得最小值mn ad a mmnnd 即等于线段的长ad 的最小值为 a mmnnd 24 16 如图 1 在梯形中 abcd9021abcdbabcd 为线段上的一动点 且和不重合 连接 过作bcmp bcbc pap 交所在直线于 设 pepa cdebpxcey 1 求与的函数关系式yx 2 若点在线段上运动时 点总在线段上 求的取值范围pbcecdm 3 如图 2 若 将沿翻折至位置 求4m pecapepega90bag 长为 bp 解析 1 9090ab cd