2020高考数学二轮总复习 课时跟踪检测（二十二）圆锥曲线中的证明、存在性问题 理

1 课时跟踪检测课时跟踪检测 二十二二十二 圆锥曲线中的证明 存在性问题圆锥曲线中的证明 存在性问题 a a 卷 1 2019 河南洛阳统考 已知圆m x a 2 y b 2 9 圆心m在抛物线 c x2 2py p 0 上 圆m过原点o且与c的准线相切 1 求抛物线c的方程 2 点q 0 1 点p 与q不重合 在直线l y 1 上运动 过点p作抛物线c的 两条切线 切点分别为a b 求证 aqo bqo 解 1 因为圆心m在抛物线c上 且圆m与抛物线c的准线相切 所以b 3 易 p 2 知圆m过点 又圆m过原点 所以b 所以 3 解得p 4 所以抛物线c 0 p 2 p 4 p 2 p 4 的方程为x2 8y 2 证明 设a x1 y1 b x2 y2 p m 1 因为c的方程为y x2 所以y x 所以抛物线c在点a处的切线斜率为 1 8 1 4 k x1 切线pa的方程为y y1 x x1 即y x x1 化简得 1 4 x1 4 x2 1 8 x1 4 y x x1x 1 8 2 1 1 4 又切线pa过点p m 1 故可得 1 x x1m 即x 2x1m 8 0 1 8 2 1 1 42 1 同理可得x 2x2m 8 0 则x1 x2为x2 2mx 8 0 的两根 2 2 所以x1 x2 2m x1x2 8 所以kaq kbq 0 y1 1 x1 y2 1 x2 x2 1 8 8x1 x2 2 8 8x2 x1 x2 8 x1 x2 x1 x2 2m 2m 8 故 aqo bqo 2 2019 湖北宜昌葛洲坝中学高三月考 已知椭圆c 1 a b 0 经过点a x2 a2 y2 b2 c的四个顶点构成的四边形面积为 4 1 3 2 3 1 求椭圆c的方程 2 e f为椭圆上的两个动点 是否存在这样的直线ae af 使其满足 直线ae的 斜率与直线af的斜率互为相反数 线段ef的中点在直线x 上 若存在 求出直线ae 1 2 和af的方程 若不存在 请说明理由 解 1 由已知得error 2 解得a2 4 b2 3 椭圆c的方程为 1 x2 4 y2 3 2 由题意知 直线ae的斜率存在且不为 0 设直线ae的方程为y k x 1 代 3 2 入 1 得 x2 4 y2 3 3 4k2 x2 4k 3 2k x 4k2 12k 3 0 设e x1 y1 f x2 y2 且x 1 是方程 的根 x1 4k2 12k 3 3 4k2 用 k代替上式中的k 可得x2 4k2 12k 3 3 4k2 故ef中点的横坐标为 x1 x2 2 4k2 3 4k2 3 1 2 解得k 3 2 直线ae af的方程分别为y x y x 3 或y x 3 y x 3 2 3 2 3 2 3 2 b b 卷 1 2019 河北邯郸联考 如图 设椭圆c 1 a b 0 的离心率为 a b分 x2 a2 y2 b2 1 2 别为椭圆c的左 右顶点 f为右焦点 直线y 6x与椭圆c的交点到y轴的距离为 过 2 7 点b作x轴的垂线l d为l上异于点b的一点 以bd为直径作圆e 1 求椭圆c的方程 2 若直线ad与c的另一个交点为p 证明 直线pf与圆e相切 解 1 由题可知 a 2c b2 3c2 c a 1 2 设椭圆c的方程为 1 x2 4c2 y2 3c2 由error 得 x c 1 a 2 b2 3 2c 7 2 7 3 故椭圆c的方程为 1 x2 4 y2 3 2 证明 由 1 可得f 1 0 b 2 0 设圆e的圆心为 2 t t 0 则d 2 2t 圆 e的半径为r t 直线ad的方程为y x 2 t 2 设过f与圆e相切的直线方程为x ky 1 则 t 整理得k 2 kt 1 1 k2 1 t2 2t 由error 得error 又 1 6 2t2 3 t2 2 4 6t 3 t2 2 3 直线pf与圆e相切 2 2019 重庆一中高三月考 如图 直线m tx y t2 0 t 0 与椭圆 y2 1 交 x2 4 于a b两点 与y轴交于g点 c为弦ab的中点 直线l x 2t分别与直线oc和直线 m交于d e两点 1 求直线oc的斜率和直线oe的斜率之积 2 分别记 ode和 ocg的面积为s1 s2 是否存在正数t 使得s1 6s2 若存在 求出t的取值 若不存在 说明理由 解 1 设a x1 y1 b x2 y2 c x3 y3 由点差法可得 y y 0 x2 1 x2 2 42 12 2 y1 y2 0 2y3 t 0 koc x1 x2 4 y1 y2 x1 x2 2x3 4 y3 x3 1 4t 再联立error 可求出e 2t t2 koe t 2 所以koc koe 1 8 2 假设这样的t存在 联立error yd 在 1 问中已解得ye t2 1 2 所以s ode s1 2t 1 2 t2 1 2 t 2 t2 1 2 4 在直线m y tx t2中令x 0 得yg t2 再联立error x3 y3 4t3 4t2 1 t2 4t2 1 所以s oc