初等几何作图

236 第十一章第十一章 初等几何作图初等几何作图 几何作图是证明图形存在性的一种方法 是建立几何观念的重要手段 也是初等几何 的重要组成部分 学习几何作图 有利于发展学生的逻辑思维能力 空间想象能力和创造 力 几何作图能促使学生用所学的命题解决某些具体问题 从而学会学以致用 本章主要 介绍尺规作图的基本知识和常用的作图方法 第一节第一节 尺规作图的基本知识尺规作图的基本知识 1 尺尺规规作作图图和作和作图图公法公法 1 11 1 几何作图几何作图 预先给出一些条件 求作具备这些条件的图形 这类问题叫做几何作图题 简称作图 题 或几何作图 1 21 2 尺规作图尺规作图 初等平面几何的研究对象不外乎直线 圆以及由它们或它们的部分所构成的图形 因 此 要作图 就必须使用作图工具 把图形具体地画出来 同样一个作图题 由于使用工 具的不同 可能会导致不同的结果 要么能作出该图形 要么作不出该图形 在传统的初 等几何里 只限用无刻度的直尺和圆规 在实际作图过程中也使用三角板 丁字尺 矩尺 量角器 比例规等作为辅助工具 两种作图工具 经过有限次手续可以完成的作图 叫做 尺规作图或规矩作图 有时也称初等几何作图 或欧几里德作图 1 31 3 作图公法作图公法 工具确定之后 还应明确工具所具有的功能问题 为此 在初等几何里先约定三条作 237 图公法 1 通过两个已知点可作一条直线 用直尺 2 已知圆心和半径可作一个圆 用圆规 3 两已知直线 一已知直线和一已知圆 或两已知圆如其相交 可求作其交点 用直尺和圆规 此外 还附加一个约定 在已知直线上或直线外均可以任意取点 但所取的点不得附 加任何特殊性质 作图公法是一种公共约定 是尺规作图的理论根据 用于假定作图的可能范围 只是作 图的基础 它仅可附和公理 而不能代替公理 在初等几何里 我们假定直尺和圆规可以而且只可以完成上述公法的作图 1 41 4 几何作图的条件几何作图的条件 求作的图形存在与否 与所给定的条件是否得当有密切的关系 正确的作图题所给定的 条件必须满足如下三点 1 条件要有相容性 在同一个作图题中 所给的诸条件必须彼此相容 否则 合乎全 部条件的图形必不存在 2 条件要有独立性 在同一个作图问题中 所给的诸条件 都必须是不能相互推出 的 否则 就有多余的条件 3 条件要有完备性 在同一个作图题中 所给的条件必须是能够作出所求的图形 否则 所求的图形将有无限多个 成为不定解问题 若所给的条件有矛盾 致使所求作的图形根本不存在 则称之为 无解 使用作图工具 依照给定条件 按正确合理的方法把所求的图形作出的过程 叫做解作图 题 1 51 5 几何作图分类几何作图分类 按所求图形位置的要求不同 几何作图可作如下分类 1 定位作图 如果求作的图形必须在指定的位置 就叫做定位作图 凡定位作图 能作 238 出多少个适合条件的图形 就算有多少个 解 2 活位作图 如果对于求作的图形的位置没有给予限制 就叫做活位作图 这一类又分 为两种 半活位作图 限制在某范围内的作图 但在此范围内作图位置不加限制 这叫做半活位 作图 例如 在定圆内作内接正方形 全活位作图 对于求作的图形的位置没有任何限制 就叫做全活位作图 例如 已知 三边长 求作三角形 对于活位作图 若所作出的适合条件的图形是全等形 则只算作一个解 不全等的才算作 不同的解 2 作作图图成法成法 根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作图 叫做作图成法 或叫做基本作图 题 作图成法在作图题中的作用与几何定理在证明中的作用类似 可以直接加以引用 不必 详细叙述其作图过程 作图成法的内容 随着教材安排的结构不同在各种不同的教材体系中有一定程度的不同 通 常所说的作图成法 有以下内容 1 作一条线段等于已知线段 2 作一个角等于已知角 3 已知如下条件 作三角形 三边 两边及其夹角 两角及其夹边 4 过已知点作已知直线的垂线 5 过一点作已知直线的平行线 6 作已知角的平分线 7 作已知线段的垂直平分线 8 平分一已知弧 9 分一线段成若干等分 10 作已知线段的和或差 239 11 作已知角的和或差 12 已知弓形的弦长和其内接角 求作弓形弧 13 内分或外分一线段成已知比 14 作三已知线段 的第四比例项 abc 15 作二已知线段 的第三比例项 即 abxbba 16 作二已知线段 的等比中项或比例中项 ab bxxa 17 已知线段 求作线段 ab 22 bax 18 已知线段 求作线段 ab 22 babax 将上述作图成法相互结合 可以得到一些较复杂的作图题 例 例 已知线段 作出 ba babababa 例 例 已知线段作 aa 例 例 设是已知线段 求作线段 gfedcba efg abcd x 作法作法 设 则 f bz y g cd z e ay x 所以 三次使用第四比例项的作图便得到所求线段 x 3 解作解作图题图题的步的步骤骤 240 解作图题的完整步骤有六步 1 已知 完整写出题设条件 2 求作 说明要作的图形必须具备题设条件 3 分析 在正式作图之前 寻求作图方法的线索 探索如何把求作的图 形逐步分解为有限个作图成法 作图公法的途径 这一步骤的程序如下 1 假定所求的图形已经作成 画一草图 设想已符合所有要求的条件 2 尽量考究图中各元素的大小 位置及相互间的关系 分析整个图形是否可以分解 为若干部分 逐步用作图成法或作图公法作出 如果线索不明 则可在草图里逐步添绘有关 的点 线 继续探索 直至将作图的全过程弄清楚 4 作图 根据分析所得的线索 依次叙述作图的方法 作图时 每作一点 一线或一 角 必须分别定名并完整写明它们所满足的条件 不能有形无名或有名无形 作图必须步步 有据 其根据是作图公法或作图成法 5 证明 作图之后 应逐条检验所得图形确实合乎所有要求的条件 用以证实作图无 误 6 讨论 作图时 一般只立通法 这叫做形式作图 然而一个作图的有解无解 应取决 于题设条件之大小 位置及其相互间的关系 所以不能因为已有形式作图而说问题一定有解 必须对所设条件在其变化范围内分别各种可能的情形 逐一加以推究 确定本题的解有多 少 这种通盘考虑种种可能情况 据以作出肯定性的判断解数的条文 叫做讨论 或推究 如果作图题只有一解 讨论可以省略 上述六个步骤是有机整体 缺一不可 其中 1 2 两步是准备阶段 第 3 步是关键 它 为作图题提供线索 这一步有时可以不写 但不能不想 第 4 步是核心 它是后两步的根据 第 5 步是保证解题的正确性 第 6 步是保证解题的完整性 作图题如果不加分析和讨论 很可能遗漏或出现多余的解 例例 4 给定不共线三点 求过作一直线使距 等远 ABCCAB 此题如果不加分析 按以下作法 就少了一个解 作法 作法 连 过点作的平行线 如下图 则 即为所求直线 ABCABll 241 显然如果是连结和线段的中点所得的直线 也是符合条件的 如下图 所以CABMl 本题应有两个解 例例 5 求作一个三角形 已知其两边及其中一边的对角 已知 给定线段 及角 ab 求作 作使 ABC bCAaBC A 分析 假设已作成 其中为已知 故可先作此角 顶点就确定了 ABC AA 在角的一边上截取 则顶点就确定了 至于顶点 它应在的另一边上 bAC CBA 又必须在圆上 所以得如下作法 aC 作法 作法 作 在射线上截取 以为心 以为半径作圆 设 XAYAYbAC Ca 其与射线交于点 则所求作的三角形就是 AXBABC P179 4 证明证明 由作法 有 即符合条件 AbAC aBC ABC 讨论 解的有无与多少 显然是取决于点之有无和它的数目 点应在射线BB 上 而不应在它过点的延长线上 若作于 并以表示AXAABCD Dh 那么 sin bhCD 1 若为锐角 则 时无解 ha 242 时有一解 是 Rt ha 时有两解 一为锐角 一为钝角 bah 时有一解 是等腰三角形 ba 时有一解 所成另一钝角不符合条件 ab 2 若为直角 则 时无解 ba 时有一解 所成二直角三角形合同 ab 3 若为钝角 则 时无解 或不成三角形或成为不符合条件的三角形 ba 时有一解 是钝角三角形 ab 第二节第二节 数域的扩充与三等分角数域的扩充与三等分角 数域是一个对于加减乘除四则运算都封闭的数系 按照这个定义 整数系不是数域 而 有理数系 实数系 复数系都是我们所熟悉的数域 随着数学的发展 一般的数域 如有 理数域 实数域 复数域等已不能满足人们深入研究问题的需要 这就使我们不得不了解 数域的扩充 1 数域的数域的扩扩充充 假定最初只给了一个元素 1 由 1 出发 我们能作出整个有理数域 从而能作出平面 上的所有有理点 即两个坐标皆为有理数的点 同样 我们能作出新的无理数 如 它2 不属于有理数域 从出发 通过 有理 作图 可以作出所有形如的数 这22ba 里是有理数 同样地 我们可以作出所有形如ba 或 2 2 dc ba 2 2 dcba 的数 这里是有理数 但这些数总可以写成的形式 例如ba dc 2ba 243 2 2 dc ba 2 2 dc ba 2 2 dc dc 22 2 2 dc bdac 22 2 22 qp dc adbc 这里是有理数 且分母不可能是零 同样qp 22 2dc 2 2 dcba 22 2 sradbcbdac 这里是有理数 因此 由的作图 我们产生了全部形如的数集 其中sr 22ba 是任意有理数 由此得ba 命题命题 1 形如的数形成一个域 2ba 证明证明 只需证 形如的两个数的和 差 积 商也是形如的数 且2ba 2ba 满足域的基本性质就行了 这是容易验证的 显然 这个域比有理数域大 事实上 在中取就可得到有理数域 将有理2ba 0 b 数域记为 这个数域记为 称它为的扩张 中的数都可以用直尺和圆规作出来 Q 1 QQ 1 Q 现在我们继续扩充可作数的范围 在中取一个数 如 求它的平方根而得到 1 Q21 k 可作图的数 21 k 用它可以得到所有形如 kqp 的数 它们也形成一个域 称为的扩张 记为 现在可以是中的任意数 1 Q 2 Qqp 1 Q 即形如 是有理数 qp 2ba ba 从出发 我们还可以进一步扩充作图的范围 这种办法可以一直继续下去 用这种 2 Q 办法得到的数都是可用直尺圆规画出来的 2 尺尺规规作作图图范范围围的的讨论讨论 244 借助于简单的尺规工具能够作出各种各样的几何图形 其可能性也许大大超出我们的 想象 如尺规作图可以把任意多边形化为一个等积的正方形 即作一个正方形与已知多边 形面积相等 但是 尺规作图也有一定的范围 下面我们依次讨论 命题命题 2 只用直尺作不出数域以外的数 F 证明证明 设 过点的直线方程是Fbaba 2211 2211 baba 1 12 12 1 ax aa bb by 或 0 12211221 babayaaxbb 它的系数是由中的数作成的有理式 F 今有两条以中的数为系数的直线 F 0 yx 0 cbyax 解此联立方程 可得交点坐标 ab ac y ab cb x 它们都是中的数 这样一来 只用直尺作图不能使我们超出的范围 FF 命题命题 3 由已知数域出发借助尺规能作且仅能作出数域 F aF 证明证明 根据以上讨论 只要能作出 则仅用直尺就能作出数域 a aF 下面证明尺规仅能作出数域 尺规操作仅能作以下图形 aF 1 过两个已知点作直线 求出两条已知直线的交点 2 过已知点用已知长为半径作圆 求出圆与直线 圆与圆的交点 用尺规事先确定平面的直角坐标系 这样 作法 1 2 相当于求解下列三种方程组 245 1 0 0 222 111 cybxa cybxa 2 0 0 222 22 111 cybxayx cybxa 3 0 0 222 22 111 22 cybxayx cybxayx 其中 1 3 的解含于 方程组 2 可化为Fcbacba 222111 F 0 2 cbxax 4 2 1 2 acbb a x 记 则 acb4 2 A AFx 命题命题 4 尺规作图不能三等分任意角 证明证明 只要证明存在一个角不能三等分就可以了 故只需证明尺规作图不能三等分 3 如图所示 设 并设线段的长为 1 假定三等分任意角是可能的 如图 60 QOPOP 设 那么点的纵坐标一定是有理数或二次不尽根 这相当于说 20 ROPR 是有理数或二次不尽根 我们用到公式OR 1cos cos3cos43cos 3 现在 所以 2 1 60cos3cos 2 1 cos3cos4 3 令并代入上式 得到 cos x 0168 3 xx 246 容易证明该方称没有有理根 否则若是方程的根 不妨假定是既约分数 则Q b a x b a 通分之后有 068 323 bbaa 说明整除 这与既约矛盾 显然也不是上述方程的根 因此其根都是无理数 a 3 bba 1 x 这就证明了三等分任意角是不可能的 我们知道角可作 因而正六边形可作 若角可三等分 则正 18 边形可作 从而 60 60 正 9 边形可作 刚才已经证明 角不可三等分 因而正 9 边形不能只用直尺和圆规作 60 出来 刚才我们讨论了尺规作图不能三等分任意角 但如果允许直尺除了用作画直线外还有 其它的用途 那么可作图的范围就扩大了 为了说明这一点 下面举一个三等分任意角的 例子 这个例子是在阿基米德的著作中发现的 问题问题 设是一个任意角 求 3 1 解解 在上图中 向左边延长的底边 以为圆心 以为半径作圆 在直尺上 Or 标出两点使 让点保持在半圆周上 直尺通过点 滑动并转动直尺 让BA rAB BP 点落在底边延长线上 直尺和的底边形成一个角 这就是所求的角 AA 证证 又 1BOAB 232 247 由外角定理 33 这就三等分了任意角 命题命题 5 尺规作图不能倍立方 设给定的立方体是单位立方体 它的边长是单位长度 若体积为这立方体体积两倍的立 方体的边长是 则x 02 3 x 如果立方倍积问题可解 则我们一定能用直尺和圆规构造出长度为的线段 但如同前面 3 2 的讨论方程没有有理根 也没有二次不尽根 由数 0 与 1 经过有限次加 减 02 3 x 乘 除 零不能作除数 以及正数的开方运算后得到的数称为二次不尽根 这样以来 立方倍积问题用尺规作图是不可能的 命题命题 6 尺规作图不能化圆为方 考虑半径为 1 的单位圆 它的面积为 现在构造一个边长为的正方形 它的面积 x 为 于是 由于是一个超越数 所以它不可能是二次不尽根 因此 xx 2 化圆为方 的问题用尺规作图是不可能的 由于尺规作图不能三等分任意角 倍立方体 化圆为方 从而形成数学史上著名的三 大难题 即著名的三大几何作图不能问题 3 正多正多边边形作形作图图 在讨论正多边形作图之前 首先给出高斯定理 高斯定理高斯定理 对奇数 当且仅当是一个费马素数 费马素数的一般公式是 nn 或者若干个费马素数的乘积时 正边形才能用直尺和圆规作图 122 n n Fn 依高斯定理 对有关正多边形作图探讨如下 248 1 用尺规可等分一个任意角 通过平分角 可作出正四边形 进而作出正边 180 n 2 形 3 2 n 2 是第一个费马素数 故我们能作出正三角形 从而可作出正3 n312 0 2 边形 n 23 3 是第二个费马素数 因此可以作出正五边形 5 n512 1 2 4 用直尺和圆规不可能作出正七边形 现在我们给出证明 正七边形的顶点是方程 1 01 7 z 的根 由 2 0 1 1 1 567 zzzzz 可知是方程的一个根 其它根满足方程1 z 3 01 23456 zzzzzz 用除 3 得 3 z 01 111 2 2 3 3 z z z z z z 通过简单的代数运算 可以把它化为 01 1 2 11 23 z z z z z z 令 则上式可化为 z zy 1 4 012 23 yyy 由于是 1 的 7 次根 故可设z cos isi