正切函数的性质与图像

正切函数的性正切函数的性质质与与图图像像 一 教材分析一 教材分析 1 1 教材的编写意图 地位和作用教材的编写意图 地位和作用 本节课是研究了正弦 余弦函数的图像与性质后 又一具体的三角函数 为后面学习解析 几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好知识储备 从内容和方法上都起着承上启下的作 用 2 2 学情分析学情分析 学生在前面的学习中 已经掌握了正切和正切线的定义 为本节课的学习提供了知识的保 障 学生在研究指数 对数函数 正弦 余弦函数过程中 积累了一些研究函数问题的方 法 当时主要是通过观察具体的图像特征 归纳得出函数性质的 本节课的内容为引导学生用 数形结合的思想方法研究数学问题 用严谨的代数论证解决数学问题提供了很好的条件 正切 函数的性质都可以利用学生已掌握的知识加以证明 这种在研究方法上的突破与飞跃 对培养 提高学生的数学能力是十分有意义的 3 3 重点难点分析重点难点分析 学生在学习函数的过程中已经知道 证明函数的单调性 奇偶性 周期性必须严格用定义 论证 在研究正弦 余弦函数的过程中 主要强调的是数形结合 从形中观察得到结论 由于 知识储备的不足 和差化积还没有学习 暂时没有证明 但我们在教学中强调的是 数形结合 观察得到的结论应该尽量用代数证明 代数论证是学生比较薄弱的一个环节 而研究正切函数 的性质 恰好为我们提供了一个培养学生代数论证能力的机会 根据以上的分析和教学大纲的 要求 本节课的教学重点难点为 重点重点 1 利用正切函数已有的知识 如定义 诱导公式 正切线等 研究性质 2 根据性质探究正切函数的图象 难点难点 画正切函数的简图 体会与 x 轴的交点以及渐近线在确定图象形状时 2 xkkZ 所起的关键作用 二 教学目标分析二 教学目标分析 依据教学大纲和学生获得知识 培养能力及情感态度等方面的要求 我从三个方面确定了 以下教学目标 1 知识目标 直接性目标 理解正切函数的定义及正切函数的图像特征研究并掌握正切函 数的基本性质 2 能力目标 发展性目标 在探究正切函数基本性质和图像的过程中 渗透数形结合的思 想 形成发现问题 提出问题 解决问题的能力 养成良好的数学学习习惯 3 情感目标 可持续性目标 在解决问题的过程中 体验克服困难取得成功的喜悦 增强 学习数学的兴趣 三 教法学法分析三 教法学法分析 1 教法分析 教法分析 新课程标准指出 教学过程是教师和学生共同参与的过程 要求我们在教学中应充分 体现 教师为主导 学生为主体 这一教学原则 启发学生自主性学习 充分调动学生的积极 性 主动性 有效地渗透数学思想方法 提高学生素质 根据这样的原则和所要完成的教学目 标 并为激发学生的学习兴趣 我采用如下的教学方法 1 启发式教学法 启发引导学生通过已掌握的知识去主动的探究正切函数的图像与性质 2 课堂讨论法 将观察 思考 讨论贯穿于整个教学环节之中 采用师生 生生互动式 教学模式 发现问题 提出问题 解决问题 体验研究函数的方法 提高解决问题的能力 3 多媒体演示法 教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教学 目的是充分发挥其快 捷 生动 形象的特点 为学生提供直观感性的材料 有助于学生对问题的理解和认识 教具教具 电脑 投影仪 课件 2 2 学法分析学法分析 教给学生方法比教给学生知识更重要 本节课注重调动学生积极参与 尽可能地增加学生 参与教学活动的时间和空间 我进行了以下学法指导 1 对照比较学习法 学会在遇到新问题时自觉寻求与已有知识间的联系 通过联系正余弦函 数图像与性质的研究方法 以及正切函数的定义 正切线的知识 发展认知结构 2 自主学习法 学生通过学案自主学习 并归纳总结 培养学生发现问题 研究问题和 解决问题的能力 3 合作学习法 学生通过学案引导 分组讨论 探究知识 并展示学习成果 4 反馈练习法 检验知识的应用情况 找出未掌握的内容及其差距 学具学具 学案 圆规 直尺 四 教学设计 四 教学设计 教学 环节 师生活动设 计 意 图 创创 设设 情境 情境 引引 入入 新新 课课 2 2 正切函数的定义 生生 复习正切函数定义 xytan 师 师 大家认为这个定义是否完善 强调 强调 2 xkkZ 师 师 今天我们就要研究正切函数 tanyx 的图像与性质 2 xkkZ 2 xkkZ 是学生容易出错的地 方 通过学生之间的 自我纠错 理解不能 取的理 2 kkZ 由 自自 主主 学学 习习 课 课 前 前 成成 果果 展展 示示 10 10 师 师 1 我们上节课是如何研究正余弦函数的图像与性质的 生 生 先做图 结合图像研究函数性质 师 师 2 作函数图像的常用的方法是什么 生 生 1 描点法是作函数图像最基本的方法 2 利用基本初等函数图像的变换作图 师 师 大家认为应该选择哪种方法呢 生 生 学生的回答会选择 1 教师引导 教师引导 描点应该结合函数的性质 描关键点 特殊 点 学生学生自主研究探索正切函数的性质 一 利用定义 研究函数的性质 一 利用定义 研究函数的性质 1 定义域 2 x xR xkkZ 学生可以迅速解决 2 值域 R 3 周期性 是最小正周期 学生会利用 得到是函数的周期 tan tanxx 4 奇偶性 奇函数 学生会利用迅速做出判断 tan tanxx 5 单调性 请学生回答 并讲清楚理由 从而引出对正切线的复习 复习正切线 利用正余弦函数 图像与性质的研究方 法明确研究思想 利用定义 诱导公式 研究函数的周期性 奇偶性 为研究函数 性质提供了方法 正切线是角 x 与 tanx 关系的直观体现 正切函数的性质融 于其中 函数在整个定义域上既不是增函数也不是减函数 注 注 1 有学生可能会在正切线的复习中 认为是个增函 数 若学生这样回答 则可以请同学思考 是否正确 如 何说明 2 有学生可能说因为是周期函数 所以不是单调函数 就请同学继续思考 周期函数不是单调函数的原因 举反例 这 121212 5 tantan 44 xxxxxx 与单调性的定义矛盾 对每一个 在开区间内 函kZ 22 kk 数单调递增 可以先作图 通过图观察得到结论 然后证明 建立单位圆中的 正切线与正切函数之 间的联系 引出利用 正切线研究正切函数 性质的方法 合合 作作 探探 究究 10 10 师 师 你能根据我们得出的正切函数的性质 画出它的图象 吗 试一试 生 生 同学之间相互合作 自主探究正切函数图象特征 展示 展示 教师借助实物投影展示学生的成果并讲评 师 师 多媒体演示演示正切函数 y tanx 图象几 2 2 x 何作法 从 数 到 形 研究函数 使学生明 确函数的每一个代数 性质反映在图象上都 有其相应的几何特征 培养学生的动手 操作能力 形成对正 切函数图像的感知 x y 2 2 师生共同探究 师生共同探究 根据正切函数的周期性 把上述图象向左 右扩展 得到正切函数 且Rxxy tan 的图象 称 正切曲线 zkkx 2 观察图像 进一步研究性质观察图像 进一步研究性质 师 师 请同学们认真观察正切函数的图像 发现有何特征 正切函数的图像是它的性质的直观表现 生 生 1 正切函数的图像是被相互平行的直线 x k k Z 所隔开的无穷多支形状完全相同的曲线组成 2 的 2 对每一个 在开区间内 函数kZ 22 kk 单调递增 3 正切函数的图像关于原点对称 师问 师问 还有其他的对 称中心吗 建立单位圆中的 正切线与正切函数之 间的联系 引出利用 正切线作正切函数图 像的方法 使用了多媒体投 影和计算机来辅助教 学 目的是充分发挥 其快捷 生动 形象 的特点 为学生提供 直观感性的材料 有 助于学生对问题的理 解和认识 再从 形 到 数 让学生经历正切函 数性质与图像不断的 完善过程 加强了对 数学推理论证能力的 培养 典典 例例 讲练 讲练 巩巩 固固 基基 础础 20 20 例 1 求函数的定义域 周期和单调区间 3 tan xy 说明 说明 大多数同学能够掌握的图像可以通 3 tan xy 过的图像向左平移个单位得到 从而方便地结tanyx 3 合图像研究性质 师 师 若改为呢 32 tan xy 研究的性质要困难的多 希望同学 32 tan xy 对于例 1 用的是 换元法 在研究正弦 余弦函数的类似问题 时已用过换元法 所 以在此不用介绍换元 法 直接让学生板演 是重点引导学生点评 掌握方法 能类比研究正弦 余弦函数时的方法解决 必要时通过代 换来解决 32 xt 分别请三位同学板演 其余同学在练习本上完成 评析 评析 1 明确解题步骤 2 采用类比方法得到正切函数周期的简便运算方法 T 练习 练习 研究函数的基本性质 tan 2 4 f xx 通过对实例的分 析 使学生能灵活应 用正切函数图象与性 质解题 归归 纳纳 升升 华华 2 2 小结 小结 学生交流在本节课学习中的体会 收获 交流学习过 程中的体验和感受 师生合作共同完成小结 1 理解了正切函数的定义 理解了正切函数的图像特征 掌握了正切函数的基本性质 2 由性质研究图像到由图像直观感知性质 体会了 数形结合的思想 3 体会成功的快乐 反思学习过程 总结本节课所学知识 方法 体会本节课的 研究思想 掌握学习 方法 课课 堂堂 延延 伸伸 1 1 分分层层作作业业 巩固拓展 巩固拓展 1 全体同学完成课本 46 页第 6 8 题 2 每