一元一次不等式和一元一次不等式组

第一章第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一元一次不等式和一元一次不等式组 1 1 不等关系 教学目标教学目标 教学知识点 1 理解不等式的意义 2 能根据条件列出不等式 能力训练要求 通过列不等式 训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力 情感与价值观要求 通过用不等式解决实际问题 使学生认识数学与人类生活的 密切联系以及对人类历史发展的作用 并以此激发学生学习数学的信心和兴趣 教学重点 用不等关系解决实际问题 教学难点 正确理解题意列出不等式 教学方法 讨论探索法 教学过程 一 创设问题情境 引入新课 导入 我们学过等式 知道利用等式可以解决许多问题 同时 我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系 利用不等关系同样可以解决实际问题 本节课我们就来了解不等关系 以及不等关系的应用 二 新课讲授 1 让学生列举生活中的不等关系的例子 身高 天平 走路速度等 2 不等式概念的引入 课本 P2 注意 一个是正方形和圆的面积计算公式 另一个是了解 不大于 不小于 等词的含意 不大于 就是等于或小于 不小于 就是等于或大于 做一做 课本 P4 解答 设这棵树至少生长x年其树围才能超过 2 4 m 得 3x 5 240 议一议 观察由上述问题得到的关系式 它们有什么共同特点 3 不等式的定义 一般地 用符号 或 或 连接的式子叫做不等式 4 例题 用不等式表示 1 a是正数 2 a是负数 3 a与 6 的和小于 5 4 x与 2 的差小于 1 5 x的 4 倍大于 7 6 y的一半小于 3 三 练习 1 课本 P5 随堂练习 四 课时小结 能根据题意列出不等式 特别要注意 不大于 不小于 等词语的理解 五 课后作业 P5 习题 1 1 1 3 1 2 不等式的基本性质 教学目标 教学知识点 1 探索并掌握不等式的基本性质 2 理解不等式与等式性质的联系与区别 能力训练要求 通过对比不等式的性质和等式的性质 培养学生的求异思维 提 高大家的辨别能力 情感与价值观要求 通过大家对不等式性质的探索 培养大家的钻研精神 同 时还加强了同学间的合作与交流 教学重点 探索不等式的基本性质 并能灵活地掌握和应用 教学难点 能根据不等式的基本性质进行化简 教学方法 类推探究法 即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质 教学过程 一 创设问题情境 引入新课 1 回忆等式的基本性质 基本性质 1 在等式两边都加上 或减去 同一个数或整式 所得的结果仍是等式 基本性质 2 在等式两边都乘以或除以同一个数 除数不为 0 所得结果仍是等式 2 导入 不等式与等式只有一字之差 那么它们的性质是否也有相似之处呢 二 新课讲授 1 不等式基本性质的推导 举例 3 5 3 2 5 2 3 2 5 2 3 a 5 a 3 a 5 a 所以 基本性质基本性质 1 在不等式两边都加上 或减去 同一个整式 不等号的方向不变 在不等式两边都加上 或减去 同一个整式 不等号的方向不变 举例 3 5 3 2 5 2 3 5 3 3 5 3 所以 2 1 2 1 基本性质基本性质 2 在不等式两边都乘以 或除以 同一个正数 不等号的方向不变 在不等式两边都乘以 或除以 同一个正数 不等号的方向不变 例 3 5 但 3 2 5 2 3 5 但 3 3 5 3 3 5 但 3 4 3 5 但 3 2 5 2 3 1 3 1 基本性质基本性质 3 3 在不等式两边同乘以 或除以 一个负数时 不等号的方向改变 在不等式两边同乘以 或除以 一个负数时 不等号的方向改变 2 用不等式的基本性质解释 的正确性 4 2 l 16 2 l 3 例题讲解 将下列不等式化成 x a 或 x a 的形式 1 x 5 1 2 2x 3 3 3x 9 4 议一议 讨论下列式子的正确与错误 1 如果 a b 那么 a c b c 2 如果 a b 那么 a c b c 3 如果 a b 那么 ac bc 4 如果 a b 且 c 0 那么 c a c b 5 等式和不等式的性质的区别和联系 区别 等式的两边同时乘以或除以同一个数 除数不为 0 时 所得结果仍是等式 不等式的两边同时乘以或 除以同一个数 除数不为 0 时会出现两种情况 若为正数则不等号方向不变 若为负数则不等号的方向改变 联系 不等式的基本性质和等式的基本性质 都讨论的是在两边同时加上 或减去 同时乘以 或除以 除 数不为 0 同一个数时的情况 且不等式的基本性质 1 和等式的基本性质 1 相类似 三 课堂练习 1 课本 P9 随堂练习 2 设 a b 用 或 号填空 1 a 1 b 1 2 a 3 b 3 3 3a 3b 4 5 6 4 a 4 b 7 a 7 b 7 a 7 b 四 课时小结 1 本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质 2 利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空 五 课后作业 习题 1 2 1 3 不等式的解集 教学目标 教学知识点 1 能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义 2 理解不等式的解 不等式的解集 解不等式这些概念的含义 3 会在数轴上表示不等式的解集 能力训练要求 1 培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力 2 经历求不等式的解集的过程 发展学生的创新意识 情感与价值观要求 从实际问题抽象为数学模型 让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作 用 通过探索求不等式的解集的过程 体验数学活动充满着探索与创造 教学重点 1 理解不等式中的有关概念 2 探索不等式的解集并能在数轴上表示出来 教学难点 探索不等式的解集并能在数轴上表示出来 教学过程 一 创设问题情境 引入新课 1 提问 不等式的基本性质 2 导入 上节课我们用类推的方法 仿照等式的基本性质推导出了不等式的基本性质 能不能按此方法推导 出不等式的解和解不等式呢 二 新课讲授 1 现实生活中的不等式 P10 引例 在课本与学生一起解决引例 2 想一想 1 x 5 6 8 能使不等式x 5 成立吗 2 你还能找出一些使不等式x 5 成立的x的值吗 不等式的解不唯一 有无数个解 3 不等式的解 不等式的解集 解不等式的概念 4 议一议 在数轴上表示不等式的解集 请你用自己的方式将不等式x 5 的解集和不等式x 5 1 的解集分别表示在数轴上 并与同伴交流 诠释在数轴上表示不等式的解集的意义 5 例题讲解根据不等式的基本性质求不等式的解集 并把解集在数轴上表示出来 1 x 2 4 2 2x 8 3 2x 2 10 三 课堂练习 P12 随堂练习 四 课时小结 1 理解不等式的解 不等式的解集 解不等式的概念 2 会根据不等式的基本性质解不等式 并把解集在数轴上表示出来 五 课后作业 习题 1 3 1 4 1 一元一次不等式 一 教学目标 教学知识点 1 知道什么是一元一次不等式 2 会解一元一次不等式 能力训练要求 1 归纳一元一次不等式的定义 2 通过具体实例 归纳解一元一次不等式的基本步骤 情感与价值观要求 通过观察一元一次不等式的解法 对比解一元一次方程的步骤 让学生自己归纳 解一元一次不等式的基本步骤 教学重点 1 一元一次不等式的概念及判断 2 会解一元一次不等式 教学难点 当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时 不等号的方向要改变 教学方法 自觉发现 归纳法 教师通过具体实例让学生观察 归纳 独立发现解一元一次不等式的步骤 并针对常见 错误进行指导 使他们在以后的解题中能引起注意 自觉改正错误 教学过程 一 创设问题情境 引入新课 导入 在前面我们学习了不等式的基本性质 不等式的解 不等式的解集 解不等式的内容 并且知道根据不 等式的基本性质 可以把一些不等式化成 x a 或 x a 的形式 那么 什么样的不等式才可以运用不等式的 基本性质而被化成 x a 或 x a 的形式呢 又需要哪些步骤呢 本节课我们将进行这方面的研究 二 讲授新课 1 一元一次不等式的定义 只含有一个未知数 未知数的指数是一次 这样的方程叫做一元一次方程 类推类推 只含有一个未知数 未知数的最高次数是一次 这样的不等式叫一元一次不等式 练习 下列不等式是一元一次不等式吗 1 2x 2 5 15 2 5 3x 240 3 x 4 4 1 x 1 三个条件 未知数的个数 未知数的次数 且不等式的两边都是整式 总结总结 不等式的两边都是整式 只含有一个未知数 并且未知数最高次数是 1 这样的不等式 叫做一元一次不等 式 2 利用基本性质解一元一次不等式的解法 例 1 解不等式 3 x 2x 6 并把它的解集表示在数轴上 解法一 利用基本性质来解 解法二 仿方程的解法来解 移项 合并同类项 系数化成 1 例 2 解不等式 并把它的解集在数轴上表示出来 2 2 x 3 7x 解不等式 5 3 12 x 3 解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系 联系 两种解法的步骤相似 区别 1 不等式两边都乘以 或除以 同一个负数时 不等号的方向改变 而方程两边乘以 或除以 同一个 负数时 等号不变 2 一元一次不等式有无限多个解 而一元一次方程只有一个解 例 3 求不等式 3 1 x 2 x 9 的负整数解 三 课堂练习 解下列不等式 并把它们的解集分别表示在数轴上 1 5x 10 2 3x 12 0 3 4 1 2 1 x 3 54 x 2 7 x 2 23 x 四 课时小结 1 一元一次不等式的定义 2 一元一次不等式的解法 3 解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系 五 课后作业 习题 1 4 六 活动与探究 求下列不等式的正整数解 1 4x 12 2 3x 9 0 1 4 2 一元一次不等式 二 教学目标 教学知识点 1 进一步巩固求一元一次不等式的解集 2 能利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题 能力训练要求 通过学生独立思考 培养学生用数学知识解决实际问题的 情感与价值观要求 通过学生自主探索 培养学生学数学的好奇心与求知欲 使他们能积极参与数学学习活动 锻炼克服困难的意志 增强自信心 教学重点 1 求一元一次不等式的解集 2 用数学知识去解决简单的实际问题 教学难点 能结合具体问题发现并提出数学问题 教学方法 在教师的引导下 学生探索的方法 教学过程 1 提出问题 引入新课 回忆 1 什么叫一元一次不等式和如何解一些简单的一元一次不等式 2 解一元一次不等式的一般步骤有 1 去分母 2 去括号 3 移项 合并同类项 4 系数化成 1 3 解不等式 x 15 x 7 解不等式 2 5 1 2 1 3 1 3 12 x 6 15 x 新课讲授 例 1 解下列不等式 并把它们的解集分别在数轴上表示出来 1 1 2 3 2 x 3 x 5 x 2 2 x 下面我们来学习有关不等式的应用题 例 2 一次环保知识竞赛共有 25 道题 规定答对一道题得 4 分 答错或不答一道题扣 1 分 在这次竞赛中 小明被评为优秀 85 分或 85 分以上 小明至少答对了几道题 4x 1 25 x 85 x 22 解一元一次不等式应用题的一般步骤 1 审题 找不等关系 2 设未知数 用未知数表示有关代数式 3 列不等式 4 解不等式 5 根据实际情况写出答案 例 3 小颖准备用 21 元钱买笔和笔记本 已知每支笔 3 元 每个笔记本 2 2 元 她买了 2 本笔记本 请你帮她算 一算 她还可以买几支笔 课堂练习 P17 随堂练习 1 2 课时小结 根据前面我们做的练习和例题 我们来总结一下解不等式的一般步骤 理论依据及注意事项 和解一元一次 不等式应用题的一般步骤 1 解一元一次不等式的一般步骤 2 解一元一次不等式应用题的步骤 课后作业 P17习题 1 5 1 5 1 一元一次不等式与一次函数 一 教学目标 教学知识点 1 一元一次不等式与一次函数的关系 2 会根据题意列出函数关系式 画出函数图象 并利用不等关系进行比较 能力训练要求 1 通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合 培养学生的数形结合意识 2 训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力 教学重点 了解一元一次不等式与一次函数之间的关系 教学难点 自己根据题意列函数关系式 并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答 教学方法 研讨法 即主要由学生自主交流合作来解决问题 老师只起引导作用 教学过程 创设问题情境 引入新课 新课讲授 1 一元一次不等式与一次函数之间的关系 如 在一次函数y 2x 5 中 当y 0 时 有方程 2x 5 0 当y 0 时 有不等式 2x 5 0 当y 0 时 有不等式 2x 5 0 由此可见 一次函数与一元一次方程 一元一 次不等式之间有密切关系 当函数值等于 0 时即为方程 当函数值大于或小于 0 时即为不等式 2 做一做 作出函数 y 2x 5 的图象 观察图象回答下列问题 1 x 取哪些值时 2x 5 0 2 x 取哪些值时 2x 5 0 3 x 取哪些值时 2x 5 0 4 x 取哪些值时 2x 5 3 要使 2x 5 3 也就是y 2x 5 中的y大于 3 那么过纵坐标为 3 的点作一条直 线平行于x轴 这条直线与y 2x 5 相交于一点B 4 3 则当x 4 时 有 2x 5 3 3 试一试 如果y 2x 5 那么当x取何值时 y 0 x 2 5 4 议一议 兄弟俩赛跑 哥哥先让弟弟跑 9 m 然后自己才开始跑 已知弟弟每秒跑 3 m 哥哥每秒跑 4 m 列出函数关 系式 画出函数图象 观察图象回答下列问题 1 何时弟弟跑在哥哥前面 2 何时哥哥跑在弟弟前面 3 谁先跑过 20 m 谁先跑过 100 m 4 你是怎样求解的 与同伴交流 解 设兄弟俩赛跑的时间为x秒 哥哥跑过的路程为y1 弟弟跑过的路程为y2 根据题意 得y1 4x y2 3x 9 如图 从图象上来看 课堂练习 P19 随堂练习 课时小结 本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系 并且能根据一次函数的图象求解不等式 课后作业 习题 1 6 1 5 2 一元一次不等式与一次函数 二 教学目标 教学知识点 进一步体会不等式的知识在现实生活中的运用 能力训练要求 通过用不等式的知识去解决实际问题 以发展学生解决问题的能力 情感与价值观要求 把数学知识与现实生活相联系 让学生体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的 作用 增强他们学数学的兴趣和积极性 从而更好地服务于社会 教学重点 利用不等式及等式的有关知识解决现实生活中的实际问题 教学难点 认真审题 找出题中的等量或不等关系 全面地考虑问题是本节的难点 教学过程 提出问题 导入新课 导入 我们已经学习了不等式的解法及应用 但是它的应用远不止于我们前面学过的这些 它的应用很广泛 新课讲授 例 1 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游 参加旅游的人数估计为 10 25 人 甲 乙两家旅行社的服务质 量相同 且报价都是每人 200 元 经过协商 甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠 乙旅行社表示可先免去一 位游客的旅游费用 其余游客八折优惠 该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少 解 设该单位参加这次旅游的人数是x人 选择甲旅行社时 所需费用为y1元 选择乙旅行社时 所需的费用为 y2元 则 y1 200 0 75x 150 x y2 200 0 8 x 1 160 x 160 例 2 某学校计划购买若干台电脑 现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为 6000 元 并且多买都有一定 的优惠 甲商场的优惠条件是 第一台按原价收费 其余每台优惠 25 乙商场的优惠条件是 每台优惠 20 1 分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关系式 2 什么情况下到甲商场购买更优惠 3 什么情况下到乙商场购买更优惠 4 什么情况下两家商场的收费相同 解 设要买x台电脑 购买甲商场的电脑所需费用y1元 购买乙商场的电脑所需费用为y2元 则有 1 y1 6000 1 25 x 1 6000 4500 x 1500 y2 80 6000 x 4800 x 2 当y1 y2时 有 4500 x 1500 4800 x 解得 x 5 3 当y1 y2时 有 4500 x 1500 4800 x 解得x 5 4 当y1 y2时 即 4500 x 1500 4800 x 解得x 5 课堂练习 某学校需刻录一批电脑光盘 若到电脑公司刻录 每张需 8 元 包括空白光盘带 若学校自刻 除租用刻录 机需 120 元外 每张还需成本 4 元 包括空白光盘带 问刻录这批电脑光盘 到电脑公司刻录费用省 还是自刻 费用省 请说明理由 解 设需刻录 x 张光盘 则到电脑公司刻录需 y1 8x 元 自刻录需 y2 120 4x 当 y1 y2 时 当 y1 y2 时 当 y1 y2 时 课时小结 本节课我们进一步巩固了不等式在现实生活中的应用 通过这节课的学习 我们学到了不少知识 真正体会 到了学有所用 课后作业 习题 1 7 第 2 题 1 6 1 一元一次不等式组 一 教学目标 教学知识点 1 经历通过具体问题抽象出不等式的过程 2 理解一元一次不等式组及其解的意义 初步感知利用一元一次不等解集的数轴表示求不等式组的解和解集的方法 能力训练要求 通过总结解一元一次不等式组的步骤 培养学生全面系统的总结概括能力 情感与价值观要求 1 加强运算的熟练性与准确性 2 培养思维的全面性 教学重点 掌握解一元一次不等式组的方法 教学难点 讨论求不等式解集的公共部分中出现的所有情况 并能清晰地阐述自己的观点 教学方法 自主与讨论相结合方法 即让学生自己解不等式组 然后讨论解中出现所有情况 创设问题情境 导入新课 导入 上节课我们学习了一元一次不等式的解法及应用 本节课我们将一元一次不等式组及解法 新课讲授 1 引例 某校今年冬季烧煤取暖时间为 4 个月 如果每月比计划多烧 5 吨煤 那么取暖用煤总量将超过 100 吨 如果每月比计划少烧 5 吨煤 那么取暖用煤总量不足 68 吨 该校计划每月烧煤多少吨 4 x 5 100 4 x 5 68 2 一元一次不等式组定义 同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起 组成一个一元一次不等式组 3 一元一次不等式组的解集 各个不等式的解集的公共部分 叫做这个一元一次不等式组的解集 4 例 1 解不等式组 并在数轴上表示解集 21 1 2 2 xx x 注意 强调在解集上取公共部分时要注意的事项 课堂练习 1 P26 随堂练习 课时小结 本节课我们学习了如下内容 1 知道一元一次不等式组的概念和一元一次不等式组的解集 2 练习了解一元一次不等式组 课后作业 习题 1 8 1 6 2 一元一次不等式组 二 教学目标 教学知识点 1 进一步巩固解一元一次不等式组的过程 2 总结解一元一次不等式组的步骤及情形 能力训练要求 通过总结解一元一次不等式组的步骤 培养学生全面系统的总结概括能力 情感与价值观要求 1 加强运算的熟练性与准确性 2 培养思维的全面性 教学重点 巩固解一元一次不等式组 教学难点 讨论求不等式解集的公共部分中出现的所有情况 并能清晰地阐述自己的观点 教学方法 自主与讨论相结合方法 教学过程 创设问题情境 导入新课 导入 上节课我们已经学习了如何解由两个一元一次不等式组成的不等式组的解法 本节课我们将继续加强 解法的熟练性和准确性 同时还要全面地对所有解的情况进行总结 新课讲授 1 例题 解下列不等式组 1 2 3 4 xx x 987 1 2 1 145 123 xx xx xx xx 2 3 71 2 1 1 325 62 1113 x x 答案 x 1 x x 4 无解 3 4 2 5 2 讨论解的情况 1 由得x 1 2 由 4 1 x x 3 4 3 4 2 3 x x x 得 3 由得 x 4 4 由得 无解 4 2 5 x x 2 5 3 4 x x 总结 两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形 设 a b 那么 1 不等式组 的解集是 x b 2 不等式组 的解集是 x a bx ax bx ax 3 不等式组 的解集是 a x b 4 不等式组 的解集是无解 bx ax bx ax 用语言简单表述为 同大取大 同小取小 大于小数小于大数取中间 大于大数小于小数无解 课堂练习 1 P28 随堂练习 2 补充练习 解下列不等式组 1 x 1 2 无解 3 2 x 1 1 3 21 4 2 3 x x xx 3 3 2 2 1 4 2 1 xx x xx xx 28 2 3 5 2 2 课时小结 本节课我们学习了如下内容 1 练习了解一元一次不等式组 2 总结了由两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的四种情况 课后作业 习题 1 9 1 6 3 一元一次不等式组 三 教学目标 教学知识点 能够根据具体问题中的数量关系 列出一元一次不等式组解决简单的问题 能力训练要求 通过例题的讲解 让学生初步学会从数学的角度提出问题 理解问题 并能综合运用所学的 知识解决问题 发展应用意识 情感与价值观要求 通过解决实际问题 让学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作 用 教学重点 用一元一次不等式组的知识去解决实际问题 教学难点 审题 根据具体信息列出不等式组 教学方法 启发诱导式教学 教学过程 创设问题情境 引入新课 如何用一元一次不等式组能解决一些实际问题呢 本节课我们将进行探索 新课讲授 1 做一做 甲以 5 km h 的速度进行有氧体育锻炼 2h 后 乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲 根据他 们两人的约定 乙最快不早于 1h 追上甲 最慢不晚于 1h15 min 追上甲 乙骑车的速度应当控制在什么范围 2 例题讲解 一群学生住若干间宿舍 每间住 4 人 剩 19 人无房住 每间住 6 人 有一间宿舍住不满 1 设有x间宿舍 请写出x应满足的不等式组 2 可能有多少间宿舍 多少名学生 解 1 设有x间宿舍 则有 4x 19 名女生 根据题意 得 2 解不等式组 得 9 5 x 12 5 因为x是整数 所以x 10 11 12 因此有三种可能 194 1 6 1946 xx xx 第一种 有 10 间宿舍 59 名学生 第二种 有 11 间宿舍 63 名学生 第三种 有 12 间宿舍 67 名学生 3 运用不等式组解决实际问题的基本过程 1 审题 设未知数 2 找不等关系 3 列不等式组 4 解不等式组 5 根据实际情况 写出答案 课堂练习 1 P32 随堂练习 课后作业 习题 1 10 1 7 回顾与思考 教学目标 教学知识点 1 不等式的基本性质 2 解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集 3 利用一元一次不 等式解决实际问题 4 一元一次不等式与一次函数 5 一元一次不等式组及其应用 能力训练要求 通过回顾本章内容 培养学生归纳总结能力和用数学知识解决实际问题的能力 情感与价值观要求 利用不等式及不等式组的知识去解决实际问题 让学生体会数学与自然及人类社会的密切 联系 了解数学的价值 增进学生对数学的理解和学好数学的信心 教学重点 掌握本章所有知识 教学难点 利用本章知识解决实际问题 教学方法 教师指导学生自己归纳总结法 教学过程 创设问题情境 引入新课 我们已经学完了本章的全部内容 这节课大家一起来进行回顾 新课讲授 1 简要概括本章的知识点 参考教学知识点 2 重点知识讲解 1 不等式的基本性质 等式不等式 两边都加上 或减去 同一个数或同一个整 式 所得结果仍是等式 两边都加上 或减去 同一个整式 不等号 的方向不变 两边都乘以 或除以 同一个数 除数不为 0 所得结果仍是等式 两边都乘以 或除以 同一个正数 不等号 的方向不变两边都乘以 或除以 同一个负 数 不等号的方向改变 例题讲解 下列方程或不等式的解法对不对 为什么 x 6 两边都乘以 1 得 x 6 x 6 两边都乘以 1 得 x 6 x 6 两边都乘以 1 得 x