《探索勾股定理》教学设计

探索勾股定理 教学设计 课标解读 课标解读 2011 年 新课程标准 中指出 学生学习应当是一个生动活泼的 主动的和富有个性 的过程 除接受学习外 动手实践 自主探究与合作交流同样是学习数学的重要方式 学生 应当有足够的时间和空间经历观察 实验 猜想 计算 推理 验证等活动过程 引导学 生独立思考 主动探索 合作交流 使学生理解和掌握基本的数学知识与技能 数学思想 和方法 获得基本的数学活动经验 教材分析 教材分析 勾股定理 是在学生已经学习了直角三角形两锐角的性质之后提出来的另一条性质 它 揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系 勾通了形与数的联系 是后面学习解直角三 角形的重要依据 勾股定理在生产与生活中应用广泛 再者 中国古代学者对勾股定理的 研究有很多重要成就 对勾股定理的证明采用了很多方法 对后世影响很大 是对学生进 行爱国主义教育的好素材 因此勾股定理是几何学中非常重要的定理 学情分析 学情分析 初二学生已具备一定的分析和归纳能力 对于勾股定理的得出 需要学生通过动手操 作 在观察的基础上 大胆地猜想数学结论 但对用割补法和面积法计算 验证几何命题还 有一定困难 因此在教学中需加强学生动口 动手 合作交流等能力 加强学生对猜想 归纳 推理 转化等数学思想的理解 教学目标 教学目标 1 在经历勾股定理探索的过程中 逐步发展自身的合情推理能力 进一步用心体会数形结 合思想 充分发挥自主探索精神 在小组合作中积极参与讨论 与他人分工 团结 合作 2 掌握勾股定理 了解利用拼图勾股验证勾股定理的方法 会初步运用勾股定理解决一些 简单的数学问题和实际问题 通过问题的解决 逐步体会勾股定理的应用价值 增强自信心 产生学习数学的更大兴趣 3 在阅读参考资料的过程中 了解了古今中外在勾股定理研究方面取得的伟大成就 慢慢 体会勾股定理的文化价值 感受数学文化 教学重点教学重点 勾股定理的探索及简单应用 教学难点教学难点 勾股定理的证明 教学方法 教学方法 本节课采用探究发现式教学 由浅入深 由特殊到一般地提出问题 鼓励学生 采用观察分析 自主探索 合作交流的学习方法 让学生经历数学知识的形成与应用过程 学法指导 学法指导 采用自主探索 小组合作交流的学习方式 评价设计 评价设计 1 2号学生回答问题奖励组内1颗星 3 4号学号学生回答问题奖励组内2颗星 5 6 号学生回答问题奖励组内3颗星 能够提出有价值的问题的小组 加2颗星 一般问题加1 颗星 前三名为明星小组 每组前三名为明星组员 教学程序 教学程序 环节一 创设情境 导入新课环节一 创设情境 导入新课 如图 这是某学校平面图的一部分 A处是教学楼 B处是学生食堂 从教学楼到食堂有一 条路 ACB 但一些不守纪律的同学经常从在教学楼与食堂之间一块长80米 宽60米的长 方形草坪上抄近路 结果草坪被踏出了一条斜路 你怎么看待这些同学的行为 你认为走 斜路比直路能少走多少米 这是我们生活中经常遇到的实际问题 那么将其转化为数学问题它又是已知什么求什么的 问题呢 已知直角三角形的两边 如何求第三边 这就是我们今天要共同探索的问题 直角 三角形三边的数量关系 设计意图 从学生熟悉的生活情景入手 构造现有知识不足以解决的问题 形成知识冲 突 让学生感受到探索本节知识的必要性 从而激发学生的学习热情 同时借助这个情境对 学生进行社会公德教育 使学生能够明辨是非 更加规范自己的行为 养成良好品德 标准 指出 要让学生在生动具体的情境中学习数学 要让学生在现实的情境中体 验和理解数学 要选择具有现实性和趣味性的素材作为学习的背景等 好奇心 求知欲 是学生学习数学的原动力 在教学中选择联系学生生活的 学生关注的 感兴趣的素材作为 A A B BC C 认识的背景 激发学生的求知欲 培养学生的学习兴趣 环节二 合作探究 发现新知环节二 合作探究 发现新知 活动一活动一 地砖里的秘密地砖里的秘密 在2500年前 古希腊著名的数学家毕达哥拉斯就已经对直角三角形三边的数量关系 有了明确的结论并给予了证明 相传他对三角形三边关系的发现竟然是从地砖中得到的 现在就让我们一同回到2500年前 体验一下毕达哥拉斯的经历 设计意图 通过讲述故事来进一步激发学生学习兴趣 使学生在不知不觉中进入学习的 最佳状态 通过故事也使学生明白 科学家的伟大成就多数都是在看似平淡无奇的现象中发 现和研究出来的 生活中处处有数学 我们应该学会观察 思考 将学习与生活紧密结合 起来 问题 1 地砖是由全等的直角三角形拼接而成的 每个直角三角形都相邻三个正方形 这 三个正方形面积间有怎样的关系呢 你是怎么看出来的 问题 2 如果用直角三角形三边长来分别表示这三个正方形的面积 又将反映三边怎样的 数量关系 A B C 等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 设计意图 对地砖中图形的探索 培养学生能够用数学的眼光认识生活中现象的能力 将面积关系转化为等腰直角三角形三边之间数量关系 让学生体验 面积法 在几何证明 中的作用 为探索一般直角三角形三边关系提供了方法线索 活动二活动二 探究猜想验证探究猜想验证 1 等腰直角三角形三边满足上述关系 那么一般直角三角形呢 下面我们借助网格进 行探索 每个小格代表一个单位面积 Q Q P P ED F R R 问题 1 请分别求出三个正方形的面积分别是几个单位面积 问题 2 你能发现这三个正方形的面积间有怎样的关系吗 问题 3 由此你能发现直角边长为 3 和 4 的直角三角形的三边具有怎样的数量关系 学生先独立思考 然后小组合作探究 共同交流 小组代表发言 全班集体交流 后多媒 体展示 用数学语言表述你的猜想 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 设计意图 由等腰三角形到一般直角三角形 渗透了从特殊到一般的数学思想 在探索的 过程中 让学生进一步体会毕达哥拉斯的面积法 也再次位猜想提供了有力的证据 不仅 如此 正方形 C 面积的计算方法已经体现了 割 和 补 拼 的思想 这位下一步应 用面积仅行一般化证明做好了铺垫 通过小组合作培养学生的合作意识 团队精神 通过探 究活动来培养顽强刻苦 战胜困难的意志品质 完善学生的人格品质 引领学生运用特殊和 一般的对立统一 茅盾转化的观点去分析问题 解决问题 深透辨证唯物主义观点 2 动手实践 1 画图 每个小组1号 3号同学画两直角边长分别为 6cm 和 8cm 的直角三角形 2号 4号同学画两直角边长分别为 5cm 和 12cm 的直角三角形 2 测量 请用刻度尺量出斜边的长 3 计算验证 三边长度是否满足上述关系 综合上述结果 你能用文字语言叙述这一结论吗 屏幕展示 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 这一活动学生先独立画图验证探究得到的结论 然后同桌交流 组长评阅 设计意图 标准 把 双基 变为 四基 数学基本活动经验就是新增的内容之一 本环节使学生有了参与数学活动的经历 并在数学活动过程中有了一定的感性认识 情绪 体验和观念意识 3 几何画板验证 是不是所有直角三角形两直角边的平方和都等于斜边的平方 请看几何画板的动态演 示 改变直角三角形的边长 观察三边是否满足上述数量关系 如果直角三角形两直角边的 长分别为a b 斜边为c 那么a b c之间会满足怎样的关系呢 设计意图 通过几何画板的动态演示帮助学生进一步理解这一规律的一般化 刚才我们利用几何画板进一步验证了直角三角形三边的数量关系 但是我们知道任何定 理都必须通过严格的逻辑推理论证才能成为我们证明的依据 我们能从理论上进一步来证 明这一猜想的正确性吗 其实这一结论是可以证明的 两千多年来 人们对勾股定理的证明颇感兴趣 古往今 来 下至平民百姓 上至帝王总统 都曾经探讨和研究过它的证明 有资料表明 关于勾股 定理的证明方法有500多余种 仅我国清末数学家华衡芳就提供了二十多种精彩的证法 今 天我们也来证明一下怎么样 4 拼图验证 1 请同学们以小组为单位用你们手中四个全等的直角三角形 试着动手拼一拼 证一证 看看能不能得到一个以斜边C为边长的正方形图案 或者能不能得到一个以a b为边长的 正方形图案 2 你能用两种方法表示大正方形的面积吗 你能用它说明勾股定理吗 化简得 a a2 2 b b2 2 c c2 2 勾股定理 如果直角三角形的两直角边分别为勾股定理 如果直角三角形的两直角边分别为 a b a b 斜边为斜边为 c c 那么那么 a a2 2 b b2 2 c c2 2 即直角三即直角三 角形两直角边的平方和等于斜边的平方角形两直角边的平方和等于斜边的平方 图形语言 2 cS 大正方形 2 2 1 4abab C C b b C C C C a aa a a a a a C C a ab b C C b b b b b b a a a a a a C C C C C C 在 ABC 中 C 90 设计意图 学生用直角三角形模具完成拼图 老师巧妙的设置开放性问题情境 让学生 充分发挥想象力和设计才能 培养了学生的动手操作能力 让学生体会应用图形 格补拼 接 面积不变的特点来验证直角三角形三边数量关系的猜想 培养学生由数到形的数学思 想及转化的能力 在实验拼图探究的过程中也发展了学生的空间想象力和合情推理能力 通过探索活动学生可以从中领悟出 实践出真知 的道理 想知道勾股定理的由来吗 请看知识链接 知识链接知识链接 在西方 古希腊的数学家毕达哥拉斯首先发现了这一关系 因此在国外人们 通常称 毕达哥拉斯 定理 毕达哥拉斯发现了这个定理后 即斩了百头牛作庆祝 因此 又称 百牛定理 法国 比利时人又称这个定理为 驴桥定理 但是他们发现的时间比 我国晚500多年 我国是最早发现这一几何宝藏的国家 在我国古代 人们把弯曲成直角的 手臂的上半部分称为勾 下半部分称为股 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为 勾 较长的直角边称为股 斜边称为弦 根据 周髀算经 记载 西周开国时期 公元前 1000多年 有个叫商高的人对周公说 把一根直尺折成直角 两端连接得一直角三角形 如果勾是3 股是4 那么弦是5 人们就把这个发现称为勾股定理 在中国 又称 商高 定理 可见我国古代人民对人类的杰出贡献 设计意图 勾股定理的由来与发展 使学生开阔眼界 产生学好新知识的欲望和正确的 学习动机 增强学习动力 这样既激发了学生的兴趣 又增加了课堂的愉悦气氛 同时也对 学生进行了爱国主义教育 让他们感受我国古代数学的伟大成就 增强学生的民族自豪感和 自信心 树立长大后为祖国社会主义建设作贡献的雄心壮志 同学们刚刚亲身经历了勾股定理的探索过程 并且了解了勾股定理的由来 其实很多 科学家的伟大成就都是在看似平淡无奇的现象中发现和研究出来的 生活中处处有数学 只要我们用心观察 有一天我们也会成为某一伟大成就的发现者 勾股定理有着悠久的历史 它是几何学中的明珠 请看知识链接 知识链接 我国古代著名的数学家赵爽也是用这个图 形来证明的 所以这幅图又被称为赵爽弦图 我们再看 222 cba A A C CB B a a b c 这是2002年在北京召开的国际数学家大会的现场 此次大会的会徽就是用赵爽弦图为基础 设计的 我们知道国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议 被称为数学界 的 奥运会 这么高层次的大会 选择这个图案作为会徽 你决得有什么寓意呢 勾股定理是一个基本的几何定理 它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一 是数形结合的纽带之一 在古今中外的数学中占有十分重要的地位 在科学研究中也发挥着 重要的价值 请看下面的阅读材料 阅读材料 阅读材料 世界上有外星人吗 现在世界上的许多科学家正在试探着寻找 外星人 人们为了取得与外星人的联系 想了很多方法 早在1820年 德国著名数学家高斯 就曾提出就曾提出 可在西伯利亚的森林里伐 出一片直角三角形的空地 然后在这片空地里种上麦子 以三角形的三条边为边种上三片 正方形的松树林 如果有外星人路过地球附近 看到这个巨大的数学图形 便会知道 这 个星球上有智慧生命 我国数学家华罗庚也曾突出 若要沟通两个不同星球的信息交往 最好利用太空船戴 上这个图形 并发射到太空中去 假如我们一旦和外星人见面 该使用什么语言呢 使用 符号语言 与外星人联系是最经济和最有效的 华罗庚认为 我们可以用两个图形作为与 外星人交谈的媒介 一个是 数 一个是 数形关系 也就是勾股定理 因为这种自然图 形所具备的 数形关系 在整个宇宙中是普遍的 前面我们亲自探索并验证了勾股定理 了解了勾股定理的由来和发展及价值 那么我 们能够灵活运用它来解决数学问题和实际问题吗 环节三 应用迁移 内化知识 环节三 应用迁移 内化知识 A组 1 做一做 P 625 400 B A C P的面积 AB BC AC 2 如图以正方形G的一边为斜边 向外作直角三角形 再以这个直角三角形的两直角边为 边向外做正方形E和F 再以两个正方形的边为斜边继续向外作直角三角形 再以两个直 角三角形的直角边为斜边分别向外做四个正方形A B C D 其中最大的正方形A的边长 为7cm 则正方形A B C D的面积之和是多少 49 cm2 拓展 如果按照这样的规律继续画下去 那么最末端的分支上的所有小正方形的和会是多 少 3 自主完成例题 例 1 在 ABC中 C 90 如果c 10 a 6 求b的长 设计意图 设计意图 练习题由浅入深 前面两组难度值不大 可以让大部分学生体验到成功的 喜悦 同时体现了方程思想及面积法解题的思想 B 组 如图 这是某学校平面图的一部分 A处是教学楼 B处是学生食堂 从教学楼到食 堂有一条路ACB 但一些不守纪律的同学经常从在教学楼与食堂之间一块长80米 宽60 米的长方形草坪上抄近路 结果草坪被踏出了一条斜路 你怎么看待这些同学的行为 你 认为走斜路比直路能少走多少米 设计意图 同时通过利用勾股定理解决生活中的实际问题 让学生感受数学源于生活又 作用于生活 数学是为生活服务的 感受数学的应用价值 环节四环节四 总结反思总结反思 拓展升华拓展升华 我学会了那些知识 我掌握了哪些方法 我获得了哪些思想 我收获到哪些经验 还有哪些困惑 A A B BC C 设计意图 能够清晰的表达出来的 才是学生真正拥有的 课堂小结 采用自由交流的 形式 鼓励学生多方面 多角度整理一节课的收获 使他们能够善于表达 用心倾听 相互 分享 通过不同层面的广泛交流 发展学生的表达能力 养成反思的习惯 全员参与 体现 集体的智慧 培养学生良好的学习习惯 使学生在数学学习过程中学会做人 环节五 盘点收获环节五 盘点收获 检测新知检测新知 受台风麦莎影响 一棵树在离地面4米处断裂 树的顶部落在离树跟底部3米处 这 棵树折断前有多高 设计意图 达标检测时对学生的一种评价和激励措施 所以题目难度适宜 面向绝大多 数同学 能够使不同层次的学生体会到成功的喜悦 环节六 推荐作业环节六 推荐作业 分层落实分层落实 1 必做题 27页 习题2 1 第1 3题 用第2幅拼图验证勾股定理 2 阅读课本 36页 课题学习 了解勾股定理的多种证法或利用网络搜集其他更多证明勾 股定理的方法 及有关知识 根据自己的情况选择完成 设计意图 针对学生认知的差异设计了有层次的作业题 必做题体现了对新课标下 学 友价值的数