高考数学难点突破_难点40__探索性问题

难点 40 探索性问题 高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题 . 1.（）已知三个向量 a、 b、 c，其中每两个之间的夹角为 120，若 a =3, b =2, c =1，则 a 用 b、 c 表示为 . 2.（）假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为 1 p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少 50%的引擎能正常运行，飞机就 可成功飞行，则对于多大的 p 而言， 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更为安全？ 例 1已知函数1)( 2 ax a,c R,a 0,b 是自然数）是奇函数， f(x)有最大值21，且 f(1)52. （ 1）求函数 f(x)的解析式； （ 2）是否存在直线 l与 y=f(x)的图象交于 P、 Q 两点，并且使得 P、 Q 两点关于点（ 1，0）对称，若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由 . 命题意图：本题考查待定系 数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力，属级题目 . 知识依托：函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题 . 错解分析：不能把 a与 b 间的等量关系与不等关系联立求 b；忽视 b 为自然数而导致求不出 b 的具体值； P、 Q 两点的坐标关系列不出解 . 技巧与方法：充分利用题设条件是解题关键 意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证 . 解：（ 1） f(x)是奇函数 f( x)= f(x)，即 11 22 ax bx+c= c c=0 f(x)=12a 0， b 是自然数得当 x 0 时， f(x) 0， 当 x 0 时， f(x) 0 f(x)的最大值在 x 0 时取得 . x 0 时，22111)(当且仅当即时， f(x)有最大值212121, a= 又 f(1)52，12, 5b 2a+2 把代入得 25b+2 0 解得21 b 2 又 b N, b=1,a=1, f(x)=122）设存在直线 l 与 y=f(x)的图象交于 P、 Q 两点，且 P、 1， 0）对称， P(x0, Q（ 2 020002001)2(21去 21=0 解之，得 2 , P 点坐标为 (42,21)或 (42,21 )进而相应 Q 点坐标为 Q（42,21 ） 或 Q(42,21). 过 P、 Q 的直线 l 的方程： x 4y 1=0 即为所求 . 例 2如图，三条直线 a、 b、 c 两 两平行，直线 a、b 间的距离为 p，直线 b、 c 间的距离为2p， A、 B 为直线 =2p， b 上滑动的长度为2p 的线段 . （ 1）建立适当的平面直角坐标系，求 外心 ； （ 2）接上问，当 外心 上什么位置时， d+ 小，最小值是多少？（其中 d 是外心 c 的距离） . 命题意图：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力 级题目 . 知识依托：求曲线的方程、抛物线及 其性质、直线的方程 . 错解分析：建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，第二问中确定 技巧与方法：本题主要运用抛物线的性质，寻求点 C 所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目 . 解：（ 1）以直线 b 为 x 轴，以过 A 点且与 b 直线垂直的直线为 y 轴建立直角坐标系 . 设 外心为 C(x,y)，则有 A(0,p)、 M（ x p,0)， N(x+p,0)， 由题意，有 = 2222 )()( ,化简，得 是以 原点为顶点， y 轴为对称轴，开口向上的抛物线 . （ 2）由（ 1）得，直线 C 恰为轨迹 E 的准线 . 由抛物线的定义知 d= 其中 F（ 0,2p）是抛物线的焦点 . d+ = + 由两点间直线段最短知，线段 轨迹 E 的交点即为所求的点 直线 方程为 联立方程组 71(41即 C 点坐标为 ( 79,4 171 ). 此时 d+ 最小值为 = 如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题 解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法：（ 1）直接求解；（ 2）观察 猜测 证明；（ 3）赋值推断；（ 4）数形结合；（ 5）联想类比；（ 6）特殊 一般 特殊 . 一、选择题 1.（）已知直线 l平面 ，直线 m 平面 ，有下面四个命题，其中正确命题是 ( ) l m l m l m l m A.与 B.与 C.与 D. 与 2.（）某邮局只有 ， ， 的三种邮票 的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为 ，则最少要购买邮票 ( ) 二、填空题 3.( )观察 +=43,+ =43，写出一个与以上两式规律相同的一个等式 . 三、解答题 4.（）在四棱锥 P 棱 面 面 矩形，问底面的边 .（ 1）使 0；（ 2）使 证明你的结论 . 5.（）已知非零复数 z1,足 =a, b, z1+=c（ a、 b、 c 均大于零），问是否根据上述条件求出12说明理由 . 6.（）是否存在都大于 2 的一对实数 a、 b(a b)使得 ab,ab,a b,a+b 可以按照某一次序排成一个等比数列，若存在，求出 a、 b 的值，若不存在，说明理由 . 7.（）直线 l 过抛物线 px(p 0）的焦点且与抛物线有两个交点，对于抛物线上另外两点 A、 B 直线 l 能否平分线段 证明你的结论 . 8.（）三个元件 它们的某两个并联再和第三个串联接入电路，如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发生故障的概率最大？ 参 考 答 案 难点磁场 图 a与 b， 0 ,且 |a|=| a|=3. 由平行四边形关系可得 a=3c+23b, a= 3c23b. 答案： a= 3c23b 机成功飞行的概率分别为： 4 引擎飞机为： 4222443342224 )1(4)1(6C)1(C)1(C 2 引擎飞机为 222212 )1(2C)1(C . 要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机安全，则有： 61 P） 2+41 P） +2P(1 P)+得 P32. 即当引擎不出故障的概率不小于32时， 4 引擎飞机比 2 引擎飞机安全 . 歼灭难点训练 一、 l 且 l ,m l m. 且 l l ,但不能推出 l m. l m,l m ,由 m . l m,不能推出 . 答案： B 5 张， 张， 张 张 . 答案： B 二、 50 20 =(45 15 )=30 可得 +30 )+ +30 )=43. 答案： +30 )+ +30 )=43三、 (1)当 1 ，使 0 ;当 1 0的点 E 不存在 .（只须以 直径作圆看该圆是否与 有无交点）（证略） （ 2）边 连接 足为 F，连 直角三角形， F 点在 同理，点 |z1+=(z1+ 1z + 2z )=|+|+(z + 1z c2=a2+z + 1z 即： z + 1z z2= 0,0， z + 1z 2112221 z =|(21|(12即有： 12 12 2+(a2+12 这是关于12此方程即得12 ab,a2,b2, ab,ab,a b,a+b 均为正数，且有 aba+bab,aba+ba b. 假设存在一对实数 a,b使 ab,ab,a+b,a b 按某一次序排成一个等比数列，则此数列必是单调数列 存在的等比数列只能有两种情形，即 ab,a+b, a b, ab,a+b,ab,a b 由（ a+b） 2 ab可能是等比数列，若为等比数列，则有： 22710257)()()( 2检验知这是使 ab,a+b,a b, 因此当a=7+ 25 ,b=2 2710 时， ab,a+b,a b, 果直线 l 垂直 平分线段 F（2p， 0） l. |=|设 A（ x1,B(x2,显然 ,是有（ p） 2+p)2+理得：（ x1+p)( 2p(显然 则 x 轴， l 与 x 轴重合，与题设矛盾）得： x1+p= 2p 即 x1+ 直线 B. 元件 1、 路不发生故障的事件为 A，则 P（ =P（ =P（ =（ 1）按图甲的接法求 P（ A）： A=（ 2） 2与 P（ A）=P（ 2） P（ 又 P（ 2） =1 P（ 21 ） =1 P（ 1A 2A ）由 2相互独立知 1A 与 2A 相互独立，得： P（ 1A 2A ） =P（ 1A ） P（ 2A ） = 1 P（ 1 P（ =（ 1 (1 P(2)=P( 1A 2A )=1 P(A)=(2)按图乙的接法求 P（ A）： A=（ 3） 1+2相互独立，则 P（ A） =P（ 3） P（ 用另一种算法求 P（ 3） . 3彼此不互斥，根据容斥原