高考数学难点突破_难点24__直线与圆锥曲线

难点 24 直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能 . 难点磁场 ( )已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在坐标轴上，直线 y=x+1 与椭圆交于P 和 Q，且 |210，求椭圆方程 . 案例探 究 例 1如图所示，抛物线 ，点 A 的坐标为 (5，0)，倾斜角为4的直线 A 相交 (不经过点 )且交抛物线于 M、 求 命题意图：直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题 “韦达定理法” 级题目 . 知识依托：弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想 . 错解分析：将直线方程代入抛物线 方程后，没有确定 不等式法求最值忽略了适用的条件 . 技巧与方法：涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算 . 解：由题意，可设 y=x+m, 5 m 0. 由方程组去 y,得 2m 4)x+ 直线 、 N， 方程的判别式 =(2m 4)2 46(1 m) 0, 解得 m 1,又 5 m 0, 5， 0) 设 M(x1,N(x2, x1+ 2m， x2= |4 )1(2 m . 点 A 到直线 d=25 m. S =2(5+m) m1 ,从而 S 2=4(1 m)(5+m)2 =2(2 2m) (5+m)(5+m) 2(3 5522 )3=128. S 8 2 ,当且仅当 2 2m=5+m,即 m= 1 时取等号 . 故直线 y=x 1， 2 . 例 2已知双曲线 C： 2 与点 P(1， 2) (1)求过 P(1， 2)点的直线 分别有一个交点，两个交点，没有交点 . (2)若 Q(1， 1)，试判断以 命题意图：第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题 “差分法”，属级题目 . 知识依托：二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式 . 错解分析：第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论 得以，就认为所求直线存在了 . 技巧与方法：涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化 . 解： (1)当直线 x=1,与曲线 当 直线 y 2=k(x 1),代入 整理得 (2 k2)(2k)x k 6=0 (*) ( )当 2 ,即 k= 2 时，方程 (*)有一个根， 有一个交点 ( )当 2 0,即 k 2 时 = 2(2k) 2 4(2 k 6)=16(3 2k) 当 =0,即 3 2k=0,k=23时，方程 (*)有一个实根， 有一个交点 . 当 0,即 k23,又 k 2 ,故当 k 2 或 2 k 2 或 2 k23时，方程 (*)有两不等实根， 有两个交点 . 当 0，即 k23时，方程 (*)无解， 无交点 . 综上知：当 k= 2 ,或 k=23，或 只有一个交点； 当 2 k23,或 2 k 2 ,或 k 2 时， 有两个交点； 当 k23时， 没有交点 . (2)假设以 为 A(x1,B(x2,则 2,2两式相减得： 2(x1+(y1+又 x1+,y1+ 2( 121 xx =2 但渐近线斜率为 2 ,结合图形知直线 C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为中点的弦不存在 . 例 3如图，已知某椭圆的焦点是 4， 0)、 ， 0)，过点 ，且 |10，椭圆上不同的两点 A(x1,C(x2,足条件：| | |等差数列 . (1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦 (3)设弦 y=kx+m，求 命题意图：本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强，属级题目 . 知识依托：椭圆的定义、等差数列的定义，处理 直线与圆锥曲线的方法 . 错解分析：第三问在表达出“ k=3625，忽略了“ k=0”时的情况，理不清题目中变量间的关系 . 技巧与方法：第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义 (即焦半径公式 )求解，第三问利用 的纵坐标 用 解： (1)由椭圆定义及条件知， 2a=|10,得 a=5,又 c=4,所以 b= 22 =3. 故椭圆方程为92522 =1. (2)由点 B(4,椭圆上，得 |x=425,离心率为54，根据椭圆定义，有 |54(425 |54(425 由 | | |等差数列，得 54(425 54(425 259,由此得出： x1+. 设弦 (x0,则 21 =4. (3)解法一：由 A(x1,C(x2,椭圆上 . 得25925925925922222121 得 9(25(0, 即 9)()2(25)2(21212121 xx =0(将,2,42 21 21021021 (k 0)代入上式，得 9 4+250 (k 0) 即 k=3625 k=0时也成立 ). 由点 P(4， 弦 k+m,所以 m=4k=25916由点 P(4， 线段 (B与 B 关于 的内部，得59 9,所以516m516. 解法二：因为弦 (4,所以直线 y k1(x 4)(k 0) 将代入椭圆方程92522 =1,得 (95)50()x+25()2 25 9 所以 x1+59 )4(50 2 0,解得 k=3625当 k=0时也成立 ) (以下同解法一 ). 锦囊妙计 际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论 和数形结合的思想方法 . 及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长 (即应用弦长公式 )；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 . 歼灭难点训练 一、选择题 1.( )斜率为 1 的直线 l 与椭圆42x + 相交于 A、 B 两点，则 |最大值为( ) )抛物线 y=y=kx+b(k 0)交于 A、 B 两点，且此两点的横坐标分别为 x1,线与 恒有 ( ) x1+ x2+ 二、填空题 3.( )已知两点 M(1，45)、 N( 4，45)，给出下列曲线方程： 4x+2y 1=0, x2+,22x +,22x ,在曲线上存在点 P 满足 |所有曲线方程是_. 4.( )正方形 y=x+4 上， C、 D 两点在抛物线 y2=正方形 _. 5.( )在抛物线 6x 内，通过点 (2， 1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是 _. 三、解答题 6.( )已知抛物线 px(p 0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 、 B，且 | 2p. (1)求 (2)若线段 ，求 积的最大值 . 7.( )已知中心在原点，顶点 x 轴上，离心率 e=321的双曲线过点P(6， 6). (1)求双曲线方程 . (2)动直线 l 经过 的重心 G，与双曲线交于不同的两点 M、 N，问：是否存在直线 l,使 N，证明你的结论 . 8.( )已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点，且都以点 A( 2 ， 0)为圆心， 1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点 点关于直线 y= (1)求双曲线 (2)设直线 ，斜率为 k,当 0 k 1 时，双曲线 到直线 ，试求 k 的值及此时 参考答案 难点磁场 解：设椭圆方程为 (m 0,n 0)， P(x1,Q(x2,由1122 得 (m+n)nx+n 1=0, =44(m+n)(n 1) 0,即 m+n 0, 由 以 ,即 2x1+1=0, nm 2)1(2+1=0, m+n=2 又 2 )210()(4 nm 将 m+n=2,代入得 m n=43 由、式得 m=21,n=23或 m=23,n=21故椭圆方程为22x +23 或231. 歼灭难点训练 一、 长 |55422t 5104. 答案： C 方程组 ,得 b=0,可知 x1+x2=ak,ab,入验证即可 . 答案： B 二、 P 在线段 断 答案： C、 y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出 |长，利用|长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+出 代入求出 |长 . 答案： 18 或 50 所求直线与 6x 相交于点 A、 B，且 A(x1,B(x2,代入抛物线方程得6x1,6式相减得， (y1+(16( 即212121 16 . 故所求直线方程为 y=8x 15. 答案： 8x y 15=0 三、 (1)设直线 l 的方程为： y=x a,代入抛物线方程得 (x a)2=2 (a+p)x+ | 22 4)(42 2p. 4 4 p 0, a4p. (2)设 A(x1, B(x2, C(x,y), 由 (1)知， y1=a,y2=a,x1+a+2p, 则有 x=2 22,2 212121 =p. 线段 y p= (x a p),从而 a+2p,0 点 2 |2| 从而 S 222 2224)(4221 当 (1)如图，设双曲线方程为2222=66 22222222 a 得 ,2. 所以所求双曲线方程为12922 =1. (2)P、 6,6)、 (3， 0)、 ( 3， 0）， 其重心 2， 2） 假设存在直线 l，使 G(2， 2)平分线段 M(x1, N(x2,则有 34912441089121089122121212122222121 4 y=34(x 2)+2, 由)2(34108912 22消去 y,整理得 4x+28=0. =16 4 28 0,所求直线 (1)设双曲线的渐近线为 y= d=1|2|2 1,解得 k= 1. 即渐近线为 y= x,又点 A 关于 y=0， 2