《微积分》各章习题及详细答案

微积分 各章习题及解答 第 1 页 第一章 函数极限与连续 一 填空题一 填空题 1 已知 则 x x fcos1 2 sin cosxf 2 1 34 lim 2 2 xx x x 3 时 是的 阶无穷小 0 xxxsintan x 4 成立的为 0 1 sinlim 0 x xk x k 5 xex x arctanlim 6 在处连续 则 0 0 1 xbx xe xf x 0 x b 7 x x x 6 13ln lim 0 8 设的定义域是 则的定义域是 xf 1 0 ln xf 9 函数的反函数为 2ln 1 xy 10 设是非零常数 则 a lim x x ax ax 11 已知当时 与是等价无穷小 则常数 0 x1 1 3 1 2 ax1cos x a 12 函数的定义域是 x x xf 1 3 arcsin 13 22 lim 22 x xx 14 设 则 8 2 lim x x ax ax a 15 2 1 limnnnn n 二 选择题二 选择题 1 设是上的偶函数 是上的奇函数 则 中所给的函数必为奇函数 xgxf ll xh ll C D xgxf xhxf xhxgxf xhxgxf 2 则当时有 x x x 1 1 3 1 xx 1 x 是比高阶的无穷小 是比低阶的无穷小 C 与是同阶无穷小 D 3 函数在处连续 则 0 1 0 11 11 3 xk xx x x xf0 x k C D 2 3 3 2 10 4 数列极限 ln 1 ln limnnn n C D 不存在但非 11 微积分 各章习题及解答 第 2 页 5 则是的 0 1 cos 00 0 sin x x x x x x x x xf0 x xf 连续点 可去间断点 C 跳跃间断点 D 振荡间断点 6 以下各项中和相同的是 xf xg xxf 2 lg xxf xxglg2 2 xxg C D 334 xxxf 3 1 xxxg1 xfxxxg 22 tansec 7 sin lim 0 x x x 1 1 C 0 D 不存在 8 x x x 1 0 1 lim 1 1 e 1 e 9 在的某一去心邻域内有界是存在的 xf 0 x lim 0 xf xx 充分必要条件 充分条件 C 必要条件 D 既不充分也不必要条件 10 1 lim 2 xxx x 1 2 C D 0 2 1 11 设均为非负数列 且 则必有 nnn cba n n n n n n cbalim 1lim 0lim A 对任意成立 B 对任意成立 nn ba n nn cb n C 极限不存在 D 极限不存在 nn n ca lim nn n cb lim 12 当时 函数的极限 1 x 1 1 2 1 1 x e x x 等于 等于 为 不存在但不为 三 计算解答三 计算解答 1 计算下列极限 1 2 1 2 sin2lim n n n x x xx x cotcsc lim 0 3 4 1 lim 1 x x ex x x x x 3 12 12 lim 5 6 1coscos2 1cos2cos8 lim 2 2 3 xx xx x xx xxx x tan cossin1 lim 0 7 8 1 1 32 1 21 1 lim nn n 32 3 2 4arctan 21ln lim x x x 试确定之值 使 ba 2 1 1 1 lim 2 bax x x x 利用极限存在准则求极限 1 n nn n1 3 1 2 1 1 1 11 3 1 2 1 1 lim 微积分 各章习题及解答 第 3 页 2 设 且 证明存在 并求此极限值 0 1 ax 2 1 1 naxx nnn n x lim 5 讨论函数的连续性 若有间断点 指出其类型 xx xx n nn nn xf lim 6 设在上连续 且 证明在内至少有一点 使 xf babxfa ba f 微积分 各章习题及解答 第 4 页 第一单元 函数极限与连续习题解答 一 填空题一 填空题 1 x 2 sin2 2 sin22 2 sin21 1 2 sin 22 xxx f 2 22 xxf xxxf 22 sin2cos22 cos 2 00 16249 lim 1 34 lim 3 2 2 2 xx xx xx x xx 3 高阶 0 cos1 lim cos1 tan lim sintan lim 000 x x xx x xx xxx 是的高阶无穷小 xxsintan x 4 0 k 为有界函数 所以要使 只要 即 x 1 sin 0 1 sinlim 0 x xk x 0lim 0 k x x0 k 5 00arctanlim xe x x 2 2 arctan 0lim xe x x 6 2 bbbxxf xx lim lim 00 2 1 lim lim 00 x xx exf 0 bf 2 b 7 2 1 2 1 6 3 lim 6 13ln lim 00 x x x x xx 8 根据题意 要求 所以 ex 11ln0 xex 1 9 2 1 x ey 2ln 1 2ln 1 xyxy 1 2 y ex 的反函数为 2 1 y ex 2ln 1 xy2 1 x ey 10 原式 a e2 a a ax x a ax x e ax a 2 2 2 2 1 lim 11 由 利用教材 P58 与 2 3 a 2 3 1 2 3 1 1 1 axax 1 1 a xax 2 2 1 1cosxx 以及 1 3 2 2 1 3 1 lim 1cos 1 1 lim 2 2 0 3 1 2 0 a x ax x ax xx 可得 2 3 a 12 由反三角函数的定义域要求可得 2 1 4 1 x 解不等式组可得 的定义域为 01 1 1 3 1 x x x 1 2 1 4 1 x x xf 2 1 4 1 x 13 0 2222 22 22 22 22 lim22lim 22 xx xxxx xx xx 22 22 2 2 lim0 22 x xx xx 14 令 t 所以 x 2ln 23 lim lim 1 xx xx xaa xaxa 3 xa a 3ata 即 3 211 lim lim 1 1 xtaa xt xa xatt 3 8 a e 微积分 各章习题及解答 第 5 页 2ln 3 2ln 8ln 3 1 8ln3 3 aa 15 2 2 2 1 lim 2 1 lim nn nn nnnn nn 2 1 2 1 1 11 2 lim n n n 二 选择题二 选择题 1 选 令 由是上的偶函数 是 上的奇函数 xhxgxfxF xgxf ll xh ll xFxhxgxfxhxgxfxF 2 选 1 11 1 1 lim 1 1 1 lim lim 31 3 11 xx x xx x x x xxx 利用教材 P58 2 3 1 3 1 1 1 lim 1 xx x x 1 1 a xax 3 选 A 利用教材 P58 2 3 3 1 2 1 lim 11 11 lim lim 0 3 00 x x x x xf xxx 1 1 a xax 4 选 1 lim ln 1 ln lim ln 1 1 n nn nnn n 5 选 1 0 f0 0 f0 0 f 6 选 在 A 中的定义域为 而的定义域为 2 ln xxf 0 xxxgln2 0 x 故不正确 xgxf 在 B 的值域为 的值域为 故错xxf 2 xxg 0 x 在 D 中的定义域为 R 的定义域为1 xf xxxgtansec 2 故错 2 kxRx xgxf 7 选 1 sin lim sin lim 00 x x x x xx 1 sin lim sin lim 00 x x x x xx 不存在 sin lim 0 x x x 8 选 1 1 1 0 1 0 1 lim 1 lim exx x x x x 9 选 由函数极限的局部有界性定理知 存在 则必有的某一去心邻域使有界 lim 0 xf xx 0 x xf 而在的某一去心邻域有界不一定有存在 例如 函数有界 xf 0 x lim 0 xf xx x x 1 sinlim 0 1 1 sin1 x 但在点极限不存在0 x 10 选 22 2 22 1 1 lim 1 limlim 11 xxx xxxxx xxxx xxxx 微积分 各章习题及解答 第 6 页 2 1 1 1 1 1 lim 2 x x 11 选 D A 显然不对 因为有数列极限的不等式性质只能得出数列 当充分大时 的n 情况 不可能得出 对任意成立 的性质 n 也明显不对 因为 无穷小 无穷大 是未定型 极限可能存在也可能不存在 12 选 D 002 1 lim 1 1 lim 1 1 1 1 1 2 1 x x x x exe x x 1 1 1 1 1 2 1 1 lim 1 1 lim x x x x exe x x 当时函数没有极限 也不是 1 x 三 计算解答三 计算解答 1 计算下列极限 1 解 x xx n n n n n n 2 2 2lim 2 sin2lim 11 2 解 2 2 0000 1cos csccot1cos1 sinsin2 limlimlimlim sin2 xxxx xx xxx xx xxxxx 3 解 1 1 lim 1 lim 1 x xex x x x 4 解 3 2 1 2 1 33 2 1 1 1 lim 12 2 1 lim 12 12 lim x x x x x x x xx x 11 333 22 11 lim 1 lim 1 11 22 x x x e xx 5 解 1 cos1cos2 1cos4 1cos2 lim 1coscos2 1cos2cos8 lim 3 2 2 3 xx xx xx xx xx 2 1 2 1 1 2 1 4 1cos 1cos4 lim 3 x x x 6 解 cossin1 tan cossin1 lim tan cossin1 lim 00 xxxxx xxx xx xxx xx 2 0 2 0 2 0 2 cos1 lim 2 sin lim 2 cos1sin lim x x x xx x xxx xxx 4 3 4 1 2 1 0 lim 1sincos 2 x xxx 7 解 1 1 32 1 21 1 lim nn x 1 11 3 1 2 1 2 1 1 lim nn x 1 1 1 1 lim n x 微积分 各章习题及解答 第 7 页 8 解 3 3 1 232 3 232 3 2 4 1 2 1 lim 4 2 lim 4arctan 21ln lim x x x x x xxx 解 1 1 lim 1 1 lim 222 x bxbaaxx bax x x xx 2 1 1 1 1 lim 2 x bxbaxa x 2 1 01 ba a 2 3 1 b a 1 1 1 1 1 2 1 1 1 11 3 1 2 1 1 1 n n nn 而 11 1 1 lim n x 1 1 3 1 2 1 1 1 11 3 1 2 1 1 lim n nn x 2 先证有界 数学归纳法 时 1 naaaaxx 12 设时 则 kn axk aaaxx kk 2 1 数列有下界 n x 再证单调减 n x 且 1 1 n n n n n x a x ax x x 0 n x 即单调减 存在 设 nn xx 1 n x n n x limAxn n lim 则有 舍 或 aAA 0 AaA axn n lim 解 先求极限 得 0 0 0 1 0 1 1 1 lim 2 2 x x x n n xf x x n 而 1 lim 0 xf x 1 lim 0 xf x 0 0 f 的连续区间为 xf 0 0 为跳跃间断点 0 x 解 令 则 在 上连续xxfxF xF ba 而0 aafaF 0 bbfbF 由零点定理 使 ba 0 F 即 亦即 0 f f 微积分 各章习题及解答 第 8 页 第二章 导数与微分 一 填空题一 填空题 1 已知 则 2 3 f h fhf h 2 3 3 lim 0 2 存在 有 则 0 f 0 0 f x xf x lim 0 3 则 1 arctan xy x 1 x y 4 二阶可导 则 xf sin1 xfy y y 5 曲线在点 处切线与连接曲线上两点的弦平行 x ey 1 1 0 e 6 则 1ln arctan xy dy 7 则 42 sin xy dx dy 2 dx dy 8 若 则 tx x x ttf 2 1 1 lim t f 9 曲线于点 处的切线斜率为 2 1 2 xy 10 设 则 x xey 0 y 11 设函数由方程确定 则 xyy 0 cos xye yx dx dy 12 设则 ty tx cos 1 2 2 2 dx yd 二 单项选择二 单项选择 1 设曲线和在它们交点处两切线的夹角为 则 x y 1 2 xy tan C 1 12 3 3 函数 且 则 x k exf tan ef 4 k C 11 2 1 2 4 已知为可导的偶函数 且 则曲线在 处切线的方程 xf2 2 1 1 lim 0 x fxf x xfy 2 1 是 C 64 xy24 xy3 xy1 xy 5 设可导 则 xf x xfxxf x lim 22 0 C 0 2xf 2x f 2xfxf 6 函数有任意阶导数 且 则 xf 2 xfxf xf n C 1 n xfn 1 n xfn 1 1 n xfn 2 1 xfn 7 若 则 2 xxf x xfxxf x 2 lim 00 0 C 0 2x 0 x 0 4xx4 8 设函数在点处存在和 则是导数存在的 xf 0 x 0 xf 0 xf 00 xfxf 0 x f 必要非充分条件 充分非必要条件 C 充分必要条件 既非充分又非必要条件 9 设则 99 2 1 xxxxxf 0 f C 9999 99 99 微积分 各章习题及解答 第 9 页 10 若可导 且 则有 uf 2 xfy dy C dxxf x 2 dxxf x 2 2 dxxf 2 2 dxxf x 2 2 11 设函数连续 且 则存在 使得 xf0 0 f0 A 在内单调增加 B 在内单调减少 xf 0 xf 0 C 对任意的有 D 对任意的有 0 x 0 fxf 0 x 0 fxf 12 设在处可导 则 0 0 1 sin 2 xbax x x x xf0 x A B 为任意常数 0 1 baba 0 C C 为任意常数 0 0 baba 1 三 计算解答三 计算解答 1 计算下列各题 1 求 2 求 x ey 1 sin2 dy 3 ln ty tx 1 2 2 t dx yd 3 4 求 yyx arctan 2 2 dx yd xxycossin 50 y 5 求 x x x y 1 y 6 求 2005 2 1 xxxxxf 0 f 7 在处有连续的一阶导数 求 xaxxf x ax afaf 8 设在处有连续的一阶导数 且 求 xf1 x2 1 f 1 coslim 1 xf dx d x 2 试确定常数之值 使函数处处可导 ba 01 02 sin1 xe xaxb xf ax 3 证明曲线与 为常数 在交点处切线相互垂直 ayx 22 bxy ba 4 一气球从距离观察员 500 米处离地匀速铅直上升 其速率为 140 米 分 当此气球上升到 500 米空中 时 问观察员视角的倾角增加率为多少 5 若函数对任意实数有 且 证明 xf 21 x x 2121 xfxfxxf 1 0 f xfxf 6 求曲线上过点处的切线方程和法线方程 53 23 xxy 3 1 微积分 各章习题及解答 第 10 页 第二章 导数与微分习题解答 一 填空题一 填空题 1 1 1 3 2 1 2 1 3 3 lim 2 3 3 lim 00 f h fhf h fhf hh 2 0 f 0 0 0 lim lim 00 f x fxf x xf xx 3 xln 1 ln xy x xy x ln 1 4 xxfcos sin1 xxfxxfsin sin1 cos sin1 2 xxfycos sin1 xxfxxfysin sin1 cos sin1 2 5 弦的斜率 1 1 ln ee1 01 1 e e k 当时 1 eeey xx 1ln ex 1ln ex1 ey 6 1 1 1arctan 2 xx dx 1 1 1 1 1arctan 1 1 arctan 1arctan 1 2 xd xx xd x dy 1 1 1arctan 2 xx dx 7 43 2sin4xx 42 2sin2xx 43344 2sin44cossin2xxxxx dx dy 42 2 2sin2 2 xx xdx dy dx dy 8 tt tee 22 2 ttx x te x ttf 22 1 1 lim tt teetf 22 2 9 xy2 由 2 1 22 0 x 1 0 x2112 0 y 在点处的切线斜率为 21 2 xy 2 1 10 2 xx xeey xxx xeeey 2 0 00 eey 11 方程两边对求导得 sin sin xyxe xyye yx yx x0 sin 1 xyyxyye yx 解得 sin sin xyxe xyye y yx yx 12 由参数式求导公式得 3 4 cossin t ttt t t x y dx dy t t 2 sin 再对求导 由复合函数求导法得x 322 2 4 cossin 2 1sincos 2 1 t ttt tt ttt x y y dx d dx yd t tx x 二 选择题二 选择题 1 选 由 交点为 2 1 xy x y 1 1 1 1 11 x x k2 1 2 2 x xk 3 1 tan tan 21 12 12 kk kk 微积分 各章习题及解答 第 11 页 3 选 xxkexf kx k 21tan sectan 由得 ef 4 eke 2 2 1 k 4 选 A 由 x fxf x fxf xx 2 1 1 lim 2 1 1 lim 00 2 2 1 1 2 1 1 1 lim 0 f x fxf x 4 1 f 切线方程为 即 1 42 xy64 xy 5 选 2 lim 2 22 0 xfxfxf x xfxxf x 6 选 2 2 32 xfxfxfxfxf 32 32 2 423 xfxfxfxfxf 设 则 1 xfnxf nn 1 1 xfxfnxf nn 1 2 xfn n 1 xfnxf nn 7 选 2 2 2 2lim 2 lim 0 00 0 00 0 xf x xfxxf x xfxxf xx 又 xxxf2 2 00 4 2xxf 8 选 在处可导的充分必要条件是在点的左导数和右导数都 xf 0 x xf 0 x 0 xf 0 xf 存在且相等 9 选 99 3 1 99 2 99 2 1 xxxxxxxxxxxf 98 2 1 xxxx 99 99 1 990 20 10 0 99 f 另解 由定义 99 2 1 lim 0 0 lim 0 00 xxx x fxf f xx 99 99 1 99 10 选 2 2222 xfxxfxf dxxf xdy 2 2 11 由导数定义知 0 0 lim 0 0 x fxf f x 再由极限的保号性知 当时 0 x0 0 x fxf 从而 当时 因此 C 成立 应选 C 0 0 xx 0 0 0 fxf 12 由函数在处可导 知函数在处连续 xf0 x0 x 所以 bbaxxf x xxf xxxx lim lim 0 1 sinlim lim 00 2 00 0 b 又 a x ax x fxf f x x x x fxf f xxx 0 0 lim 0 0 1 sin lim 0 0 lim 0 0 2 00 所以 应选 C 0 a 三 计算解答三 计算解答 1 计算下列各题 1 dx xxx e x dedy xx 1 1 cos 1 sin2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 22 dxe xx x 1 sin 2 2 2 sin 1 微积分 各章习题及解答 第 12 页 2 3 2 3 1 3 t t t dx dy 3 2 2 2 9 1 9 t t t dx yd 9 1 2 2 t dx yd 3 两边对求导 xyy y 2 1 1 1 1 2 yy 1 1 2 1 22 23 233 yy yyyyy 4 xxxy2sin 2 1 cossin 2 2sin 2cos xxy 2 22sin 2 2 2cos 2 xxy 设 2 2sin 2 1 nxy nn 则 2 1 2sin 2 2 2cos 2 1 nxnxy nnn xxy2sin2 2 502sin 2 4949 50 5 两边取对数 1ln lnlnxxxy 两边求导 x x xxy y 1 1 1ln ln 1 1 1 1ln ln 1 x x xx x x y x 6 利用定义 2005 2005 3 2 1 lim 0 lim 0 00 xxxx x fxf f xx 7 xaxxxf aaf 又 ax axaxx ax afxf af axax lim lim limx ax ax ax 2 aaa 注 因在处是否二阶可导不知 故只能用定义求 x ax 8 12 1 1sin 1 cos lim 1 coslim 11 x xxfxf dx d xx 12 1sin lim 1 coslim 11 x x xf xx 1 2 1 1 f 2 易知当时 均可导 要使在处可导0 x xf xf0 x 则 且在处连续 即 0 0 ff xf0 x 0 lim lim 00 fxfxf xx 而 02 0 lim 2 lim 0 0 ba xf abxf x x 又 b x abax x fxf f xx 22 sin1 lim 0 0 lim 0 00 a x ax x e x abe f x ax x ax x 000 lim 1 lim 21 lim 0 微积分 各章习题及解答 第 13 页 由 1 1 02b a ba ba 3 证明 设交点坐标为 则 00 yxayx 2 0 2 0 byx 00 对两边求导 ayx 22 y x yyyx 022 曲线在处切线斜率 ayx 22 00 yx 0 0 1 0 y x yk xx 又由 2 x b y x b ybyx 曲线在处切线斜率 bxy 00 yx 2 0 2 0 x b yk xx 又 1 00 2 00 0 21 yx b x b y x kk 两切线相互垂直 4 设 分钟后气球上升了米 则 tx 500 tan x 两边对 求导 t 25 7 500 140 500 1 sec2 dt dx dt d 2 cos 25 7 dt d 当m 时 500 x 4 当m 时 弧度 分 500 x 50 7 2 1 25 7 dt d 5 证明 h xfhfxf h xfhxf xf hh 0 lim lim 00 h fhf xf h fxfhfxf hh 0 lim 0 lim 00 0 xffxf 6 解 由于 于是所求切线斜率为xxy63 2 3 63 1 2 1 x xxk 从而所求切线方程为 即 1 33 xy063 yx 又法线斜率为 3 11 1 2 k k 所以所求法线方程为 即 083 xy 1 3 1 3 xy 微积分 各章习题及解答 第 14 页 第三章 中值定理与导数应用 一 填空题一 填空题 1 xx x lnlim 0 2 函数在区间 单调增 xxxfcos2 3 函数的极大值是 43 384xxxf 4 曲线在区间 是凸的 xxxy36 24 5 函数在处的阶泰勒多项式是 xxfcos 0 x12 m 6 曲线的拐点坐标是 x xey 3 7 若在含的 其中 内恒有二阶负的导数 且 则是在上 xf 0 x ba ba 0 xf xf ba 的最大值 8 在内有 个零点 12 3 xxy 9 1 sin 1 cotlim 0 xx x x 10 tan 11 lim 2 0 xxx x 11 曲线的上凸区间是 2 x ey 12 函数的单调增区间是 1 xey x 二 单项选择二 单项选择 1 函数有连续二阶导数且则 xf 2 0 1 0 0 0 fff 2 0 lim x xxf x 不存在 0 1 2 2 设则在内曲线 12 1 xxxxf 1 2 1 xf 单调增凹的 单调减凹的 单调增凸的 单调减凸的 3 在内连续 则在 处 xf ba0 000 xfxfbax xf 0 xx 取得极大值 取得极小值 一定有拐点 可能取得极值 也可能有拐点 00 xfx 4 设在上连续 在内可导 则 在内与 在 上 xf ba ba ba0 x f ba 之间关系是 afxf 是 的充分但非必要条件 是 的必要但非充分条件 是 的充分必要条件 不是 的充分条件 也不是必要条件 5 设 在连续可导 且 则当时 xf xg ba 0 xgxf xgxfxgxf bxa 则有 agafxgxf bgbfxgxf ag af xg xf af ag xf xg 6 方程在区间内 013 3 xx 无实根 有唯一实根 有两个实根 有三个实根 7 已知在的某个邻域内连续 且 则在点 处 xf0 x0 0 f2 cos1 lim 0 x xf x 0 x xf 不可导 可导 且 0 0 f C 取得极大值 取得极小值 微积分 各章习题及解答 第 15 页 设有二阶连续导数 且 则 xf0 0 f1 lim 0 x xf x 是的极大值 是的极小值 0 f xf 0 f xf 是曲线的拐点 不是的极值点 0 0 f xfy 0 f xf 9 设为方程的二根 在上连续 在内可导 则在内 ba 0 xf xf ba ba xf ba A 只有一实根 B 至少有一实根 C 没有实根 D 至少有 2 个实根 10 在区间上满足罗尔定理条件的函数是 1 1 A B 2 1 x xf xxf C D 2 1 xxf 12 2 xxxf 11 函数在区间内可导 则在内是函数在内单调增加的 xf ba ba0 xf xf ba A 必要但非充分条件 B 充分但非必要条件 C 充分必要条件 C 无关条件 12 设是满足微分方程的解 且 则在 xfy 0 sin x eyy0 0 xf xf A 的某个邻域单调增加 B 的某个邻域单调减少 0 x 0 x 处取得极小值 处取得极大值 0 x 0 x 三 计算解答三 计算解答 1 计算下列极限 1 2 1 arccos lim 1 x x x x x x ln cotln lim 0 3 4 1ln lim 2 sin 0 xx ee xx x 1ln 11 lim 2 0 x xx x 5 6 3 0 arctan lim x xx x tan ln tan ln lim 0 bx ax x 2 证明以下不等式 1 设 证明 eab ab ba 2 当时 有不等式 2 0 xxxx3sin2tan 3 已知 利用泰勒公式求 xxysin 3 0 6 y 4 试确定常数与的一组数 使得当时 与为等价无穷小 an0 x n ax 33 1ln xx 5 设在上可导 试证存在 使 xf ba ba 3 1 2 33 ff bfaf ab ab 6 作半径为的球的外切正圆锥 问此圆锥的高为何值时 其体积最小 并求出该体积最小值 rV 7 若在上有三阶导数 且 设 试证 在 内至少存在 xf 1 0 0 1 0 ff 3 xfxxF 1 0 一个 使 0 F 微积分 各章习题及解答 第 16 页 第三章 中值定理与导数应用习题解答 一 填空题一 填空题 1 00 lim 1 1 lim 1 ln limlnlim 0 2 000 x x x x x xx xxxx 2 在上单调增 0sin2 xxf xf 3 20 2 121224 232 xxxxxf 令2 00 21 xxxf 当时 当时 2 x0 x f2 x0 x f 极大值为 20 2 f 4 1 1 3124 3 xxy 1 1 121212 2 xxxy 当时 当时 当时 1 x0 y 1 1 x0 y 1 x0 y 曲线在上是凸的 1 1 5 见教材 P13 页 泰勒公式 mm x m xx 242 2 1 1 4 1 2 1 1 6 3 2 3 2 2 e 31 3 333 xexeey xxx 3 2 9 69 3 31 3 3333 xexeexey xxxx 令 当时 当时 3 2 0 xy 3 2 x0 y 3 2 x0 y 而当时 拐点为 3 2 x 2 3 2 ey 3 2 3 2 2 e 7 0 0 x f0 lim lim 00 0 0 00 xx xf xx xfxf xf xxxx 0 0 xx xf 当时 单调增加 当时 单调减少 0 xx 0 0 xfxf 0 xx 0 xfxf 8 1 在上单调增加023 2 xy y 又 在内有 1 个零点 y xlim y x lim 9 原式 6 1 6 1 3 cos1 lim sin limcoslim sin sin cos lim 2 0 3 00 2 0 x x x xx x xx xxx xxxx 10 原式 3 1 3 1tan lim 3 1 3 1sec lim tan lim tan tan lim 2 2 0 2 2 0 3 0 2 0 x x x x x xx xx xx xxxx 11 令 当时 2 2 2 2 22 2 2 2 2xx exyxey 2 2 0 xy 2 2 2 2 x 上凸 其它区间 上凹 故应填入 0 y0 y 2 2 2 2 12 函数的定义区间为 在定义区间内连续 可导 且 因 0 1 xey x 1 x ey 为在内 所以函数在上单调增加 0 0 y1 xey x 0 二 选择题二 选择题 1 选 1 2 lim 2 1 lim lim 00 2 0 xf x xf x xxf xxx 2 选 当时 又 1 2 1 x0 x f0 4 1 414 xxxf 1 2 1 x 微积分 各章习题及解答 第 17 页 在上单调减且为凹的 xf 1 2 1 3 选 则 是的拐点 设 则 3 xxf 0 0 0 ff0 x 3 xxf 4 xxf 而是的极值点 0 0 0 ff0 x 4 xxf 4 选 由在内的充分必要条件是在内 为常数 又因为 xf ba0 x f baCxf C 在内连续 所以 即在 上 xf ba afC ba afxf 5 选 由0 xgxfxgxfxgxfxgxf 单调减少 0 xg xf xg xf bax bf af xg xf 6 选 令 则 13 3 xxxf 1 1 333 2 xxxxf 当时 单调增加 1 x0 x f xf 当时 单调减少 1 1 x0 x f xf 当时 单调增加 1 x0 x f xf 而 3 1 f1 1 f limxf x limxf x 在上有一实根 在上有一实根 在上有一实根 xf 1 1 1 1 选 利用极限的保号性可以判定的正负号 xf 在的某空心邻域 0 cos1 02 cos1 lim 0 x xf x xf x 0 x 由 有 即在取极小值 0cos1 x 0 0 fxf xf0 x 8 选 由极限的保号性 在的某空心邻域 由此 在的某空心邻0 01 lim 0 x xf x xf x 0 x0 xf0 x 域 单调增 又由 在由负变正 由极值第一充分条件 是 xf0 0 f xf0 x0 x 的极小点 xf 9 选 B 由罗尔定理保证至少存在一点使 ba 0 f 10 选 C A 选项在不连续 B 选项在处不可导 D 选项 xf0 x xf0 x 1 1 ff 11 选 B 如在单增 但 故非必要条件 3 xy 0 0 f 12 选 由有 所以在处取得极小值 0 0 xf0 00 sin 0 sin 0 xx exyexy xf 0 x 三 计算解答三 计算解答 1 计算极限 1 解 1 arccos lim 1 x x x 12 1 1 1 arccos2 1 lim 2 1 x x x x 2 1 1 1 arccos 1 lim 1 xx x 2 解 1 sincos sin lim 1 csc cot 1 lim ln cotln lim 2 0 2 00 xx xx x x x x x xxx 微积分 各章习题及解答 第 18 页 3 解 6 1 3 cos1 lim sin lim 1 lim 1ln lim 2 0 3 0 3 sinsin 0 2 sin 0 x x x xx x ee xx ee xx xxx x xx x 4 解 2 1 1 2 1 lim 2 1 1 1 lim 1ln lim 1ln 11 lim 00 2 0 2 0 xx x x xx x xx xxxx 5 解 3 1 1 3 lim 3 1 1 1 lim arctan lim 22 2 0 2 2 0 3 0 xx x x x x xx xxx 6 解 bbxax aaxbx bbx bx aax ax bx ax xxx sec tan sec tan lim sec tan 1 sec tan 1 lim tan ln tan ln lim 2 2 0 2 2 00 2 2 0 cos lim1 cos x bxbxa axaxb 2 1 证明 baabba ab lnln 令 则在上连续xaaxxflnln xf ba 0ln x a axf bax 在上单调增加 xf ba afbf 得 即0lnlnlnln aaaabaab ab ba 2 令在时xxxxf3sin2tan 2 0 x 03coscos cos 1 33coscos cos 1 3cos2sec 3 22 2 xx x xx x xxxf 在上单调增 又0 xf xf 0 2 00 lim lim tan2sin3 0 xx f xxxx 即 0 0 lim 0 2 x xf xf x xxx3sin2tan 3 解 麦克劳林公式 0 2 0 0 0 2nn n xox n f x f xffxf 而 12 1 5 3 sin 2 12 1 53 m m m xo m xxx xx 5 3 sin 86 43 xx xxxy 对比 的系数有 6 x120 3 6 0 3 1 6 0 6 6 f f 4 解 1 1 3 lim 3 1 3 lim 1ln lim 36 0 2 3 2 1 0 33 0 xx an x x x anx xx ax n x n x n x 6 n 2 1 1 3 a an 5 即证 33 2 3 b f ba f a ff ba 令 则在上满足拉格朗日定理的条件 3 xfxxF xF ba 微积分 各章习题及解答 第 19 页 使 ba F ab aFbF 即 33 23 3 b f ba f a ff ba 即 3 1 2 33 ff bfaf ab ab 6 解 设圆锥的高为 底面圆半径为 则有比例关系hR 2 2 22 2 hrrhr R Rhr hR rh rh hRV 23 1 3 1 22 2 2 rh 2 2 2 222 2 42 3 1 2 2 2 3 1 rh hrhhr rh rhrhhr dh dV 令唯一驻点 0 dh dV rh4 所以 当时 体积最小 此时rh4 3 22 3 8 24 16 3 1 r rr rr V 7 解 由题设可知在上存在 又 由罗尔定理 xFxFxFxF 1 0 1 0 FF 使 又 可知在上满足罗尔 1 0 1 0 1 F0 3 0 0 32 x xfxxfxF xF 0 1 定理 于是 使 又 对 0 12 0 2 F0 6 6 0 0 32 x xfxxfxxxfF 在上再次利用罗尔定理 故有 使得 xF 0 2 1 0 0 0 12 0 F 微积分 各章习题及解答 第 20 页 第四章 不定积分 一 填空题一 填空题 1 1 dxxx 2 2 xx dx 2 3 3 dxxx 23 2 4 dx xx x sincos 2cos 5 x dx 2cos1 6 dt t t sin 7 xdxxsin 8 xdxarctan 9 dx x x 2 sin1 2sin 10 dxxf x 11 dx xx1 3 1 12 52 2 xx dx 二 单项选择二 单项选择 1 对于不定积分 下列等式中 是正确的 dxxf A B xfdxxfd xfdxxf C D xfxdf xfdxxf dx d 2 函数在上连续 则等于 xf dxxfd A B C D xf dxxf Cxf dxx f 3 若和都是 的原函数 则 xF xG xf A B 0 xGxF 0 xGxF C 常数 D 常数 CxGxF CxGxF 4 若 则 cxdxxf 33 xf A B C D cx 3 5 5 6 cx 3 5 5 9 cx 3 cx 5 设的一个原函数为 则 xfxxln dxxxf A B cxx ln 4 1 2 1 2 cxx ln 2 1 4 1 2 C D cxx ln 2 1 4 1 2 cxx ln 4 1 2 1 2 6 设 则 cxdxxf 2 dxxxf 1 2 A B cx 22 1 2cx 22 1 2 微积分 各章习题及解答 第 21 页 C D cx 22 1 2 1 cx 22 1 2 1 dx e e x x 1 1 A B cex 1 lncex 1 ln C D cex x 1 ln2cxex 1 ln2 若的导函数为 则的一个原函数是 xfxsin xf A B C D xsin1 xsin1 xcos1 xcos1 为可导函数 且 又 则 xfxfxF 1 0 f 2 xxxfxF xf A B C D 12 x1 2 x12 x1 2 x 10 dx x xx 2 3223 A B Cx x 2 3 2 3 ln23Cxx x 1 2 3 23 C D C x 2 3 2ln3ln 2 3Cx x 2 3 2ln3ln 2 3 11 dxex x 3 A B D Cex x 3 3ln 1 Cex x 3 3ln1 1 xxe 3 3ln 1 xxe 3 3ln1 1 12 dx xx 1 sec 1 2 2 C x 1 tanC x 1 tanC x 1 cotC x 1 cot 三 计算解答三 计算解答 1 计算下列各题 1 2 dx xa x 22 dx xx x 134 1 2 3 4 dx x xx 2 1 arccos dx e xe x x 1 5 6 xdxx 2 sin dx e e x x 1ln 2 设 当时求 xxxf 22 tan2cossin 10 x xf 3 设为的原函数 当时有 且 求 xF xf0 x xxFxf2sin2 0 10 xFF xf 4 确定 A B 使下式成立 x dx B x xA x dx cos21cos21 sin cos21 2 5 设的导数的图像为过原点和点的抛物线 开口向下 且的极小值为 2 极大值 xf x f 0 2 xf 为 6 求 xf 微积分 各章习题及解答 第 22 页 第四章 不定积分习题解答 一 填空题一 填空题 1 Cx 2 5 5 2 Cxdxxdxxx 2 5 2 3 5 2 2 Cx 2 3 3 2 Cxdxx xx dx 2 3 2 5 2 3 2 3 3 Cxxx 2 2 3 3 1 23 Cxxxdxxx 2 2 3 3 1 23 232 4 4 Cxx cossin dx xx xx dx xx x sincos sincos sincos 2cos 22 Cxxdxxx cossin sin cos 5 Cx tan 2 1 Cxxdx x dx x dx tan 2 1 sec 2 1 1cos212cos1 2 2 6 Ct cos2Cttdtdt t t cos2sin2 sin 7 Cxxx sincos xdxxxxxdxdxxcoscoscossin Cxxx sincos 8 Cxxx arctanarctan xdxxxdxarctanarctanarctan Cxxx arctanarctan 9 Cx sin1ln 2 dx x xx dx x x 22 sin1 cossin2 sin1 2sin Cx x xd sin1ln sin1 sin 2 2 2 10 Cxfxf x dxxfxf xxfxddxxf x xdfxf xCxfxf x 11 令 则C x 2 1 arctan 2tx 11 2 tx 原式 dt t td tt2 2 1 2 1 2 2 2 C tt d 2 arctan 2 2 1 2 1 1 2 2 C x 2 1 arctan 2 12 C x 2 1 arctan 2 1 C x x dx xx dx 2 1 arctan 2 1 4 1 52 22 二 选择题二 选择题 1 选 由 知 A B dxxfdxxfd Cxfdxxf Cxfxdf 选项是错的 故应选 2 选 由微分的定义知 dxxfdxxfd 3 选 函数的任意两个原函数之间相差一个常数 xf 4 选 B 两边对微分得 Cxdxxf 33 3 2 23 3 3 ttfxxf 微积分 各章习题及解答 第 23 页 Cxdxxdxxfxf 3 5 3 2 5 9 3 5 选 B 原式 xdxxxxxxxdxxdFlnln ln 2 Cxxdx x x x x 4 1 ln 2 1 2 ln 2 2 2 2 6 选 C Cxxdxfdxxxf 1 2 1 1 1 2 1 1 2222 选 D dx e dx e e dx e e xx x x x 1 2 1 1 21 1 1 x xxxx x de ee xdx ee e x 1 1 2 1 2 Cexxde ee x xx xx 1 ln22 1 11 2 Cex x 1 ln2 8 选 B 由题意知 xxfsin 1 cos Cxxf 的原函数为 2 xf CxCxdxxf 1 sin 取 故选 B 1 0 21 CC 9 选 C 由两边求导得 2 xxxfxF 又 所以 xxxfxfxF2 xfxF 2 xf 所以 又因为 所以 Cxdxxf22 1 0 f12 1 xxfC 10 选 Cxdxdx xx x xx 2 3 2 3 ln 1 23 2 3 23 2 3223 Cx x 2 3 2ln3ln 1 23 1