浅析数学思想的在课堂教学中的渗透

数学思想数学思想 数学的灵魂数学的灵魂 浅析数学思想的在课堂教学中的渗透 老河口市老县城小学 朱俊辉 摘要 数学课标 修订稿 把 双基 改变 四基 即 基础知识 基本技能 基本思想 基本活动经验 所谓的数学思想 是指人们对数学理论与内容的本质认识 是 从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点 它揭示了数学发展中普遍的规律 它直接 支配着数学的实践活动 这是对数学规律的理性认识 是数学的灵魂 数学思想主要有符 号思想 类比思想 分类思想 假设思想 转化思想 建模思想 数形结合思想 建模思 想等 教师要在课前 课中 课后有意识对学生进行渗透 关键词 数学思想 渗透 感悟 发展 数学是人类抽象思维的产物 数学课标 修订稿 把 双基 改变 四 基 即 基础知识 基本技能 基本思想 基本活动经验 所谓的数学思想 是指人们对数学理论与内容的本质认识 是从某些具体数学认识过程中提炼出 的一些观点 它揭示了数学发展中普遍的规律 它直接支配着数学的实践活动 这是对数学规律的理性认识 是数学的灵魂 在小学数学教育中有意识地向学 生渗透一些基本数学思想方法是提高学生数学能力和思维品质的重要手段 是 数学教育中实现从传授知识到培养学生分析问题 解决问题能力的重要思维活 动 那么 小学生需要培养的数学思想有哪些呢 在小学阶段 数学思想主要有 符号思想 类比思想 分类思想 假设思想 转化思想 建模思想 数形结合 思想 建模思想等 一 小学数学中的主要思想方法 1 1 符号化思想方法 符号化思想方法 英国著名数学家罗素说过 什么是数学 数学就是符号加逻辑 数学离 不开符号 数学处处要用到符号 用符号化的语言 包括字母 数字 图形和 各种特定的符号 来描述数学内容 这就是符号思想 符号就是数学存在的具 体化身 数学符号除了用来表述外 它也有助于思维的发展 现行小学数学教 材十分注意符号化思想的渗透 教材从一年级就开始用 或 代替变量 x 让学生在其中填数 到以后用字母或含有字母的式子来表示数量和数量关系式子 运算定律等 如 方程用字母 x 表示数的思想 如 求 x 15 40 中的未知数 x 这部分内 容关键是要让学生理解用字母 x 表示数的思想 教师可通过实例 使学生明白 用字母表示数的好处 然后帮助学生实现观点的转变 理解字母抽象化 一般 化的特点 为以后列方程解应用题打下扎实的基础 符号化思想在小学数学内容中随处可见 教师要有意识地进行渗透 数学 符号是抽象的结晶与基础 如果不了解其含义与功能 它如同 天书 一样令 人望而生畏 因此 教师在教学中要注意学生的可接受性 2 2 假设思想方法 假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设 然后按照题中的已知 条件进行推算 根据数量出现的矛盾 加以适当调整 最后找到正确答案的一 种思想方法 假设思想是一种有意义的想象思维 掌握之后可以使要解决的问 题更形象 具体 从而丰富解题思路 3 类比迁移思想方法 类比迁移思想方法 数学上的类比迁移思想是指依据两类数学对象的相似性 有可能将已知的 一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想 它能够解决一些表面 上看似复杂困难的问题 如加法交换律和乘法交换律 长方形的面积公式 平 行四边形面积公式和三角形面积公式 类比迁移思想不仅使数学知识容易理解 而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁 就迁移过程来分 有些类比十 分明显 直接 比较简单 如由加法交换律 a b b a 的学习迁移到乘法分配 律 a b b a 的学习 而有些类比需在建立抽象分析的基础上才能实现 比较复 杂 如圆的面积公式推导 把圆平均分成若干份 拼成近似的长方形 类似的 圆柱体体积公式为底面积 高 那么锥体的体积可以理解为底面积 高 3 目前 小学数学教材中类比思想的内容很多 问题的延伸 推论 拓广也 是类比思想的反映 这就要求教师去发掘去实施 正如数学家波利亚所说 我们应该讨论一般化和特殊化和类比的这些过程本身 它们是获得发现的伟 大源泉 4 转化思想方法 转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法 而其本身的大小是 不变的 如公式的变形 加 减 乘 除各部分的关系等 在计算中也常用到 甲 乙 甲 1 乙 数学科学是一个不可分割的整体 它的各部分之间也是相互 联系的 也可以相互转化的 小学数学教学中 教师要遵循教材的知识结构和 学生的认知结构 揭示教学内容的矛盾 分析矛盾转化的条件 探索转化的规 律和方法 在同化认知和顺应认知的同时掌握转化的思维方法 提高解决数学 问题的实际能力 5 分类思想方法 分类思想方法 数学中每一个概念都有其特有的本质特征 要正确的认识这些概念 就需 要具体的概念依据具体的标准具体分析 按某种标准 将研究地数学对象分成 若干部分进行分析研究 这就是数学的分类思想 分类思想方法不是数学独有 的方法 数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准 如自然 数的分类 若按能否被 2 整除分奇数和偶数 按因数的个数分质数和合数 又 如三角形可以按边分 也可以按角分 不同的分类标准就会有不同的分类结果 从而产生新的概念 对数学对象的正确 合理分类取决于分类标准的正确 合 理性 数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构 6 数形结合思想方法 数形结合思想方法 数和形是数学研究的两个主要对象 数离不开形 形离不开数 一方面抽 象的数学概念 复杂的数量关系 借助图形使之直观化 形象化 简单化 如 一年级学生对数的认识 数感的培养 到六年级时复杂的分数与百分数的应用 要借助线段图直观化 形象化等 另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系 表示如数学广角的学习 例如在平面图形面积一章复习中 设计了这样一个综合学习课题 自主运 用已学图形为自己的房间进行简单的镶嵌设计 学生能顺利解决问题 关键在于理清各种平面图形之间的知识联系 在教 学中 可以建立一个平面求积的模型 S ab 从长方形求积公式出发推导出正 方形 平行四边形 三角形 梯形 圆形的求积公式 沟通了各平面图形的内 在联系 同时又随着相关边长的变化 展示出这些平面图形可以相互转化 学 生学会了建模 有顿悟之感 7 建模思想 建模思想 所谓数学模型是对于现实世界的某一特定研究对象 为了某个目的 在作 了一些必要的简化和假设之后运用适当的数学工具 并通过数学语言表达出来 的一个数学结构 而数学建模思想就是把现实世界中有待解决或未解决的问题 从数学的角度发现问题 提出问题 理解问题 通过转化过程 归结为一类已 经解决或较易解决的问题中去 并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的 一种数学思想和方法 数学中的各种基本概念都以各自相应的现实模型作背景 如各类几何图形 也都是从现实中抽象出来的数学模型 那些基本的数学模型使我们能对与之联 系的实际问题 举一反三 触类旁通 例如在平面图形面积一章复习中 让学生自己整理各种平面图形的面积公 式 学生理清各种平面图形之间的知识联系 在教学中 可以建立一个平面求 面积的模型 S ab 从长方形求面积公式出发推导出正方形 平行四边形 三 角形 梯形 圆形的求积公式 沟通了各平面图形的内在联系 同时又随着相 关边长的变化 展示出这些平面图形可以相互转化 学生学会了建模 有顿悟 之感 在这整个过程中 强调了数学学习经历 问题情境 建立模型 分类求 解 解释与应用 的基本过程 引导学生主动参与 亲身实践 独立思考 合 作探究 实现了学习方式的转变 改变了单一的记忆 接受 模仿的被动学习 方式 发展了学生搜集和处理信息的能力 以及交流与合作的能力 8 方程和函数思想 方程和函数思想 通过问题中的已知量和未知量之间的数学关系 运用数学的符号语言转化 为方程 组 这就是方程思想的由来 在小学阶段 学生在解应用题时仍停留在小学算术的方法上 在算求解题 时 只允许具体的已知数参加运算 算术的结果就是要求未知数的解 在算术 解题过程中最大的弱点是未知数不允许作为运算对象 而在代数中未知数和已 知数一样有权参加运算 用字母表示的未知数不是消极地被动地静止在等式一 边 而是和已知数一样 接受和执行各种运算 可以从等式的一边移到另一边 使已知与未知之间的数学关系十分清晰 在小学中高年级数学教学中 若不渗 透这种方程思想 学生的数学水平就很难提高 例如稍复杂的分数 百分数应 用题 行程问题等 用代数方法即假设未知数来解答比较简便 因为用字母 x 表示数后 要求的未知数和已知数处于平等的地位 数量关系就更加明显 因 而更容易思考 更容易找到解题思路 9 极限思想 极限思想 在 自然数 奇数 偶数 这些概念教学时 教师可让学生体会自然 数是数不完的 没有最大的自然数 奇数 偶数的个数有无限多个 一个数的 倍数个数是无限的 没有最大的 让学生初步体会 无限 思想 在循环小数 这一部分内容 在教学 1 3 0 333 是一循环小数 它的小数点后面的数字 是写不完的 是无限的 在直线 射线 平行线的教学时 可让学生体会线的 两端是可以无限延长的 再如 在 圆的面积 这节内容给出圆面积的求法 先把圆分成相等的两 部分 再把两个半圆分成若干等分 然后把它剪开 再拼成近似于长方形的图 形 如果把圆等分的份数越多 拼成的图形越接近于长方形 这时长方形的面 积就越接近圆的面积了 这部分内容应让学生体会到这是一种用 无限逼近 的方法来求得圆面积的 二 小学数学思想教学方法 数学思想是分析 处理和解决数学问题的根本想法 是对数学规律的理性 认识 由于小学生的认知能力和小学数学内容的限制 只能将部分重要的数学 思想落实到小学数学教学过程中去 而且数学思想在教学中的渗透不宜要求过 高 因此 小学数学教学中数学思想渗透 应遵循下列模式 操作 掌握 领悟 数学思想的教学要求教师掌握深层的知识 以保证在教学过程中有明 确的教学目的 操作是指表层知识的教学 即基本知识与技能的教学 操作是 数学思想方法的基础 学生掌握一定量的表层知识 才能掌握深层知识 领悟 是指在教师的引导下 学生对掌握的有关表层知识的认识深化 即对蕴于其中 的数学思想方法的有所悟 有所体会 具体我们教师在平时课堂教学中应做到 1 课前的把握 课前的把握 课前教师认真分析教材 把握其中蕴含着的数学思想 小学数学教材体系 有两条线索 一条是数学知识 这是教材上的明线 另一条是数学思想 这是 蕴含在教材中的暗线 教师钻研教材 就应深层次研究 只有把握住数学思想 才能对教材进行再创造 例如在学习比较整数大小后迁移到学习比较小数的大小 这是让学生学习 类比的数学思想方法 在 自然数 奇数 偶数 这些概念的教学时 教 师可让学生体会自然数是数不完的 在直线 射线 平行线的教学时 可让学 生体会线的两端是可以无限延长的 这些都是让学生初步体会 无限 思想 在三角形的面积计算公式的推导时 转化为与它等底等高的平行四边形 这些 都是让学生学习转化的数学思想方法 2 2 课中的渗透 课中的渗透 1 在探索知识的发生 形成过程中渗透数学思想 数学思想呈隐蔽形 式 渗透在学生获得知识和解决问题的过程中 如果能有效地引导学生经历知 识形成的过程 让学生在观察 实验 分析 抽象 概括的过程中 看到知识 背后蕴涵的思想 那么学生所掌握的知识才是可迁移的 学生的数学素质才能 得到质的飞跃 2 在解题思路的探索过程中渗透数学思想 课堂教学中 学生是学习 的主人 在学习过程中 要引导学生积极主动地参与 亲自去发现问题 解决 问题 掌握方法 对于数学思想方法的学习也不例外 在数学教学中 解题是 最基本的活动形式之一 数学习题的解答过程 是数学思想亲身体验和获得的 过程 也是通过运用加深认识的过程 3 在解决实际问题中领悟数学思想 加强数学应用意识 鼓励学生运 用数学知识去分析解决生活实际问题 引导学生抽象 概括 建立数学模型 探求问题解决的方法 使学生把实际问题抽象成数学问题 在应用数学知识解 决实际问题的过程中进一步领悟数学 例如小学数学中简便计算可以看作生活中 付整找零 的问题 也是学生 较熟悉的事例 在教学中创设情景 小明的爸爸原来有 325 元钱 这个月又可 以领到 298 元奖金 让学生扮演爸爸和发奖人 发奖人给爸爸 3 张 100 元的 爸爸要找回 2 元 把这样的生活原型提炼为数学模型 编成应用题 学生在计 算 325 298 时 用 325 298 325 300 2 从而明白 多加要减 的算理 象这 样从学生熟悉的 常识 上升为 数理 就是一个建模的过程 3 3 课后的反思 课后的反思 数学思想的获得 一方面是课中有意的渗透 但更多的是靠学生在反思过 程中领悟 教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动 反思自己是怎样发现 和解决问题的 运用了哪些基本的思考方法 技能和技巧 走过哪些弯路 有 哪些