高中数学公式定理汇总

1 高中公式定理高中公式定理 必修必修 1 1 元素与集合的关系 AxACxACxAx UU 2 德摩根公式 ACACBACACACBAC UUUUUU 3 包含关系 U 为全集时 BCAACBCBABBAABA UUU 4 容斥原则 CBAcardACcard CBcardBAcardcardCcardBcardACBAcard BAcardcardBcardABAcard 5 集合的子集个数共有个 真子集有个 非空子集 n aaa 21 n 212 n 非空真子集有个 12 n 22 n 6 二次函数解析式的三种形式 1 一般式 0 2 acbxaxxf 2 顶点式 0 2 akhxaxf 3 零点式 0 21 axxxxaxf 7 指数运算性质 1 0 Qsraaaa srsr 2 0 Qsraaa rssr 3 0 0 Qrbabaab rrr 8 对数运算性质 2 如果且那么 0 a 0 0 1 NMa 1 NMNM aaa loglog log 2 NM N M aaa loglog log 3 loglogRnMnM a n a 4 换底公式 0 1 0 1 0 log log log Nccbb b N N c c b 且且 5 常用推论 1loglog ca ac 1logloglog acb cba b m n b a n am loglog 9 函数零点的存在性定理 一般地 我们有 在区间上的图象是连续不断的一 xfy ba 条曲线 并且有 那么 函数在区间内有0 bfaf xfy ba 零点 即存在使得 这个 也就是方程的根 bac 0 cfc xfy 必修必修 2 1 圆柱 圆锥 圆台表面积 圆柱圆锥圆台 底面面积 2 rs 底 2 rs 底 2 1 rs 上底 2 2 rs 下底 侧面面积 rls 2 侧 rls 侧 21 rrls 侧 表面积 2lrrs 表 lrrs 表 21 2 2 2 1 lrlrrrs 表 3 2 柱体 椎体 台体的体积 柱体 hrVhSV 2 圆柱底柱体 椎体 hrVhSV 2 3 1 3 1 圆锥底锥体 圆台 下底下底上底上底台体 hSSSSV 3 1 3 1 21 2 2 2 1 rrrrhV 圆台 3 平面的基本性质 1 公理 a 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平 面内 b 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 c 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一 条过该点公共直线 d 平行于同一直线的两条直线互相平行 2 三个推论 经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个平面 经过两条相交直线 有且只有一个平面 经过两条平行直线 有且只有一个平面 4 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或 互补 5 异面直线判定定理 连接平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面内不经过此 4 点的直线是异面直线 6 直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行 则该直线与此平面 平行 7 平面与平面平行判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 则这两个平面 平行 8 面面平行判定的推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条 相交直线 则这两个平面平行 9 直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行 则过这条直线的任一平面与此平面 的交线与该直线平行 11 平面与平面平行性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么他们的交线平 行 12 直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 则该直线与此 平面垂直 13 平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线 则这两个直线垂直 14 直线与平面垂直的性质定理 5 垂直于同一个平面的两条直线平行 15 面面垂直性质定理 两个平面垂直 则平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 16 两直线平行与垂直的判定 平行 2121 kkll 垂直 1 2121 kkll 17 直线方程 点斜式 00 xxkyy 斜截式 bkxy 截距式 1 b y a x 两点式 12 1 12 1 xx xx yy yy 一般式 0 CByAx 18 距离公式 两点间距离公式 2 12 2 1221 yyxxpp 点到直线距离公式 22 00 BA CbyAx d 两平行直线间距离公式 0 1 CByAx0 2 CByAx 22 21 BA CC d 19 圆的方程 222 rbxax 20 点与圆的位置关系 6 圆上 222 rbxax 圆内 222 rbxax 圆外 222 rbxax 21 直线与圆位置关系 相交rd 相切rd 相离rd 必修必修 3 1 古典概型 1 试验中所有可能出现的基本件只有有限个 2 每个基本事件出现的可能性事 3 相等 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型 简称古典概 型 2 数据的数字特征 1 众数 一组数据中 出现次数最多的数据叫作众数 2 中位数 将一组数据按从小到大 或从大到小 的顺序依次排 列 当数据有奇数个时 处在最中间的那个数是这组数据的中位 数 当数据有偶数个时 处在最中间的两个数的平均数是这组数 据的中位数 3 平均数 一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数 记作 7 n xxx n x 21 1 4 标准差 22 2 2 1 1 xxxxxx n s n 5 方差 22 2 2 1 2 1 xxxxxx n s n 3 三种抽样方式 1 简单随机抽样的特点 总体个数是有限的 N 每个个体被抽到的可能性相同 都是 N n 样本是从总体中逐个抽取的 即一个一个的抽取 是一种不放回抽样 即不可能先后抽取到同一个个体 2 系统抽样的特点 适用于总体容量较大的情况 N 剔除多余个体 在第 1 段抽样用简单随机抽样 等可能抽样 每个个体被抽到的可能性都是 为样本容量 N n n 3 分层抽样 特点 适用于总体由差异明显的几部分组成的情况 a 利用事件先掌握的信息 更充分的反映了总体情况 b 等可能抽样 每个个体被抽到的可能性都相等 c 步骤 分层求抽样比 确定抽样比 a N n k 8 求各层抽样数 按比例确定每层抽取个体的个数 bkNn ii 各层抽样 各层分别用简单随机抽样或系统抽样抽取个体 c 组成样本 综合每层抽取的个体 组成样本 d 4 几何概型 在几何概型中 事件的概率的计算公式如下 A 积 的区域长度 面积或体试验的全部结果所构成 积 的区域长度 面积或体构成事件A AP 5 概率的基本性质 1 概率的取值范围 任何事件的概率在之间 即 AP1 0 10 AP 2 概率的加法公式 如果事件与事件互斥 则AB BPAPBAP 3 对立事件的概率公式 若事件与事件为对立事件 则AB 1 BPAP 6 回归方程 1 回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线 附近 就称这两个变量 之间具有线性相关关系 这条直线叫作回归 直线 2 利用回归方程对总体进行估计 利用回归直线 我们可以进行 预测 若回归方程为 则在处的估计值为 abxy 0 xx abxy 0 必修必修 4 1 三角恒等变换 9 1 2 cos 2 sin2sinsin 2 2 sin 2 cos2sinsin 3 2 cos 2 cos2coscos 4 2 sin 2 sin2coscos 5 sinsin 2 1 cossin 6 sinsin 2 1 sincos 7 coscos 2 1 coscos 8 coscos 2 1 sinsin 9 2 tan1 2 tan2 sin 2 10 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 11 2 tan1 2 tan2 tan 2 2 和 差 倍 半角的三角函数 1 和 差 角公式 sincoscossinsin sinsincoscoscos tantan1 tantan tan 2 倍角公式 cossin22sin 2222 sin211cos2sincos2cos 10 2 tan1 tan2 2tan 3 半角公式 cos1 sin sin cos1 2 tan 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 3 平面向量的数量积 1 交换律 abba 2 结合律 bababa 3 分配率 cbcacba 4 ba ba cos0 ba 5 baba 6 若 则有 或 yxa 22 2 yxa 22 yxa 4 同角三角函数的基本关系 1 平方关系 1cossin 22 2 商的关系 cos sin tan 3 其他形式 22 cos1sin 22 sin1cos tancossin tan sin cos 5 三角函数的诱导公式 1 公式一 当时 Zk sin2sin k cos2cos k tan2tan k 11 2 公式二 sinsin coscos tantan 3 公式三 sinsin coscos tantan 4 公式四 sinsin coscos tantan 5 公式五 cos 2 sin sin 2 cos 6 公式六 cos 2 sin sin 2 cos 6 平面向量的坐标运算 1 加减法 221 1 yyxxba 2 数乘向量 1111 yxyxa 3 数量积 2121 cosyyxxbaba 4 模 2 1 2 1 2 yxaa 5 夹角 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 cos yxyx yyxx ba ba 7 函数图像的基本变换 xAysin 1 先平移后伸缩 函数的图像函数的图像xysin 个单位向左 右 平移 xysin 函数的图像 倍 纵坐标不变横坐标变为原来的 1 xysin 函数的图像 倍 横坐标不变纵坐标变为原来的A xAysin 12 2 先伸缩后平移 函数的图像函数的图像xysin 倍 纵坐标不变横坐标变为原来的 1 xy sin 函数的图像 个单位向左 右 平移 xysin 函数的图像 倍 横坐标不变纵坐标变为原来的A xAysin 8 向量的有关概念 1 向量的长度或模 向量的大小 也就是向量的长度 或ABAB 称模 记作 AB 2 零向量 长度为 0 的向量叫作零向量 记作 0 3 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 叫作单位向量 4 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫作相等向量 向量 与 相等 记作 abba 5 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫作平行向量 向量 与 平行 记作 我们规定 零向量与任一向量平行 即对于abba 任意向量 都有 aa 0 6 共线向量 任一组平行向量都可以移动到同一直线上 因此 平行向量也叫作共线向 量 9 弧长公式 扇形的面积公式 其中 为弧长 为圆的半径 为圆ral 2 2 1 2 1 ralrS 扇形 lra 心角的弧度数 必修必修 5 1 数列的通项公式与前 n 项和的关系 13 数列 的前 n 项和为 n a 1 2 1 ns nss nn n a nn aaas 21 2 等差数列的通项公式 dnaan 1 1 其前 n 项和公式为 ndan d d nn na aan s n n 2 1 22 1 2 1 2 1 1 3 等比数列的通项公式 0 1 1 1 qNnq q a qaa nn n 其前 n 项和公式为 或 1 1 1 1 1 1 q q qa qna n n s 1 1 1 1 1 q q qaa qna n n s 4 若且那么 当数列 是等差数列时 Nqpnm qpnm n a 有当数列 是等比数列时 有 qpnm aaaa n a qpnm aaaa 5 等差数列 中 若 n a 60 30 10 33 nnn sss 6 等比数列 中 若 n a 70 30 10 32 nnn sss则 7 正弦定理及正弦定理与外接圆半径的关系 2 sinsinsin R C c B b A a CRcBRbARasin2 sin2 sin2 sin sin sin 222R c R b R a CBA sin sin sin CBAcba 2 sinsinsin R CBA cba 正弦定理与面积公式 sinsinsin 2 1 2 1 2 1 BacAbcCabsABC 8 余弦定理 cos2 cos2 cos2 222 222 222 Cabbac Baccab Abccba 14 2 cos 2 cos 2 cos 222 222 222 ab cba C ac bca B bc acb A 选修选修 1 1 1 四种命题的真假性之间的关系 1 两个命题互为逆否命题 它们有相同的真假性 2 两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性没有关系 2 若 则是 的充分条件 是的必要条件 pq pqqp 若 则是 的充要条件 充分必要条件 pq pq 3 逻辑联结词 且 and 命题形式 或 or 命题形式pq pq 非 not 命题形式 p pqpq pq p 真真真真假 真假假真假 假真假真真 假假假假真 4 椭圆的几何性质 焦点的位 置 焦点在轴上x焦点在轴上y 15 图形 标准方程 22 22 10 xy ab ab 22 22 10 yx ab ab 范围且axa byb 且bxb aya 顶点 1 0aA 2 0aA 1 0 b 2 0 b 1 0 aA 2 0 aA 1 0b 2 0b 轴长短轴的长 长轴的长2b 2a 焦点 1 0Fc 2 0Fc 1 0 Fc 2 0 Fc 焦距 222 12 2FFc cab 对称性关于 轴 轴 原点对称xy 离心率 2 2 101 cb ee aa 5 双曲线的几何性质 焦点的位 置 焦点在轴上x焦点在轴上y 图形 标准方程 22 22 10 0 xy ab ab 22 22 10 0 yx ab ab 范围或 xa xa yR 或 ya ya xR 16 顶点 1 0aA 2 0aA 1 0 aA 2 0 aA 轴长虚轴的长 实轴的长2b 2a 焦点 1 0Fc 2 0Fc 1 0 Fc 2 0 Fc 焦距 222 12 2FFc cab 对称性关于 轴 轴对称 关于原点中心对称xy 离心率 2 2 11 cb ee aa 渐近线方 程 b yx a a yx b 5 抛物线的几何性质 标准方 程 2 2ypx 0p 2 2ypx 0p 2 2xpy 0p 2 2xpy 0p 图形 顶点 0 0 对称轴轴x轴y 焦点 0 2 p F 0 2 p F 0 2 p F 0 2 p F 准线方 程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 离心率1e 17 范围0 x 0 x 0y 0y 6 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 两点的线段A 称为抛物线的 通径 即 A 2pA 7 焦半径公式 若点在抛物线上 焦点为 则 00 xy 2 20ypx p F 0 2 p Fx 若点在抛物线上 焦点为 则 00 xy 2 20 xpy p F 0 2 p Fy 8 函数从到的平均变化率 f x 1 x 2 x 21 21 f xf x xx 9 导数 在点处的导数记作 f x 0 x x xfxxf xfy x xx lim 00 0 0 0 10 函数在点处的导数的几何意义是曲线在点 yf x 0 x yf x 处的切线的斜率 00 xf x 11 常见函数的导数公式 C0 1 nn nxxxxcos sin xxsin cos aaa xx ln xx ee ax x a ln 1 log x x 1 ln 12 导数运算法则 1 f xg xfxgx 2 f xg xfx g xf x gx 3 2 0 f xfx g xf x gx g x g x g x 18 13 在某个区间内 若 则函数在这个区间内单 a b 0fx yf x 调递增 若 则函数在这个区间内单调递减 0fx yf x 必修必修 1 2 1 线性回归方程 最小二乘法 abxy 其中 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xnx aybx 注意 线性回归直线经过定点 yx 2 相关系数 判定两个变量线性相关性 n i n i ii n i ii yyxx yyxx r 11 22 1 注 0 时 变量正相关 0 时 变量负相关 ryx ryx 越接近于 1 两个变量的线性相关性越强 接近 r r 于 0 时 两个变量之间几乎不存在线性相关关系 3 条件概率 对于任何两个事件 A 和 B 在已知 B 发生的条件下 A 发生的 概率称为 B 发生时 A 发生的条件概率 记为 P A B 其公式为 P A B P AB P A 4 相互独立事件 1 一般地 对于两个事件 A B 如果 P AB P A P B 则 称 A B 相互独立 2 如果 A1 A2 A n 相互独立 则有 P A1A2 An P A1 P A2 P An 19 3 如果 A B 相互独立 则 A 与 与 B 与也相互独 B A A B 立 5 独立性检验 分类变量关系 1 2 2 列联表 设为两个变量 每一个变 A B 量都可以取两个值 变量变量 121 A A AA 121 B B BB 通过观察得到右表所示数据 并将形如此表的表格称为 2 2 列联 表 2 独立性检验 根据 2 2 列联表中的数据判断 两个变量 A B 是否独立的问题叫 2 2 列联表的独立性检验 3 统计量 2 的计算公式 2 n ad bc 2 a b c d a c b d 6 复数相关结论 1 z a bi Rb 0 a b R z z2 0 z 2 z a bi 是虚数b 0 a b R 3 z a bi 是纯虚数a 0 且 b 0 a b R z 0 z 0 z z2 0 4 a bi c dia c 且 c d a b c d R 7 复数的代数形式及其运算 20 设 z1 a bi z2 c di a b c d R 则 1 z 1 z2 a b c d i 2 z1 z2 a bi c di ac bd ad bc i 3 z1 z2 z2 0 dicdic dicbia i dc adbc dc bdac 2222 8 几个重要的结论 1 ii2 1 2 1 1 1 1 i i i i i i 2 性质 T 4 iiiiiii nnnn 3424144 1 1 0 3424144 nnn iiii 3 z zzzz 1 11 9 运算律 1 3 2 2121 Nnmzzzzzzzzz mm mmnnmnmnm 选修选修 2 1 1 如果闭区间上函数的图像是连续曲线 且满足 ba xf0 bfaf 那么在开区间内至少存在一个零点 xf ba 2 如果一条直线垂直于一个平面内两天相交直线 那么这条直线垂 直于这个平面 3 如果两个平面平行 那么一个平面内的任何一条直线平行于另一 个平面 4 若向量 0 bababa 则满足 5 abba baccba 交换律 结合律 6 设为实数 那么 3 2 1 RRaa RRaaababa Raa 7 空间两个向量 21 8 空间向量的数量积与平面向量的数量积具有同样的运算律 3 2 1 Rbaba cabacba abba 分配律 交换律 0 0 cos 3 0 2 1 ba ba ba ba baba aaa 9 b cos的夹角与为 的数量积 与 ababa ba 10 平面向量的坐标运算 5 4 3 2 1 21212211 12122211 21212211 21212211 yyxxbayxbyxa yxaRyxa yyxxOAOBAByxByxA yyxxbayxbyxa yyxxbayxbyxa 则设 则设 则设 则设 则设 11 点到直线的距离 22 O SPAPAd 点到平面的距离 0 nPAd 选修选修 2 22 2 1 推理与证明 1 合情推理与类比推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质 退出这类事物的所有 对象都具有这种性质的 推理 叫做归纳推理 归纳是从特殊到一般 的过程 它属于合情推理 根据两类不同事物之间具有某些类似 或一致 性 推测其中 22 一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理 叫做类比推理 2 类比推理的一般步骤 找出两类事物的相似性或一致性 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的 命题 猜想 一般的 事物之间的各个性质并不是孤立存在的 而是相互制 约的 如果两个事物在某些性质上相同或相似 那么他们在另一写 性质上也可能相同或类似 类比的结论可是 真的 一般情况下 如果类比的相似性越多 相似的性质与推测的性 质之间越相关 那么类比得出的命题越可靠 3 演绎推理 俗称三段论 由一般性的命题推出特殊命题的过 程 这种推理称为演绎推理 4 数学归纳法 它是一个递推的数学论证方法 步骤 命题在 或 时成立 这是递推的基础 a1 n 0 n 假设在时命题成立 bkn 证明时命题也成立 c1 kn 完成这三步 就可以断定对任何自然数 或 且 结 0 nn Nn 论都成立 5 反证法 23 反证法的证题模式可以简要的概括为 否定推理否 定 即从否定结论 开始 经过正确无误的推理导致逻辑矛盾 达 到新的否定 可以认为反证法的基本思想就是 否定之否定 应用反证法证明的主要三步是 否定结论 推导出矛盾 结论成立 6 分析法 所谓分析法 是指 执果索因 的思维方法 即从结论出发 不断地去寻找需知 直 至达到已知事实为止的方法 分析法的思维全貌可概括为 结论需知 1需知 2 已知 7 综合法 所谓综合法 是指 由因导果 的思维方法 即从已知条件出 发 不断地展开思考 去探索结论的方法 综合法的思维过程的全貌可概括为 已知可知 1可知 2结论 2 导数及其运算 1 导数的物理意义 瞬时速率 一般的 函数在 xfy 处的瞬时变化率是 我们称它为函数在 0 xx x xfxxf x 00 0 lim xfy 处的导数 记作或 即 0 xx xf 0 xx y x xfxxf xf x 00 0 lim 2 导数的几何意义 曲线的切线 通过图像 我们可以看出 当点趋近于时 直 线与曲线相切 容易知道 割线的斜 n PPPT n PP 率是 当点趋近于时 函数在处的导 0 0 xx xfxf k n n n n PP xfy 0 xx 24 数就是切线的斜率 即 PTk 0 0 0 0 limxf xx xfxf k n n x 3 导函数 当 变化时 便是 的一个函数 我们称它为x xf x 的导函数 的导函数有时也记作 即 xf xfy y x xfxxf xf x 0 lim 4 基本初等函数的导数公式 若 为常数 则 cxf c 0 xf 若 则 xxf 1 a xxf 若 则 xxfsin xxfcos 若 则 xxfcos xxfsin 若 则 x xf ln x xf 若 则 x exf x exf 若 则 x xf log ln 1 x xf 若 则 xxfln x xf 1 5 导数的运算法则 xgxfxgxf xgxfxgxfxgxf 2 xg xgxfxgxf xg xf 6 复合函数求导 和 称则 可以表示成为 ufy xgu y 的函数 即为一个复合函数 x xgfy xgxgfxgufy 3 导数在研究函数中的应用 1 函数的单调性与导数 25 一般的 函数的单调性与其导数的正负有如下关系 在某个区间 内 ba 如果 那么函数在这个区间单调递增 0 xf xfy 如果 那么函数在这个区间单调递减 0 xf xfy 2 函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大 小情况 求函数的极值的方法是 xfy 如果在附近的左侧 右侧 那么是极大 0 x 0 xf 0 xf 0 xf 值 如果在附近的左侧 右侧 那么是极小 0 x 0 xf 0 xf 0 xf 值 3 函数的最大 小 值与导数 求函数在上的最大值与最小值的步骤 xfy ba 求函数在内的极值 xfy ba 将函数的各极值与端点处的函数值 比较 其 xfy af bf 中最大的是一个 最大值 最小的是最小值 4 数系的扩充和复数的概念 1 复数 形如 的数叫做复数 和 分别叫bia RbRa ab 它的实部和虚部 2 分类 复数 中 bia RbRa 当 就是实数 0 b 叫做虚数 0 b 26 当时 叫做纯虚数 0 0 ba 3 复数相等 如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个 复数相等 4 共轭复数 当两个复数实部相等 虚部互为相反数时 这 两个复数互为共轭复数 5 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 轴叫做实轴 轴除去原点的部分叫做虚轴 xy 6 两个实数可以比较大小 但两个复数如果不全是实数就不 能比较大小 5 复数的运算 设 biaz 1 dicz 2 Rdcba 1 idbcazz 21 2 ibcadbdaczz 21 3 22 2 1 dc ibcadbdac z z 0 2 z 6 几个重要的结论 1 2 2 2 1 2 21 2 21 2zzzzzz 2 2 2 zzzz 3 若 为虚数 则 z 2 2 zz 7 乘法运算律 1 2 3 nmnm zzz mn n m zz nn n zzzz 21 21 Rnm 8 关于虚数单位 的一些固定结论 i 1 2 3 4 1 2 iii 3 1 4 i0 321 nnnn iiii 27 选修选修 2 2 3 3 1 计数原理 1 分类加法计数原理 做一件事情 完成它有类办法 在N 第一类办法中有种不同的方法 在第二类办法中有种不同 1 M 2 M 的方法 在第类办法中有种 不同的方法 那么完成这N N M 件事情共有种不同的方法 N MMM 21 2 分步乘法计数原理 做一件事情 完成它有类办法 在N 第一类办法中有种不同的方法 在第二类办法中有种不同 1 M 2 M 的方法 在第类办法中有种 不同的方法 那么完成这N N M 件事情共有种不同的方法 N MMM 21 4 排列 从 个不同的元素中任取 个元素 按照nmnm 一定顺序排成一列 叫做从 个不同元素中取出个元素的一个nm 排列 5 排列数 11 mn n mnnnAm Nnmnm 6 组合 从 个不同的元素中任取 个元素并成一nmnm 组 叫做从 个不同 元素中取出个元素的一个组合 nm 7 组合数 11 mnm n m mnnn A A C m m m n m n mn n m n CC m n m n m n CCC 1 1 28 8 二项式定理 n n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba 1222110 9 二项式通项公式 rrnr nr baCT 1 nr 1 0 2 随机变量及其分布 1 随机变量 如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 来表示 并且是随着试验的结果的不同而变化 那么这样的变XX 量叫做随机变量 随机变量常用大写字母 等或希腊字母 XY 等表示 2 离散型随机变量 在上面的射击 产品检验等例子中 对 于随机变量可能取的 值 我们可以按一定次序一一列出 这样的X 随机变量叫做离散型随机变量 3 离散型随机变量的分布列 一般的 设离散型随机变量可能取的X 值为 ni XXXX 21 取每一个值 的概率 则称表为离X i X 2 1i ii PXP 散型随机变量的概率分布 简称分布列 X 4 分布列性质 0 i P 2 1i1 21 n PPP 5 二点分布 如果随机变量 X 的分布列为 其中 则称离散型随机变量服从参数的二10 ppq 1XP 点分布 6 超几何分布 一般地 设总数为件的两类物品 其中一N 29 类有件 从所有物品中任取 件 这 件中所含MnNn n 这类物品件数是一个离散型随机变量 则它取值为 时的概Xk 率为 其中 n N kn MN k M C CC kXP mk 2 1 0 且 nMm min Nn NM NNMn 7 条件概率 对任意事件和事件 在已知事件发生的条ABA 件下事件发生的概率 叫做条件概率 记作 读作发生B ABPA 的条件下的概率 B 8 条件概率公式 AP ABP ABP 0 AP 9 相互独立事件 事件 或 是否发生对事件 或 发生ABBA 的概率没有影响 这 样的两个事件叫做相互独立事件 BPAPABP 10 次独立重复事件 在同等条件下进行的 各次之间相互n 独立的一种试验 11 二项分布 设在 次独立重复试验中某个事件发生的次nA 数 发生次数 是 一个随机变量 如果在一次试验中某事件发生A 的概率是 事件不发生的概率为 那么在 次独立重复pApq 1n 试验中 knkk n qpCkP 其中 nk 1 0 pq 1 于是可得随机变量 的概率分布如下 这样的随机变量 服从二项分布 记作 其中 为 pnB np 30 参数 12 数学期望 一般地 若离散型随机变量 的概率分布为 则称为 的数学期望或平均数 均值 iip xpxpxE 2211 数学期望又简称为期望 是离散型随机变量 13 方差 叫随机 nn pExpExpExD 2 2 2 21 2 1 变量的均方差 简称方差 14 集中分布的期望与方差一览 期望方差 两点分布pE pqpqD 1 二项分布 pnB npE pqqnpqED 1 15 正态分布 若概率密度曲线就是或近似地是函数 2 2 2 2 1 x exfRx 的图像 其中解析式中的实数 是参数 分别表示 0 总体的平均数与标准差 则其分布叫正态分布记作 N 的图象称为正态曲线 xf 16 基本性质 曲线在 轴的上方 与 轴不相交 xx 曲线关于直线对称 且在时位于最 x x 高点 31 当时 曲线上升 当时 曲线下降 并且当曲 线向 x x 左 右两边无限延伸时 以 轴为渐近线 向它无限靠近 x 当一定时 曲线的形状由确定 越大 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分散 越小 曲线越 瘦高 表示总体的 分布越集中 当相同时 正态分布曲线的位置由期望值来决定 正态曲线下的总面积等于 1 17 原则 3 从上表看到 正态总体在以外取值的概率只有 2 2 4 6 在以外取值的概率只有 0 3 由于这些概率很 3 3 小 通常称这些情况发生为小概率事件 也就是说 通常认为这 些情况在一次试验中几乎是不可能发生的 3 统计案例 1 独立性检验 假设有两个分类变量和 它们的值域分别为和 XY 21 x x 21 y y 其样本频数列联表为 1 y 2 y总计 1 x abba 2 x cddc 总计ca db dcba 可以利用独立性检验来考察两个变量和 是否有关系 并且能XY 32 较精确地给出这种判断的可靠程度 具体的做法是 由表中的数据 算出随机变量的值 2 K 其中为样本容量 dbcadcba bcadn K 2 2 dcban 的值越大 说明 和 有关系 成立的可能性越大 2 KXY 时 和 无关 时 和 有 95 可能性有关 841 3 2 KXY841 3 2 KXY 时 和 有 99 可能性有关 635 6 2 KXY 2 回归分析 回归直线方程 xbay 其中 n i i n i ii n i i n i ii xnx yxnyx xx yyxx b 1 2 2 1 1 2 1 xbya 选修选修 4 1 几何证明选讲几何证明选讲 1 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 截得的对应 线段成比例 2 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 截得的对应线段成比例 3 三角形内角平分线定理 三角形的内角平分线分对边所得的两条 线段与这个角的两边对应线段成比例 4 直角三角形的射影定理 直角三角形的每一条直角边是它在斜边 上的射影与斜边的比例中项 斜边上的高是两条直角边在斜边上射 影的比例中项 5 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 33 圆周角的角度等于它所对的弧的度数的一半 6 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 在同圆或等圆中 相等的 圆周角所对的弧也相等 7 推论 2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 的圆周角所对 0 90 的弧是半圆 8 切线的判定定理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆 的切线 9 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 10 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线经过切点 11 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线经过圆心 12 切线长定理 过圆外一点作圆的两条切线 这两条切线长相等 13 弦切角定理 弦切角等于它所夹弧所对的圆心角 弦切角的度数 等于它所夹弧的度数的一半 14 切割线定理 过圆外一点作圆的一条切线和一条割线 切线长是 割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项 15 推论 过圆外一点作圆的两条割线 在一条割线上从这点到两个 交点的线段长的积 等于另一条割线上对应线段长的积 16 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积 相等 17 圆内接四边形的性质定理 圆内接四边形的对角互补 18 推论 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角 19 定理 如果一个四边形的内对角互补 那么这个四边形四个顶角 34 共圆 20 推论 如果一个四边形的一个外角等于其内对角 那么这个四边 形的四个顶点共圆 21 托勒密定理