甘肃省兰州市2016届中考数学一诊试卷含答案解析

第 1页（共 33页） 2016 年甘肃省兰州市中考数学一诊试卷 一、选择题：本大题共 15 小题，每小题 4分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1若 a： b=2： 3，则下列各式中正确的式子是（ ） A 2a=3b B 3a=2b C D 2矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A对角线相等 B两组对边分别平行 C对角线互相平分 D两组对角分别相等 3已知反比例函数的图象经 过点（ 2， 4），当 x=4 时，所对应的函数值 y 等于（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 4如果两个相似三角形的相似比是 1： 7，则它们的面积比等于（ ） A 1： B 1： 7 C 1： 1： 49 5抛物线 y=（ x 1） 2+2 与 y 轴交点坐标为（ ） A（ 0， 1） B（ 0， 2） C（ 1， 2） D（ 0， 3） 6如图是一个几何体的三视图，则该几何体是（ ） A圆柱 B圆锥 C正三棱柱 D正三棱锥 7一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的 10 个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了 1000 次，其中有 200 次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为（ ） A 60 个 B 50 个 C 40 个 D 30 个 8如图， O 的直径， 0，则 大小为（ ） 第 2页（共 33页） A 20 B 25 C 30 D 35 9若关于 x 的一元二次方程（ k 1） x 2=0 有不相等实数根，则 k 的取值范围是（ ） A k B k C k 且 k1 D k 且 k1 10如图，已知 O 的周长等于 8圆内接正六边形 边心距 长为（ ） A 2 2 4 4 1如图，将一个 状的楔子从木桩的底端点 P 处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为 18，若楔子沿水平方向前移 6箭头所示），则木桩上升了（ ） A 6 6 62某同学在用列表描点法画二次函数 y=bx+c 的图象时，列出了下面的表格：那么当 x=5 时，y 的值为（ ） x 1 0 1 2 3 y 8 3 0 1 0 A 8 B 6 C 4 D 3 13某商品的进价为每件 40 元，当售价为每件 60 元时，每星期可卖出 300 件；现需降价处理，且经市场调查：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件现在要使利润 为 6125 元，设每件商品应降价 可列方程为（ ） A（ 20+x）（ 300+20x） =6125 B（ 20 x）（ 300 20x） =6125 第 3页（共 33页） C（ 20 x）（ 300+20x） =6125 D（ 20+x）（ 300 20x） =6125 14如图，正方形 边长为 4，边 x 轴上，点 E 是对角线 交点，反比例函数 y= 的图象经过 A， E 两点，则 k 的值为（ ） A 8 B 4 C 6 D 3 15如图，直线 y= 与 y 轴交于点 A，与直线 y= 交于点 B，以 C 恰与原点 O 重合，抛物线 y=（ x h） 2+k 的顶点在直线 y= 上移动若抛物线与菱形的边有公共点，则 h 的取值范围是（ ） A 2 B 2h1 C 1 D 1 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4分，共 20分 16已知方程 x=3 有一根为 m，则 m+2013 的值为 17若抛物线 y=（ x 2） 2+（ m+1）的顶点在第一象限，则 m 的取值范围为 18如图，将边长为 16正方形纸片 叠，使点 D 落在 处，点 C 落在点 痕为 线 段 长是 第 4页（共 33页） 19如图，菱形 对角线 长分别为 2， 2 ，以点 D、 切，则图中阴影部分的面积是 20如图，在直角坐标系中，直线 x 轴、 y 轴于点 A（ 3， 0）与 B（ 0， 4），现有一半径为1 的动圆的圆心位于原点处，动圆以每秒 1 个单位长度的速度向右作平移运动设运动时间为 t（秒），则动圆与直线 交时 t 的取值范围是 三、解答题：本大题共 8 小题，共 70 分解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 21（ 1）计算： |1 |（ ） 1 4（ 0 （ 2）解方程： 1=2（ x+1） 22如图， 矩形 对角线，将矩形纸片折叠，使点 C 与点 在图中画出折痕，然后再在图中画出矩形 外接圆（用尺规作图，写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑） 第 5页（共 33页） 23春节期间，小刚随爸爸从陇南来兰州游玩，由于仅有一天的时间，小刚不能游玩所有风景区，于是爸爸让小刚上午上午从 A：兰州极地海洋世界（收费）， B：白塔山公园（免费）， C：水车博览园（免费）中任意选择一处游玩；下午从 D：五泉山公园（免费）， E：安宁滑雪场（收费）， F：甘肃省博物馆（免费）， G：西部欢乐园（收费）中任意选 一处游玩 （ 1）请用树状图或列表法说明小刚所有可能选择的方式（用字母表示）； （ 2）求小刚这一天游玩的景点恰好是免费的概率 24如图，皋兰山某处有一座信号塔 坡 坡度为 1： ，现为了测量塔高 量人员选择山坡 C 处为一测量点，测得 5，然后他顺山坡向上行走 100 米到达 E 处，再测得 0 （ 1）求出山坡 坡角 大小； （ 2）求塔顶 D 的铅直高度 结果保留整数： ） 25如图，在 ， C， 足为点 D， 角 平分线，足为点 E，连接 点 F （ 1）求证： 0； （ 2）求证：四边形 一个矩形； （ 3）当 足什么条件时，四边形 一个正方形？请给出证明； 当四边形 正方形，若 ，求正方形 面积 第 6页（共 33页） 26如图 1，一次函数 y=kx+b 的图象交 x 轴、 y 轴分别于 B、 比例函数 y= 的图象多线段 中点 C（ 2， ） （ 1）求反比例函数和一次函数的表达式； （ 2）如图 2，在反比例函数上存在异于 C 点的一动点 M，过点 N x 轴于 N，在 y 轴上存在点 P，使得 S S 你求出点 P 的坐标 27如图，已知 O 的直径，点 C 为圆上一点，点 D 在 延长线上，连接 ，使得 B （ 1）求证： O 切线； （ 2）求证： （ 3）若 ， ，求 长 第 7页（共 33页） 28如图 1，抛物线 y= 的图象过 A（ 1， 0）， B（ 4， 0）两点，与 y 轴交于点 C，作直线 点 P 从点 C 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 点 动时间为 t 秒，当点 P 与点 （ 1）求抛物线的表达式； （ 2）如图 2，当 t=1 时，求 S 面积； （ 3）如图 3，过点 P 向 x 轴作垂线分别交 x 轴，抛物线于 E、 F 两点 求 长度关于 t 的函数表达式，并求出 长度的最大值； 连接 叠得到 P t 为何值时，四边形 是菱形？ 第 8页（共 33页） 2016 年甘肃省兰州市中考数学一诊试卷 参 考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 15 小题，每小题 4分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1若 a： b=2： 3，则下列各式中正确的式子是（ ） A 2a=3b B 3a=2b C D 【考点】 比例的性质 【分析】 根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案 【解答】 解： A、 2a=3ba： b=3： 2，故选项错误； B、 3a=2ba： b=2： 3，故选 项正确； C、 = b： a=2： 3，故选项错误； D、 = a： b=3： 2，故选项错误 故选 B 【点评】 考查了比例的性质在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积 2矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A对角线相等 B两组对边分别平行 C对角线互相平分 D两组对角分别 相等 【考点】 矩形的性质；菱形的性质 【分析】 根据矩形与菱形的性质求解即可求得答案注意矩形与菱形都是平行四边形 【解答】 解： 矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等； 矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等 故选 A 【点评】 此题考查了矩形与菱形的性质注意熟记定理是解此题的关键 第 9页（共 33页） 3已知反比例函数的图象经过点（ 2， 4），当 x=4 时，所对应的函数值 y 等于（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征 【专题】 计算题 【分析】 设反比例函数的解析式 y= ，利用已知点的坐标和反比例函数图象上点的坐标特征可求出k 的值，从而得到反比例函数解析式，然后计算自变量为 4 所对应的函数值即可 【解答】 解：设反比例函数的解析式 y= ， 把（ 2， 4）代入得 k= 24= 8， 所以反比例函数解析式为 y= ， 当 x=4 时， y= = 2 故选 B 【点评】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y= （ k 为常数， k0）的图象是双曲线，图象上的点（ x， y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy=k 4如果两个相似三角形的相似比是 1： 7，则它们的面积比等于（ ） A 1： B 1： 7 C 1： 1： 49 【考点】 相似三角形的性 质 【分析】 直接根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解即可 【解答】 解： 两个相似三角形的相似比是 1： 7， 它们的面积比等于 1： 49 故选 D 【点评】 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的面积的比等于相似比的平方 5抛物线 y=（ x 1） 2+2 与 y 轴交点坐标为（ ） A（ 0， 1） B（ 0， 2） C（ 1， 2） D（ 0， 3） 【考点】 二次函数图象上点的坐标特征 【分析】 将 x=0 代入 y=（ x 1） 2+2，计算即可求得抛物线与 y 轴的交点坐标 第 10页（共 33页） 【解答】 解：将 x=0 代入 y=（ x 1） 2+2，得 y=3， 所以抛物线与 y 轴的交点坐标是（ 0， 3） 故选 D 【点评】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据 y 轴上点的横坐标为 0 求出交点的纵坐标是解题的关键 6如图是一个几何体的三视图，则该几何体是（ ） A圆柱 B圆锥 C正三棱柱 D正三棱锥 【考点】 由三视图判断几何体 【分析】 由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是三角形可判断出此几何体为正三棱柱 【解答】 解： 主视图和左视图是长方形， 该几何体是柱体， 俯视图是三角形， 该几何体是正三棱柱 故选： C 【点评】 此题考查由三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个试图确定其具体形状 7一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的 10 个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了 1000 次，其中有 200 次摸到白球，因此小亮估 计口袋中的红球大约为（ ） A 60 个 B 50 个 C 40 个 D 30 个 第 11页（共 33页） 【考点】 利用频率估计概率 【分析】 由条件共摸了 1000 次，其中 200 次摸到白球，则有 800 次摸到红球；所以摸到白球与摸到红球的次数之比可求出，由此可估计口袋中白球和红球个数之比，进而可计算出红球数 【解答】 解： 小亮共摸了 1000 次，其中 200 次摸到白球，则有 800 次摸到红球， 白球与红球的数量之比为 2： 4， 白球有 10 个， 红球有 410=40（个） 故选 C 【点评】 本题考查的利用频率估计概率，大量重复实验时，事件 发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例 8如图， O 的直径， 0，则 大小为（ ） A 20 B 25 C 30 D 35 【考点】 圆周角定理 【分析】 根据圆周角定理和三角形内角和定理即可求得 【解答】 解： O 的直径， 0， 0， B=20， B， 0 故选 A 【点评】 本题考查了圆周角定理的应用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键 9若关于 x 的一元二次方程（ k 1） x 2=0 有不相等实数根，则 k 的取值范围是（ ） 第 12页（共 33页） A k B k C k 且 k1 D k 且 k1 【考点】 根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】 根据判别式的意义得到 =22 4（ k 1） （ 2） 0，然后解不等式即可 【解答】 解： 关于 x 的一元二次方程（ k 1） x 2=0 有不相等实数根， =22 4（ k 1） （ 2） 0， 解得 k ；且 k 10，即 k1 故选： C 【点评】 此题考查了一元二次方程 bx+c=0（ a0）的根的判别式 =4 0，方程有两个不相等的实数根； 当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根 10如图，已知 O 的周长等于 8圆内接正六边形 边心距 长为（ ） A 2 2 4 4 考点】 正多边形和圆 【分析】 连接 正六边形 求出 0，进而可求出 0，根据30角的锐角三角函数值即可求出边心距 长 【解答】 解：连接 正六边形 圆的内接多边形， 0， D， 0， O 的周长等于 8 2 故选 B 第 13页（共 33页） 【点评】 本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键 11如图，将一个 状的楔子从木桩的底端点 P 处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为 18，若楔子沿水平方向前移 6箭头所示），则木桩上升了（ ） A 6 6 6考点】 解直角三角形的应用 【分析】 根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度 【解答】 解：由已知图 形可得： ， 木桩上升的高度 h=6 故选： A 【点评】 此题考查的是解直角三角形的应用，关键是由已知得直角三角形，根据三角函数求解 12某同学在用列表描点法画二次函数 y=bx+c 的图象时，列出了下面的表格：那么当 x=5 时，y 的值为（ ） x 1 0 1 2 3 y 8 3 0 1 0 A 8 B 6 C 4 D 3 【考点】 二次函数的图象 第 14页（共 33页） 【分析】 根据题目提供的满 足二次函数解析式的 x、 y 的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当 x=5 时， y 的值即可 【解答】 解：由上表可知函数图象经过点（ 1， 0）和点（ 3， 0）， 对称轴为 x=2， 当 x= 1 时的函数值等于当 x=5 时的函数值， 当 x= 1 时， y=8， 当 x=5 时， y=8 故选 A 【点评】 本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键 13某商品的进价为每件 40 元，当售价为每件 60 元时，每星期可卖出 300 件；现需降价处理，且经市场调查：每降价 1 元，每星期可多卖 出 20 件现在要使利润为 6125 元，设每件商品应降价 可列方程为（ ） A（ 20+x）（ 300+20x） =6125 B（ 20 x）（ 300 20x） =6125 C（ 20 x）（ 300+20x） =6125 D（ 20+x）（ 300 20x） =6125 【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】 销售问题 【分析】 设应降价 x 元，根据每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，利用销量 每件利润 =6125 元列出方程即可 【解答】 解：设应降价 x 元，根据题意得： （ 300+20x）（ 20 x） =6125， 故选： C 【点评】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键， 14如图，正方形 边长为 4，边 x 轴上，点 E 是对角线 交点，反比例函数 y= 的图象经过 A， E 两点，则 k 的值为（ ） 第 15页（共 33页） A 8 B 4 C 6 D 3 【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征 【专题】 计算题 【分析】 设 B（ a， 0），则 C（ a+4， 0）， A（ a， 4），利用正方形的性质得点 C 的中点，则可表示出 E（ a+2， 2），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 k=4a=2（ a+2），再求出 k 的值 【解答】 解：设 B（ a， 0），则 C（ a+4， 0）， A（ a， 4）， 点 E 为正方形 对角线的交点， 点 E 为 中点， E（ a+2， 2）， 点 在反比例函数 y= 的图象上， k=4a=2（ a+2），解得 a=2， k=8 故选 A 【点评】 本题考查了反比例函数图象 上点的坐标特征：反比例函数 y= （ k 为常数， k0）的图象是双曲线，图象上的点（ x， y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy=k也考查了正方形的性质 15如图，直线 y= 与 y 轴交于点 A，与直线 y= 交于点 B，以 C 恰与原点 O 重合，抛物线 y=（ x h） 2+k 的顶点在直线 y= 上移动若抛物线与菱形的边有公共点，则 h 的取值范围是（ ） 第 16页（共 33页） A 2 B 2h1 C 1 D 1 【考点】 二次函数综合题 【分析】 将 y= 与 y= 联立可求得点 后由抛物线的顶点在直线 y= 可求得k= ，于是可得到抛物线的解析式为 y=（ x h） 2 h，由图形可知当抛物线经过点 时抛物线与菱形的边 有交点，然后将点 C 和点 h 的值，从而可判断出 h 的取值范围 【解答】 解： 将 y= 与 y= 联立得： ，解得： 点 2， 1） 由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（ h， k） 将 x=h， y=k，代入得 y= 得： h=k，解得 k= ， 抛物线的解析式为 y=（ x h） 2 h 如图 1 所示：当抛物线经过点 C 时 将 C（ 0， 0）代入 y=（ x h） 2 h 得： h=0，解得： （舍去）， 如图 2 所示：当抛物线经过点 第 17页（共 33页） 将 B（ 2， 1）代入 y=（ x h） 2 h 得：（ 2 h） 2 h=1，整理得： 2h+6=0，解得： 2， （舍去） 综上所述， h 的范围是 2h 故选 A 【点评】 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与菱形的边 C 均有交点时抛物线经过的 “临界点 ”为点 是解题解题的关键 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4分，共 20分 16已知方程 x=3 有一根为 m，则 m+2013 的值为 2016 【考点】 一元二次方程的解 【专题】 计算题 【分析】 根据一元二次方程的定义得到 m=3，然后利用整体代入的方法计算代数式的值 【解答】 解 ： 方程 x=3 有一根为 m， m=3， m+2013=3+2013=2016 答案为 2016 【点评】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 17若抛物线 y=（ x 2） 2+（ m+1）的顶点在第一象限，则 m 的取值范围为 m 1 【考点】 二次函数的性质 【分析】 直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可 第 18页（共 33页） 【解答】 解： 抛物线 y=（ x 2） 2+（ m+1）， 顶点坐标为（ 2， m+1）， 顶点在第一 象限， m+1 0， m 的取值范围为 m 1 故答案为： m 1 【点评】 本题考查二次函数的性质，二次函数 y=a（ x h） 2+k 的顶点坐标为（ h， k），以及各个象限点的坐标特征 18如图，将边长为 16正方形纸片 叠，使点 D 落在 处，点 C 落在点 痕为 线段 长是 6 【考点】 翻折变换（折叠问题） 【分析】 设 D=x，在 利用勾股定理即可解决问题 【解答】 解：如图： 四边形 正方形， C=D=16， B=8， D，设 F=x则 6x， 在 ， 82+（ 16 x） 2= 第 19页（共 33页） x=10， 6 10=6 故答案为 6 【点评】 本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方程解决问题，属于中考常考题型 19如图，菱形 对角线 长分别为 2， 2 ，以点 D、 切，则图中阴影部分的面积是 2 【考点】 扇形面积的计算；菱形的性质 【分析】 连接 0， 0，在 求出出扇形半径，由菱形面积减去扇形面积即可得出阴影部分的面积 【解答】 解：连接 四边形 菱形， 相垂直且平分， ， ， ， ， 0， 0， ， 0， 以 D 相切， 0， 在 ， ， 0， 第 20页（共 33页） ， S 菱形 S 扇形 = 22 =2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了扇形的面积计算、菱形的性质及切线的性质，解答本题的关键是根据菱形的性质求出各角度及扇形的半 径 20如图，在直角坐标系中，直线 x 轴、 y 轴于点 A（ 3， 0）与 B（ 0， 4），现有一半径为1 的动圆的圆心位于原点处，动圆以每秒 1 个单位长度的速度向右作平移运动设运动时间为 t（秒），则动圆与直线 交时 t 的取值范围是 t 【考点】 直线与圆的位置关系；坐标与图形性质 【专题】 动点型 【分析】 在 ， ，由勾股定理得 ，过 P 点作 足为 Q，；当 O 在直线 左边与直线 切时， t，根据 的成比例线段求解；当 P 在直线 右边与直线 AP=t 3，根据 的成比例线段求解；得出动圆与直线 切时 t 的取值，即可得出动圆与直线 交时 t 的取值范围 【解答】 解：如图所示： A（ 3， 0）、 B（ 0， 4）， ， ， =5， 过 P 点作 垂线，垂足为 Q，则 ； 当 P 在直线 左边与直线 切时， t， 第 21页（共 33页） 则 ，即 ， 解得： t= ； 当 P 在直线 右边与直线 切时， AP=t 3； 则 ，即 ， 解 得： t= ； 综上所述：动圆与直线 切时 t 的取值是 或 ， 动圆与直线 交时 t 的取值范围是 t 故答案为： t 【点评】 本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题 三、解答题：本大题共 8 小题，共 70 分解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 21（ 1）计算： |1 |（ ） 1 4（ 0 （ 2）解方程： 1=2（ x+1） 【考点】 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程 殊角的三角函数值 【分析】 （ 1）利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和零指数以及负整数指数幂的性质化简各数，进而得出答案； （ 2）利用因式分解法解方程得出答案 第 22页（共 33页） 【解答】 解：（ 1）原式 =2 1 2 4 +1 = 2 （ 2）方程整理得： 2x 3=0， 这里 a=1， b= 2， c= 3， =4+12=16 0， x= =12， 解得： 1， 【点评】 此题主要考查了实数运算以及一元二次方程的解法，正确化简各数是解题关键 22如图， 矩形 对角线，将矩形纸片折叠，使点 C 与点 在图中画出折痕，然后再在图中画出矩形 外接圆（用尺规作图，写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑） 【考点】 作图 复杂作图 【专题】 作图题 【分析】 作线段 垂直平分线交 E，交 F，交 O，则 折痕；然后以点O 为圆心， 半径作圆 O 【解答】 解：如图， O 为所作 第 23页（共 33页） 【点评】 本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 23春节期间，小刚随爸爸从陇南来兰州游玩，由于仅有一天的时 间，小刚不能游玩所有风景区，于是爸爸让小刚上午上午从 A：兰州极地海洋世界（收费）， B：白塔山公园（免费）， C：水车博览园（免费）中任意选择一处游玩；下午从 D：五泉山公园（免费）， E：安宁滑雪场（收费）， F：甘肃省博物馆（免费）， G：西部欢乐园（收费）中任意选一处游玩 （ 1）请用树状图或列表法说明小刚所有可能选择的方式（用字母表示）； （ 2）求小刚这一天游玩的景点恰好是免费的概率 【考点】 列表法与树状图法 【分析】 （ 1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得小刚所有可能选择的方式； （ 2）首先由（ 1）中的 树状图，即可求得小刚这一天游玩的景点恰好是免费的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案 【解答】 解：（ 1）列表格如下： 下午 上午 D E F G A （ A， D） （ A， E） （ A， F） （ A， G） B （ B， D） （ B， E） （ B， F） （ B， G） C （ C， D） （ C， E） （ C， F） （ C， G） （ 2） 一共有 12 种等可能的结果，而恰好小刚这一天的游玩的景点恰好是免费的有（ B， D），（ C，D），（ B， F），（ C， F） 4 种 P（小刚这一天游玩的景点恰好是免费） = = 【点评】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率 =所求情况数与总情况数之比 第 24页（共 33页） 24如图，皋兰山某处有一座信号塔 坡 坡度为 1： ，现为了测量塔高 量人员选择山坡 C 处为一测量点，测得 5，然后他顺山坡向上 行走 100 米到达 E 处，再测得 0 （ 1）求出山坡 坡角 大小； （ 2）求塔顶 D 的铅直高度 结果保留整数： ） 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 （ 1）根据 ，进而得出答案； （ 2）设 AD=x，则 D=x，可得 AF=x 50， EF=x 50 ，进而利用在 ， =求出答案 【解答】 解：（ 1）依题意得： = ， 0； （ 2）方法 1： 作 足为 G 在 ， 00， 0， E50， E50 ， 设 AD=x，则 D=x AF=x 50， EF=x 50 ， 在 ， = = 解得： x=50 +50） 答：塔顶 D 的铅直高度 为 137 米 第 25页（共 33页） 方法 2： 5， 5 0， 0 5， 5， E=100 在 ， 0， E50 （ m）， 在 ， 00m， 0， E50m F+F+0 +50） 答：塔顶 D 的铅直高度 为 137 米 【点评】 此题主要考查了解直角三角形的应用以及坡角的定义，正确构造直角三角形是解题关键 25如图，在 ， C， 足为点 D， 角 平分线，足为点 E，连接 点 F （ 1）求证： 0； （ 2）求证：四边形 一个矩形； （ 3）当 足什么条件时，四边形 一个正方形？请给出证明； 当四边形 正方形，若 ，求正方形 面积 第 26页（共 33页） 【考点】 四边形综合题 【分析】 （ 1）利用角平分线的定义和邻补角的定义即可得出 度数； （ 2）利用有三个内角是直角的四边形是矩形的判断方法即可； （ 3）利用邻边相等的矩形是正方形，求出正方形的边长，从而求出正方形的面积 【解答】 （ 1）证明： 如图 1， C， 足为 D， 角的平分线， 邻补角， 80， （ =90， （ 2）证明： 0， 0， 四边形 矩形 第 27页（共 33页） （ 3）解：如图 2，当 等腰直角三角形时，四边形 一个正方形 0，且 C， 5， 0， 5， C 四边形 矩形， 四边形 正方形 由勾股定理，得 = D， ， ， 正方形 面积 =3=9 【点评】 本题是四边形的综合题，主要考查正方形的判断方法，涉及到知识有，等腰三角形的三线合一的性质，如由 C， 到 角形的外角的平分线，勾股定理；本题的关键是整体计算 （ =90 26如图 1，一次函数 y=kx+b 的图象交 x 轴、 y 轴分别于 B、 比例函数 y= 的图象多线段 中点 C（ 2， ） （ 1）求反比例函数和一次函数的表达式； 第 28页（共 33页） （ 2）如图 2，在反比例函数上存在异于 C 点的一动点 M，过点 N x 轴于 N，在 y 轴上存在点 P，使得 S S 你求出点 P 的坐标 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （ 1）可先根据待定系数法求得反比例函数解析式，然后根据平行线分线段成比例定理求得值，得出 A， C 两点分别代入 y=kx+b 根据待定系数法即可求得 （ 2）设 P（ 0， y），则 y 3|根据反比例函数系数 k 的几何意义和已知条件求得 S ，然后根据三角形面积公式得到关于 y 的方程，解方程即可求得 y 的值 【解答】 解：（ 1）如图 1， 反比例函数 y= 的图象 过点 C（ 2， ）， k=（ 2） = 3， 反比例函数解析式为 y= ； 过点 C 作 = ， 即 = ，解得： ， A（ 0， 3） 一次函数 y=kx+b 的图象过点 C（ 2， ）， A（ 0， 3）， ，解得： 一次函数的表达式为 y= x+3 （ 2）如图 2，设 P（ 0， y）， y 3| 第 29页（共 33页） S |k|= 3= ， S S =3， 3，即： |y 3|2=3； 解得： y=6 或 y=0 P（ 0， 6）或 P（ 0， 0） 【点评】 本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行线分线段成比例定理，三角形的面积等，求得 27如图，已知 O 的直径，点 C 为圆上一点，点 D 在 延长线上，连接 ，使得 B （ 1）求证： O 切线； （ 2）求证： （ 3）若 ， ，求 长