角平分线模型的构造

1 第二讲角平分线模型的构造第二讲角平分线模型的构造 3 月月 角平分线角平分线 l 定义 如图 2 1 如果 AOB BOC 那么 AOC 2 AOB 2 BOC 像 OB 这样 从一个 角的顶点出发 把这个角分成相等的两个角的射 线 叫作这个角的角平分线 图 2 1 2 角平分线的性质定理 如果一条射线是一个角的平分线 那么它把这 个角分成两个相等的角 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相 等 3 角平分线的判定定理 在角的内部 如果一条射线的端点与角的顶点 重合 且把一个角分成两个等角 那么这条射线 是这个角的平分线 在角的内部 到一个角两边距离相等的点在这 个角的平分线上 与角平分线有关的常用辅助线作法 即角平分线 的四大基本模型 已知 P 是 MON 平分线上一点 l 若 PA OM 于点 A 如图 2 2 a 可以过 P 点 作 PB ON 于点 B 则 PB PA 可记为 图中有图中有 角平分线 可向两边作垂线角平分线 可向两边作垂线 a B A O P M N b B O P M N A 2 若点 A 是射线 OM 上任意一点 如图 2 2 b 可以在 ON 上截取 OB OA 连接 PB 构造 OPB OPA 可记为 图中有角平分线 可以将图中有角平分线 可以将 图对折看 对称以后关系现图对折看 对称以后关系现 3 若 AP OP 于点 P 如图 2 2 c 可以延长 AP 交 ON 于点 B 构造 AOB 是等腰三角形 P 是 底边 AB 的中点 可记为 角平分线加垂线 三角平分线加垂线 三 线合一试试看线合一试试看 c B A O P M N d Q O P M N 4 若过 P 点作 PQ ON 交 OM 于点 Q 如图 2 2 d 可以构造 POQ 是等腰三角形 可记为 角平分线十平行线 等腰三角形必呈现角平分线十平行线 等腰三角形必呈现 例例 1 1 如图 2 3 a 在 ABC 中 C 90 AD 平 分 CAB BC 6cm BD 4cm 那么点 D 到直线 AB 的距离是 cm 图 2 3图 a图 D A B C 2 如图 2 3 b 已知 1 2 3 4 求证 AP 平分 BAC 图 2 3图 b图 4 3 2 1 P A BC 2 例例 2 如图 2 4 a Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 垂足为 D AF 平分 CAB 交 CD 于 点 E 交 CB 于点 F 求证 CE CF C 图 2 4图 a图 E F D A B 将图 2 4 a 中的 ADE 沿 AB 向右平移到 A D E 的位置 使点 E 落在 BC 边上 其它条 件不变 如图 2 4 b 所示 试猜想 BE 与 CF 有 怎样的数量关系 请证明你的结论 C 图 2 4图 b图 A D E E F D A B 例例 3 阅读下列学习材料 如图 2 5 a 所示 OP 平分 MON A 为 OM 上 一点 C 为 OP 上一点 连接 AC 在射线 ON 上 截取 OB OA 连接 BC 如图 2 5 b 易证 AOC BOC 图 2 5图 a图 M O N C A P 图 2 5图 b图 BN O M C A P 请根据上面的学习材料 解答下列各题 l 如图 2 5 c 所示 在 ABC 中 AD 是 BAC 的外角平分线 P 是 AD 上异于点 A 的任意一点 试比较 PB PC 与 AB AC 的大小 并说明理由 图 2 5图 c图 D C B A 2 如图 2 5 d 所示 AD 是 ABC 的内角平分线 其它条件不变 试比较 PC PB 与 AC AB 的 大小 并说明理由 图 2 5图 d图 D A B C P 3 例例 4 如图 2 6 a 已知等腰直角三角形 ABC 中 A 90 AB AC BD 平分 ABC CE BD 垂足为点 E 求证 BD 2CE 图 2 6图 a图 D E B A C 1 如图 2 7 a BD CE 分别是 ABC 的外角平 分线 过点 A 作 AD 上 BD AE CE 垂足分别 为 D E 连接 DE 求证 DE BC DE AB BC AC 2 1 图 2 7图 a图 DE A BC 2 如图 2 7 b BD CE 分别是 ABC 的内角平 分线 其它条件不变 图 2 7图 b图 F G DE A B C 3 如图 2 7 c BD 为 ABC 的内角平分线 CE 为 ABC 的外角平分线 其它条件不变 则在图 2 7 b 图 2 7 c 两种情况下 DE 与 BC 还平行吗 它与 ABC 三边又有怎样的数量关系 请写出你的猜测 并对其中的一种情况进行证明 图 2 7图 c图 F D E CB A 4 变式变式 如图 2 8 在 ABC 中 AB 3AC BAC 的平分 线交 BC 于点 D 过点 B 作 BE AD 垂足为 E 求证 AD DE 图 2 8 C D A EB 例例 6 如图 2 9 a AB AC BD CD 分别平分 ABC ACB 问 l 图 2 9 a 中有几个等腰三角形 图 2 9图 a图 D A BC 图 2 9图 b图 FE D A BC 2 过 D 点作 EF BC 如图 2 9 b 交 AB 于点 E 交 AC 于点 F 图中又增加了几个等腰三角形 3 如图 2 9 c 若将题中的 ABC 改为不等边三 角形 其他条件不变 图中有几个等腰三角形 直接写出线段 EF 与 BE CF 有什么关系 图 2 9图 c图 F E D A B C 4 如图 2 9 d BD 平分 ABC CD 平分外角 ACG DE BC 交 AB 于点 E 交 AC 于点 F 线 段 EF 与 BE CF 有什么关系 并说明理由 图 2 9图 d图 F ED C B A G 5 如图 2 9 e BD CD 为外角 CBM BCN 的平分线 DE BC 交 AB 延长线于点 E 交 AC 延长线于点 F 直接写出线段 EF 与 BE CF 有什 么关系 图 2 9图 e图 M N D A B C 例 7 如图 2 10 a 所示 已知 ABC 中 AC BC C 90 AD 平分 CAB 求证 AB ACD 5 图 2 10图 a图 2 1 D A C B 变式变式 1 如图 2 11 所示 已知 ABC 中 AB AC A 108 BD 平分 ABC 求证 BC AB CD 图 2 11 D A B C 变式变式 2 如图 2 12 已知 ABC 中 AB AC A IOO BD 平分 ABC 求证 BC BD AD 图 2 12 D A B C 例例 8 如图 2 13 a OP 是 MON 的平分线 请你利用 该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三 角形 图 2 13 a O P M N 请你参考上图构造全等三角形的方法 解答下列 问题 1 如图 2 13 b 在 ABC 中 ACB 是直角 B 60 AD CE 分别是 BAC BCA 的 平分线 AD CE 相交于点 F 请你判断写出 FE 与 FD 之间的数量关系 图 2 13 b D E F A B C 2 如图 2 13 c 在 ABC 中 如果 ACB 不是 直角 而 l 中的其他条件不变 请问 你在 1 中所得结论是否依然成立 若成立请证明 若不 成立 请说明理由 6 图 2 13图 c图 D E F CA B 牛刀小试牛刀小试 l 如图 2 14 a 在 ABC 中 ABC 与 ACB 的角平分线相交于点 F 过点 F 作 DF BC 交 AB 于点 D 交 AC 于点 E 若 BD CE 9 则线 段 DE 之长为 图 2 14 a E D F C B A 2 如图 2 14 b 在 ABC 中 BD CD 分别平 分 ABC 和 ACB DE AB FD AC BC 6 求 DEF 的周长 图 2 14 b FE D A B C 2 已知 如图 2 15 BAD CAD AB AC CD AD 于点 D H 是 BC 中点 求证 DH AB AC 2 1 图 2 15 H D C B A 3 已知如图 2 16 四边形 ABCD 中 B D 180 BC CD 求证 AC 平分 BAD 图 2 16 C A B D 4 如图 2 17 ABC 的外角 ACD 的平分线 CP 与 内角 ABC 的平分线 BP 交于点 P 连接 AP CP 若 BPC 40 求 CAP 的度数 7 图 2 17 P A B C 5 已知 如图 2 18 在四边形中 BC AB AD CD BD 平分 ABC 求证 A C 180 图 2 18 D A BC 6 在平行四边形 ABCD 中 BAD 的平分线交直 线 BC 于点 E 交直线 DC 于点 F 1 在图 2 19 a 中证明 CE CF 图 2 19 a E F C A D B 2 若 ABC 90 G 是 EF 的中点 如图 2 19 b 直接写出 BDG 的度数 图 2 19 b G F E C B D A 3 若 ABC 120 FG CE FG CE 分别连 接 DB DG 如图 2 19 c 求 BDG 的度数 8 图 2 19 c G E F C D A B 7 已知 如图