解决问题的策略转化祥案

一 在故事中自然地引入转化 课前布置学生重温 曹冲称象 的故事 师 过去我们已经接触过不少的策略 这节课我们继续来研究有关 策略 的问 题 板书课题 解决问题的策略 师 课前我们又重温了那个非常经典的 曹冲称象 的故事 让我们一起思考这 样几个问题 课件呈现 1 曹冲将称 大象 转化成了称什么 2 为什么转化成石头 3 为什么要在船舷上刻上那道线 4 一定得转化成石头吗 师 曹冲将称 大象 转化成了称什么 生 曹冲将大象转化成了石头 师 原来的问题是 称大象 可是聪明的小曹冲却将它转化成了 称石头 为什 么要转化成称石头呢 板书 原问题 新问题 生 因为大象是一个整块不好分 而石头可以分开来称 师 还有一个重要的细节 在船上做了个记号 这是为什么 生 大象在船上的时候 水面到了那里 后来石块放在船上的时候水面也到了那 里 这样石块的重量就和大象的重量差不多一样 师 把大象转化成了石头 但是重量却不能变 一定得转化成石头吗 生 1 不一定非得转化成石头 换成木头 铁块也都行啊 生 2 我倒觉得转化成人才方便 我们可以要求观看的士兵走到船上去 这样还 方便些呢 省得搬东西 学生们都会心地笑了 响起热烈的掌声 师 这种转化的策略对于我们的数学学习又有什么启发呢 今天我们就一起来思考 怎样用转化的策略解决数学问题 板书 转化 二 在形体中直观地感受转化 1 比一比 师 这里有两幅图 它们的面积相等吗 课件呈现 大部分学生一下子感到有些为难 师 有同学已经想到了 但大多数同学还觉得比较困惑 谁能给大家说说这两幅 困难在什么地方 生 因为它太复杂 又不规则 样子也不同 不好比 师 点点头 怎么办呢 同桌讨论一下 每桌的两个同学老师都为你们准备了这样 的两个图形 图形在信封里 我们可以一起来看一看 想一想 画一画 折一折甚至 剪一剪 拼一拼 学生活动 教师巡视 参与学生的讨论 师 谁愿意上来和大家交流一下你们的想法 生 1 我们可以把它变成长方形来比较 学生一边说 一边在展台上演示自己的转化过程 师 是这个意思吗 课件演示 师 听了她的讲解 大家还有什么问题要问她吗 生 2 对着刚才发言的学生 你为什么要进行这种转化呢 生 1 因为这个图形太复杂了 又不规则 所以我想把它转化成简单的 规则的 图形 师 问题提得好 答得也精彩 板书 复杂 简单 不规则 规则 生 3 你是怎么看出凸出的部分正好可以填在凹进去的部分 生 1 这很简单 我们只要数数这些格子就能看出各部分的长短 师 我也可以提个问题吗 转化之后什么变了 什么没有变 生 1 变化前后 虽然形状有了变化 周长也不一样了 但是变化前后的面积始 终是相等的 师 说得不错 不过我还有个小建议 建议你把 变化 换成 转化 因为转 化是一种变化 但不是一种随意的变化 变 中还有着 不变 这里还有两幅图 它们的周长相等吗 课件演示 学生争执不下 师 口说无凭 到底怎样呢 下面就请大家在作业纸上自己移一移 画一画 再比 一比 学生活动 教师巡视 师 现在你觉得它们的周长还相等吗 谁来说说你是怎样想的 生 只要把这些边移到外面去 就很容易看出它们的周长是不相等的 显然 第 二个图的周长要长一些 学生结合自己的作业纸讲解 师 你说的是这个意思吗 第一幅图竖着的都右移 横着的都上移 第二幅图横着 的都上移 竖着的都上移 显然多出了两条边 解决这两个问题我们同样用到了转 化的策略 课件演示 2 理一理 师 思考刚才这些图形问题时 我们用平移和旋转的办法把复杂的不规则图形转 化成简单的规则图形 我们以前研究形体问题的时候还有哪些地方也用到过这种转化 的策略 板书 平移 旋转 生 1 探索三角形的面积时 就是把它转化成等底等高的平行四边形去研究的 生 2 我们研究体积的时候 圆柱体的体积就是转化成长方体来研究的 课件演示 3 练一练 师 看来在过去的学习中我们已经多次用到过这种转化的策略 这儿还有一个问 题 就先请大家在自己的作业纸上试一试 课件呈现 计算下面图形的周长 学生作业 教师巡视指导 师 谁来说说你们的解法 生 一边说 一边展示 我们可以先算出中间一个小圆的周长 是 3 14 4 12 56 cm 再算出外面一个大的半圆的周长 是 3 14 2 4 2 12 56 cm 然后合起来就是这个图形的周长 12 56 12 56 25 12 cm 师 结合图展示 是这个意思吗 巧妙地将这个不规则图形的周长转化成了一个小 圆周长和一个大圆周长的一半 注意不是半圆而是圆周长的一半 课件演示 生 2 我觉得还可以直接用 2 3 14 4 25 12 cm 那个小圆的周长其实也就是 大圆周长的一半 这样合起来就是一个完整大圆的周长 师 还可以这样转化 课件演示 师 如果还不清楚的同学 咱们课后再想想好吗 第一种转化是一种直观的平移转 化 而第二种转化是根据圆的周长与直径的比例关系进行转化的 这种转化更抽象了 三 在计算中深入地体验转化 1 理一理 师 看来呀 解决有关形体问题的时候咱们还真需要转化 解决其他问题呢 比如 计算 学生思考片刻 师 大部分同学还在思考 没关系 咱们先看这样几道计算题 出示 7 4 2 1 3 8 9 10 5 7 3 5 师 会算吗 生 会 师 计算这组题时用到了转化的策略吗 生 1 计算 5 7 3 5 时是把异分母转化成了同分母的加减法 生 2 第二题是把乘法转化成了除法 生 3 第一题是把我们不会做的小数乘法转化成整数乘法来算的 课件呈现 师 在解决很多问题的时候我们都是 把未知的新知识转化成已经会的知识去解决的 这些转化似乎没有形体中的转化 那么直观了 它们的根据都是有关的性质或者规律 板书 未知 已知 性质 规律 2 教学 试一试 师 普通的计算也隐藏着神奇的转化 这里还有一道计算题 我们一起来试一试 课件出示 计算 1 2 1 4 8 1 16 1 生 一样可以通分算 师 通分其实也是一种转化 把异分母分数转化成了同分母分数 这道计算题的 算式看起来蛮有规律的 谁能说说它有什么规律 生 第一个是 1 2 后面的每个数都是前一个数的一半 师 如果我们在这个算式的后面继续写下去应该是 生 1 32 1 64 1 128 师 甚至还能写更多 这时通分还方便吗 有没有更简便的算法呢 我们还从这道 简单的看起 在过去研究分数的时候我们就经常用图形来表示分数 看看这幅图能 否给你一些启发 出示正方形 假如用它表示单位 1 你能在图上把这些加数分别表 示出来吗 1 2 有感觉了吗 1 4 课件演示 看着电脑的演示 有学生会意地笑了起来 迫不及待地想举手 师 现在你又有什么发现了 生 我觉得它们的和就应该是 15 16 师 惊讶 为什么呢 生 整个的正方形是 1 那么还剩下的就是去 那涂色得部分就是需 用算式表示 也就是 1 1 16 15 16 其他的学生都自发地鼓起掌来了 师 有了图我们想起来就方便多了 现在再想一想 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 又该等于多少呢 生 抢着说 1 1 128 127 128 师 真棒 这样我们就把一个六步的计算连加题转化成了一个一步计算的减法题 看来我们不仅要考虑怎样正确应用转化 还得考虑怎样转化更简洁 反思刚才的这个 解题过程 我们是用画图的办法帮助我们巧妙地进行转化的 看来转化的方法还远不 止我们上面说到的这些 板书 复杂 简单 生 我还有不一样的办法 展示 1 2 1 4 1 8 1 16 1 16 1 16 1 8 1 4 1 2 1 16 1 1 16 151 16 师 大家看明白了吗 他 借 一个壳 巧妙地实现了转化 生 我是这样解的 展示 1 2 1 4 1 8 1 16 1 1 2 1 2 1 4 1 4 1 8 1 8 1 16 需 师 谁能用一句话评价一下她是怎样转化的 生 她把每个数都转化成了两个数的差 巧妙地实现了转化 师 看来过去学过的很多知识 方法都可能在不经意间成为我们转化的依据和手 段 四 在解决问题中自觉地应用转化 1 淘汰赛问题 师 解决形体问题 计算问题都用到了转化的策略 解决其他实际问题呢 这里就 有一个生活中的问题 我们一起来想一想 课件呈现 大家都很关注中国足球 这是一个关于足球赛的问题 有 16 支足球队参加比赛 比赛以单场淘汰制 即每场比赛淘汰 1 支球队 进行 一 共要进行多少场比赛后才能产生冠军 师 追问 单场淘汰制 是什么意思 生 就是每场比赛输掉的那个队就不能进入下一轮的比赛了 师 会做吗 就请大家自己在作业纸上试一试 学生作业 教师巡视指导 师 谁能给大家介绍一下你的方法 生 1 第一轮 16 支球队 8 场比赛 赛出 8 强 第二轮 4 场比赛 赛出 4 强 第 三轮 2 场比赛 最后一场 2 支球队 决赛冠军 一共进行 15 场比赛才能产生冠军 我 们可以直接写的算式 8 4 2 1 15 场 生 2 我也是 15 场 不过我的方法比他的好懂 我们可以画个图来表示 学生出 示自己的作业 师 画图也是一种解题的方法 这个图就很好地说明了上面那种解法的内在算理 生 我还有好办法 我一步就能算出最后的答案 16 1 15 场 很多学生都觉得有些诧异 师 为什么呢 生 每场比赛淘汰 1 支球队 最后赛出冠军时 剩下 1 支球队 就要淘汰掉 15 支 队 每次淘汰 1 个队就需要淘汰 15 回 也就是共需要比赛 15 场 师 想得太巧了 我们都在考虑有几个队胜出的时候 他考虑的是有几个队被淘汰 思考的角度不一样 转化的方法也不一样 很多时候转化就是要换个角度去思考 如果 有 64 支球队参加比赛 产生冠军要比赛多少场 你觉得画图还方便吗 板书 换一个角度去思考 生 太多了 画图太麻烦 师 现在你还能直接说出结果吗 生 64 1 63 场 师 这个 1 指的是什么 生 最后获得冠军的那个队 师 合理的转化让我们将这个看似复杂的问题转化成了一个一步计算的问题 你们的表现太棒了 2 人狗同行 问题 师 最后这里还有一个问题我们一起挑战一下 先请大家自由地把题目读一读 课件呈现 苏步青是我国著名的数学家 曾有人给他出过这样一道题 甲 乙两人同时从距离 50 千米的两地出发相向而行 甲每小时走 3 千米 乙每小 时走 2 千米 甲带着一只小狗 狗每小时跑 5 千米 这只狗同时和甲一走出发 当它 碰到乙后 便回头跑向甲 碰到甲后又掉头跑向乙 如此下去 直到两人相遇 小 狗一共跑了多少千米 学生自由读题 有的举手 大部分显得有些为难 师 大部分同学还在思考 谁先来告诉大家 你觉得这道题什么地方让你觉得不 太好解决 生 小狗不停地往返 每段所走的路程不好求 师 第一次看到这道题时 我也是这样想的 这样我们先请一个会做的同学说说 他的想法 我们思考一下 他哪里和我们想的角度不一样 生 其实这道题很简单 我们可以先用 50 3 2 10 小时 甲乙从出发到相 遇共走了 10 小时 小狗走的时间也应该是 10 小时 小狗每小时走 5 千米 10 小时一 共跑了 10 5 50 千米 师 讲得真好 苏步青爷爷当年也是这样想的 我们把最热烈的掌声送给他 他哪 儿和你想得不一样 生 我们是分段思考的 他是整体思考的 我们是抓变化的路程去思考的 他却 是 抓住不变的时间来考虑的 师 这个解题过程 不就是一个不断转化的过程吗 其实 我们解决很多数学问题 的过程不都是这样不断转化的吗 课件演示 生 我一眼就看出小狗应该走了 50 千米 因为小狗的速度和甲 乙的速度和一样 小狗的时间也和甲 乙一样 所以它走的总路程就应该和甲 乙走的总路程一样 是 50 千米 五 在反思中着力地提升转化 师 同学们 不知不觉中一节课就快过去了 大家觉得时间过得快吗 有收获吗 能说说你们的体会吗 生 转化其实我们过去就用过 解决很多问题都要转化 生 转化的目的往往是为了化难为易 化繁为简 化陌生为熟悉 师 转化是我们解决数学问题中很重要 也是很常用的一种策略 就有数学家说 过这样的话 课件呈现 数学家往往不是对问题进行正面的攻击 而是不断地将它变形 甚至把它转化为 已经得到解决的问题 匈牙利著名数学家 路莎 彼得 Ross Peter 这不正是我们刚才所体会到的吗 好了 这节课我们就上到这儿 下课 板书设计 反思 策略教学不能仅仅把解决某一具体问题作为教学目标 而应让学生在解决问题的 过程中形成对策略的体验 能灵活地 创造性地使用策略解决问题并理解解决同一个 问题不只限于一种策略的运用 面对一个问题有时会有多种策略的综合运用 并且在 提升策略时着力与数学思想贯通 学生认识 理解 掌握解决问题的策略大致经历潜 意识阶段 明朗化阶段 深刻化阶段三个阶段 因此在相关策略的教学中我们也都可 以按这样的三步逐渐展开 第一步 从熟悉的经验体系中提炼出相关的策略 体验策略 走出潜意识阶段 画 图 列举 倒推 转化等策略在我们专题学习之前 学生已经多次用到这种策略 只是没有明确指出而已 所以 教学中我们必须巧妙地帮助学生提取已有的经验 为 新的学习服务 第二步 反思策略的运用过程体会其价值及注意点 学会策略 步人明朗化阶段 让学生学会策略 我们必须让学生明确 什么时候适合用这个策略 怎样使用这 个策略 使用时有什么注意点 等 而这些更多是依靠学生的经历 体悟 而不 是空洞的说教所能解决的 因此解题过程中的反思就显得非常重要 第三步 有意识地应用策略解决实际问题 解决问题 走向深刻化阶段 在学生 比 较充分地认识相关策略之后 必须安排适量的练习 对相关的策略进行强化 目前不 少 策略教学的研究课 练习时总体感觉好像还是在解题 而没有突出解题过程中的策略 有些课学生对策略的应用仍然停留在教师强加给学生的阶段 另外 在教学相关策略 的时候我们还必须注意以下几点 1 策略教学也要让学生掌握问题的基本解法 解决问题的策略是苏教版教材的一 个特色 也是一个引起小学数学教育界关注较多的内容 对它的关注反映在两个方面 一方面盛赞编得好 学生离开学校后将所学的知识全都遗忘了 最后剩下来的就是 教育 就我们数学而言 策略可能就是最后能够留下来的东西之一 这也是对课程 标准修订稿中 基本数学思想 的关注 争鸣的声音在哪里呢 就是题目太难了 有些 甚至就是传统的 奥数题 其实 这也可以理解 没有适当的难度