Matlab-PDE工具箱有限元法求解偏微分方程

在科学技术各领域中 有很多问题都可以归结为偏微分方程问题 在物理专业的力学 热 学 电学 光学 近代物理课程中都可遇见偏微分方程 偏微分方程 再加上边界条件 初始条件构成的数学模型 只有在很特殊情况下才可 求得解析解 随着计算机技术的发展 采用数值计算方法 可以得到其数值解 偏微分方程基本形式偏微分方程基本形式 而以上的偏微分方程都能利用 PDE 工具箱求解 PDEPDE 工具箱工具箱 PDE 工具箱的使用步骤体现了有限元法求解问题的基本思路 包括如下基本步骤 1 建立几何模型 2 定义边界条件 3 定义 PDE 类型和 PDE 系数 4 三角形网格划分 5 有限元求解 6 解的图形表达 以上步骤充分体现在 PDE 工具箱的菜单栏和工具栏顺序上 如下 具体实现如下 打开工具箱打开工具箱 输入 pdetool 可以打开偏微分方程求解工具箱 如下 首先需要选择应用模式 工具箱根据实际问题的不同提供了很多应用模式 用户可以基于 适当的模式进行建模和分析 在 Options 菜单的 Application 菜单项下可以做选择 如下 或者直接在工具栏上选择 如下 列表框中各应用模式的意义为 Generic Scalar 一般标量模式 为默认选项 Generic System 一般系统模式 Structural Mech Plane Stress 结构力学平面应力 Structural Mech Plane Strain 结构力学平面应变 Electrostatics 静电学 Magnetostatics 电磁学 Ac Power Electromagnetics 交流电电磁学 Conductive Media DC 直流导电介质 Heat Tranfer 热传导 Diffusion 扩散 可以根据自己的具体问题做相应的选择 这里要求解偏微分方程 故使用默认值 此外 对于其他具体的工程应用模式 此工具箱已经发展到了 Comsol Multiphysics 软件 它提 供了更强大的建模 求解功能 另外 可以在菜单 Options 下做一些全局的设置 如下 l Grid 显示网格 l Grid Spacing 控制网格的显示位置 l Snap 建模时捕捉网格节点 建模时可以打开 l Axes Limits 设置坐标系范围 l Axes Equal 同 Matlab 的命令 axes equal 命令 建立几何模型建立几何模型 使用菜单 Draw 的命令或使用工具箱命令可以实现简单几何模型的建立 如下 各项代表的意义分别为 l 绘制矩形或方形 l 绘制同心矩形或方形 l 绘制椭圆或圆 l 绘制同心椭圆或圆 l 绘制多义线 这里只绘制一个圆如下 定义边界条件定义边界条件 选择 Boundary 菜单下的 Specify Boundary Conditions 如下 定义定义 PDEPDE 类型和类型和 PDEPDE 系数系数 选择 PDE 菜单下的 PDE Specifications 如下 三角形网格划分三角形网格划分 选择 Mesh 菜单下的 Initialize Mesh 初始化三角形网格 再选择 Refine Mesh 改进初始网 格并细化网格 如下 初始化网格 细化网格 另外还可以进一步选择 Jiggle Mesh 微调网格 最后可以选择 Display Triangle Quality 显示三角形网格的质量图 其中1表示质量最好 0表示最差 如下 有限元求解有限元求解 选择 Solve 菜单下的 Solve PDE 选项进行 PDE 问题的求解 如下 解的图