1.1.1平均变化率

1 1 11 1 1 平均变化率平均变化率 教学目标教学目标 1 1 理解函数的平均变化率理解函数的平均变化率 2 2 能求出函数在某一区间上的平均变化率能求出函数在某一区间上的平均变化率 重点难点重点难点 重点 函数在某一区间上的平均变化率重点 函数在某一区间上的平均变化率 难点 平均变化率的几何意义难点 平均变化率的几何意义 教学过程教学过程 一 问题导学一 问题导学 假设下图是一座山的剖面示意图 并在上面建立平面直角坐标系 A 是出发点 H 是山 顶 爬山路线用函数 y f x 表示 自变量 x 表示某旅游者的水平位置 函数值 y f x 表示此时旅游者所在的高度 设点A 的坐标为 x0 y0 点 B 的坐标为 x1 y1 问题 1 若旅游者从 A 点爬到 B 点 则自变量 x 和函数值 y 的改变量 x y 分别是多少 问题 2 如何用 x 和 y 来刻画山路的陡峭程度 问题 3 试想 的几何意义是什么 y x y1 y0 x1 x0 问题 4 从 A 到 B 从 A 到 C 两者的相同吗 的值与山路的陡峭程度有什么关系 y x y x 二 新知自解二 新知自解 1 一般地 函数 f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率为 2 平均变化率是曲线陡峭程度的 数量化 或者说 曲线陡峭程度是平均变化率的 视觉化 归纳总结 归纳总结 在函数平均变化率的定义中 应注意以下几点 1 函数在 x1 x2 上有意义 2 在式子中 x2 x1 0 而 f x2 f x1 的值可正 可负 可为 0 f x2 f x1 x2 x1 3 在平均变化率中 当 x1取定值后 x2取不同的数值时 函数的平均变化率不一定相 同 同样的 当 x2取定值后 x1取不同的数值时 函数的平均变化率也不一定相同 三 问题探究三 问题探究 1 1 求函数在某区间的平均变化率求函数在某区间的平均变化率 例 1 1 求函数 f x 3x2 2 在区间 2 2 1 上的平均变化率 2 求函数 g x 3x 2 在区间 2 1 上的平均变化率 规律总结 求函数平均变化率的步骤为 第一步 求自变量的改变量x2 x1 第二步 求函数值的改变量f x2 f x1 第三步 求平均变化率 f x2 f x1 x2 x1 对点练对点练 1 1 1 函数 g x 3x 在 2 4 上的平均变化率是 2 如图是函数 y f x 的图象 则 函数f x 在区间 1 1 上的平均变化率为 函数 f x 在区间 0 2 上的平均变化率为 2 2 实际问题中的平均变化率实际问题中的平均变化率 例 2 物体的运动方程为 S 位移单位 m 时间单位 s 求物体在 t 1 s 到 t 1 t 1 t s 这段时间内的平均速度 规律总结 平均变化率问题在生活中随处可见 常见的有求某段时间内的平均速度 加速度 膨胀率 经济效益等 分清自变量和因变量是解决此类问题的关键 对点练对点练 2 2 3 圆的半径 r 从 0 1 变化到 0 3 时 圆的面积 S 的平均变化率为 4 在 F1赛车中 赛车位移 单位 m 与比赛时间 t 单位 s 存在函数关系 S 10t 5t2 则赛车在 20 20 1 上的平均速度是多少 3 3 函数平均变化率的应用 函数平均变化率的应用 例 3 甲 乙两人走过的路程 s1 t s2 t 与时间 t 的关系如图所示 试 比较两人的速度哪个大 规律总结 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢 平均变化率的绝 对值越大 函数在区间上的变化率越快 平均变化率的绝对值越小 函 数在区间上的变化率越慢 对点练对点练 3 3 5 汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图象如图所示 在时间段 t0 t1 t1 t2 t2 t3 上的平均速度分别为 则三者的大小关系是 v1 v2 v3 6 A B 两机关开展节能活动 活动开始后 两机关每天的用电 情况如图所示 其中 W1 t W2 t 分别表示 A B 两机关的用电量与 时间第 t 天的关系 则下列说法一定正确的是 填序号 两机关节能效果一样好 A机关比B机关节能效果好 A机关在 0 t0 上的用电平均变化率比B机关在 0 t0 上的用电平均变化率大 A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 四 课堂小结四 课堂小结 1 求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题 1 平均变化率的公式中 分子是区间两端点间的函数值的差 分母是区间两端点间的自 变量的差 2 平均变化率公式中 分子 分母中被减数同时为右端点 减数同为左端 点 2 平均变化率的几何意义 1 平均变化率表示点 x1 f x1 x2 f x2 连线的斜率 是曲线陡峭程度 f x2 f x1 x2 x1 的 数量化 2 平均变化率的大小类似函数的单调性 可说明函数图象的陡峭程度 五 课堂跟踪练习五 课堂跟踪练习 1 函数 f x x2 1 在区间 1 1 1 上的平均变化率为 2 函数 f x 2x 4 在区间 a b 上的平均变化率为 3 某人服药后 人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度 c 单位 mg mL 来表示 它是时间 t 单位 min 的函数 表示为 c c t 下表给出了 c t 的一些函数值 t min0102030405060708090 c t mg mL 0 840 890 940 981 001 000 970 900 790 63 服药后 30 70 min 这段时间内 药物浓度的平均变化率为 4 如图所示物体甲 乙在时间 0 到 t1范围内路程的变化情况 则在 0 到 t0 范围内甲的平均速度 乙的平均速度 在 t0到 t1范围内甲的平均速 度 乙的平均速度 填 等于 大于 或 小于 5 函数