2012年江西省理科数学高考试题.doc

2012江西卷(数学理科)12012江西卷 若集合A1,1，B0,2，则集合z|zxy，xA，yB中的元素的个数为()A5 B4 C3 D21C解析 考查集合的含义与表示；解题的突破口为列出所有结果，再检验元素的互异性当x1，y0时，z1，当x1，y2时，z1，当x1，y0时，z1，当x1，y2时，z3，故集合z|zxy，xA，yB中的元素个数为3，故选C.22012江西卷 下列函数中，与函数y定义域相同的函数为()Ay ByCyxex Dy2D解析 考查函数的定义域解不等式等；解题的突破口为列出函数解析式所满足的条件，再通过解不等式达到目的函数y的定义域为x|x0y的定义域为x|xk，y的定义域为x|x0，yxex的定义域为，y的定义域为x|x0，故选D.32012江西卷 若函数f(x)则f(f(10)()Alg101 B2 C1 D03B解析 考查分段函数的定义对数的运算分类讨论思想；解题的突破口是根据自变量取值范围选择相应的解析式解决问题101，f(10)lg1011，f(f(10)f(1)1212，故选B.42012江西卷 若tan4，则sin2()A. B. C. D.4D解析 考查同角三角函数的关系二倍角公式，以及“1”的代换及弦切互化等方法解题的突破口是通过“1”的代换，将整式转化为齐次分式，再通过同除以cos达到化切目的tan4，sin22sincos，故选D.52012江西卷 下列命题中，假命题为()A存在四边相等的四边形不是正方形Bz1，z2，z1z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数C若x，y，且xy2，则x，y至少有一个大于1D对于任意n*，CCC都是偶数5B解析 考查命题的真假的判断含量词命题真假的判断组合数性质以及逻辑推理能力等；菱形四边相等，但不是正方形，A为真命题；z1，z2为任意实数时，z1z2为实数，B为假命题；x，y都小于等于1时，xy2，C为真命题；CCCC2n，又n*，D为真命题故选B.62012江西卷 观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28 B76 C123 D1996C解析 考查归纳推理，以及观察能力；解题的突破口是通过观察得到后一项与前两项结果之间的关系由于ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和因此，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107647123，故选C.72012江西卷 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则()A2 B4 C5 D107D解析 考查向量基本定理向量的线性运算向量的数量积及其应用，考查化归转化能力解题的突破口是建立平面直角坐标系转化为平面向量坐标运算问题求解，或利用平面向量基本定理，将问题转化为只含基底的两个向量的运算问题求解方法一：D是AB中点，()P是CD中点，()，.0，222，222，222，10.方法二：D是AB中点，2，22242，2222，2(|PA|2|PB|2)4|PD|2|AB|2.D是AB的中点，2|CD|AB|.P是CD中点，|CD|2|PC|，|PA|2|PB|210|CP|2，故10.方法三：以C为坐标原点，AC，BC所在的直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，设A(a,0)，B(0，b)，则D，P，|PA|2|PB|2，而|PC|2，故10.82012江西卷 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A50,0 B30,20 C20,30 D0,508B解析 考查二元一次不等式组表示的平面区域线性规划的实际应用数形结合思想，以及阅读理解和数学建模能力；解题的突破口是按照线性规划解决实际问题的步骤求解，即设出 xyz；列出约束条件，确定目标函数；画出可行域；判断最优解；求出目标函数的最值，并回到原问题中作答设种植黄瓜x亩，种植韭菜y亩，因此，原问题转化为在条件 下，求z0.554x0.36y1.2x0.9yx0.9y的最大值画出可行域如图利用线性规划知识可知，当x，y取的交点(30,20)时，z取得最大值故选B.92012江西卷 样本(x1，x2，xn)的平均数为，样本(y1，y2，yn)的平均数为()若样本(x1，x2，xn，y1，y2，yn)的平均数(1)，其中0，则n，m的大小关系为()Anm Cnm D不能确定9A解析 考查平均数的计算不等式的性质等；解题的突破口是利用样本平均数的计算公式，建立m，n，之间的关系后求解(nm) ，0，0，nm，故选A.图11102012江西卷 如图12，已知正四棱锥SABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上下两部分，记SEx(0x1)，截面下面部分的体积为V(x)，则函数yV(x)的图像大致为()图1210A解析 考查空间中的线面位置关系的转化空间几何体体积的计算函数的表示法导数的几何意义等，考查分类讨论思想化归转化思想数形结合思想函数与方程思想等；解题的突破口是将所求几何体的体积通过“割补法”求解设AC，BD交于O，当E为SC中点时，SBSDBCCD，SEBE，SEDE，SE面BDE.当x时，截面为三角形EBD.又SASC1，AC，SO. 当x1时，设截面交CD于H，交CB于I，V(x)VECHI(1x) (1x)3；当0x b0)的左右顶点分别是A，B，左右焦点分别是F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_13. 解析 考查椭圆的定义和性质等比数列的性质等；解题的突破口是建立关于a，c的齐次等式，然后转化为离心率e的方程求解由椭圆的定义知，|AF1|ac，|F1F2|2c，|BF1|ac，|AF1|，|F1F2|，|BF1|成等比数列，因此4c2(ac)(ac)，整理得5c2a2，两边同除以a2得5e21，解得e.142012江西卷 如图13为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_图13143解析 考查算法框图诱导公式特殊角的三角函数值；解题的突破口是列出每一次循环后各变量的结果当k1时，此时sin1sin00成立，因此 a1，T011，k112，ksin1不成立，因此a0，T101，k213，此时k sin0不成立，因此a0，T101，k314，此时ksin1成立，因此a1，T112，k415，此时k sin20成立，因此a1，T213，k516，此时k时，原不等式可化为2x12x16，解得x，此时x；当x时，原不等式可化为2x12x16，解得x，此时x；当x时，原不等式可化为12x2x16，解得x，此时x.综上，原不等式的解集为.162012江西卷 已知数列an的前n项和Snn2kn(其中k*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.16解：(1)当nk时，Snn2kn取最大值，即8Skk2k2k2，故k216，因此k4，从而anSnSn1n(n2)，又a1S1，所以ann.(2)因为bn，Tnb1b2bn1，所以Tn2TnTn2144.172012江西卷 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A，bsincsina.(1)求证：BC；(2)若a，求ABC的面积17解：(1)证明：由bsincsina，应用正弦定理，得sinBsinsinCsinsinA，sinBsinC.整理得sinBcosCcosBsinC1，即sin(BC)1，由于0B，C，从而BC.(2)由(1)知BC，又BCA，因此B，C.由a，A，得b2sin，c2sin，所以ABC的面积SbcsinAsinsincossin.图14182012江西卷 如图14，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0，0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V0)(1)求V0的概率；(2)求V的分布列及数学期望EV.18解：(1)从6个点中随机取3个点总共有C20种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有CC12种，因此V0的概率为P(V0).(2)V的所有可能取值为0，因此V的分布列为V0P由V的分布列可得EV0.192012江西卷 如图15，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABACAA1，BC4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的长；(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值图1519解：(1)证明：连接AO，在AOA1中，作OEAA1 于点E，因为AA1BB1，所以OEBB1.因为A1O平面ABC，所以A1OBC.因为ABAC，OBOC，所以AOBC，所以BC平面AA1O.所以BCOE，所以OE平面BB1C1C，又AO1，AA1，得AE.(2)如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0，2,0)，A1(0,0,2)，由得点E的坐标是，由(1)得平面BB1C1C的法向量是，设平面A1B1C的法向量(x，y，z)，由得令y1，得x2，z1，即(2,1，1)，所以cos，.即平面BB1C1C与平面A1B1C的夹角的余弦值是.202012江西卷 已知三点O(0,0)，A(2,1)，B(2，1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足|()2.(1)求曲线C的方程；(2)动点Q(x0，y0)(2x02)在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l，问：是否存在定点P(0，t)(t0)，使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且QAB与PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值；若不存在，说明理由20解：(1)由(2x,1y)，(2x,1y)，得|，()(x，y)(0,2)2y，由已知得2y2，化简得曲线C的方程：x24y.(2)假设存在点P(0，t)(t0)满足条件，则直线PA的方程是yxt，PB的方程是yxt.曲线C在Q处的切线l的方程是yx，它与y轴交点为F.由于2x02，因此11.当1t0时，1，存在x0(2,2)使得，即l与直线PA平行，故当1t0时不符合题意当t1时，1，所以l与直线PA，PB一定相交分别联立方程组解得D，E的横坐标分别是xD，xE，则xExD(1t).又|FP|t，有SPDE|FP|xExD|.又SQAB4，于是.对任意x0(2,2)，要使为常数，则t要满足解得t1，此时2，故存在t1，使QAB与PDE的面积之比是常数2.212012江西卷 若函数h(x)满足h(0)1，h(1)0；对任意a0,1，有h(h(a)a；在(0,1)上单调递减则称h(x)为补函数已知函数h(x)(1，p0)(1)判断函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；(2)若存在m0,1，使h(m)m，称m是函数h(x)的中介元记p(n*)时h(x)的中介元为xn，且Sni，若对任意的n*，都有Sn1，p0，所以当x(0,1)时，g(x)1且0时，由(*)得x(0,1)或x0,1；得中介元xnn.综合(i)(ii)：对任意的1