抽屉原理是一种特殊的思维方法

8 28 2 抽屉原理抽屉原理 教学目标教学目标 学目标学目标 抽屉原理是一种特殊的思维方法 不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断 同抽屉原理是一种特殊的思维方法 不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断 同 时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题 本讲的主要教学目标是 时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题 本讲的主要教学目标是 1 理解抽屉原理的基本概念 基本用法 2 掌握用抽屉原理解题的基本过程 3 能够构造抽屉进行解题 4 利用最不利原则进行解题 5 利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题 知识点拨知识点拨 一 知识点介绍一 知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理 它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证 明一些数论中的问题 因此 也被称为狄利克雷原则 抽屉原理是组合数学中一个重要而 又基本的数学原理 利用它可以解决很多有趣的问题 并且常常能够起到令人惊奇的作 用 许多看起来相当复杂 甚至无从下手的问题 在利用抽屉原则后 能很快使问题得到 解决 二 抽屉原理的定义二 抽屉原理的定义 1 1 举例 举例 桌上有十个苹果 要把这十个苹果放到九个抽屉里 无论怎样放 有的抽屉可以放一 个 有的可以放两个 有的可以放五个 但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里 面至少放两个苹果 2 2 定义 定义 一般情况下 把 n 1 或多于 n 1 个苹果放到 n 个抽屉里 其中必定至少有一个抽屉 里至少有两个苹果 我们称这种现象为抽屉原理 三 抽屉原理的解题方案三 抽屉原理的解题方案 一 一 利用公式进行解题 利用公式进行解题 苹果 抽屉 商 余数 余数 1 余数 1 结论 至少有 商 1 个苹果在同一个抽屉里 2 余数 结论 至少有 商 1 个苹果在同一个抽屉里x 11xn 3 余数 0 结论 至少有 商 个苹果在同一个抽屉里 二 二 利用最值原理解题利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论 将复杂的题目变得非常简单 也就是常说的极 限思想 任我意 方法 特殊值方法 知识精讲知识精讲 模块一 利用抽屉原理公式解题模块一 利用抽屉原理公式解题 一 一 直接利用公式进行解题 直接利用公式进行解题 1 1 求结论 求结论 例例 1 1 只鸽子要飞进只鸽子要飞进个笼子 每个笼子里都必须有个笼子 每个笼子里都必须有 只 一定有一个笼子里有只 一定有一个笼子里有只只6512 鸽子 对吗 鸽子 对吗 解析解析 6 只鸽子要飞进 5 个笼子 如果每个笼子装 1 只 这样还剩下 1 只鸽子 这只鸽子可以 任意飞进其中的一个笼子 这样至少有一个笼子里有 2 只鸽子 所以这句话是正确的 利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题 把鸽笼看作 抽屉 把鸽子看作 苹果 6 5 1 1 1 1 2 只 把 6 个苹果放到 5 个抽屉中 每个抽屉中都要有 1 个 苹果 那么肯定有一个抽屉中有两个苹果 也就是一定有一个笼子里有 2 只鸽子 巩固巩固 把把 9 9 条金鱼任意放在条金鱼任意放在 8 8 个鱼缸里面 请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以个鱼缸里面 请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以 上金鱼 上金鱼 解析 在 8 个鱼缸里面 每个鱼缸放一条 就是 8 条金鱼 还剩下的一条 任意放在这 8 个鱼缸其中的任意一个中 这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼 巩固巩固 教室里有教室里有 5 5 名学生正在做作业 现在只有数学 英语 语文 地理四科作业名学生正在做作业 现在只有数学 英语 语文 地理四科作业 试试 说明 这说明 这 5 5 名学生中 至少有两个人在做同一科作业 名学生中 至少有两个人在做同一科作业 解析 将 5 名学生看作 5 个苹果将数学 英语 语文 地理作业各看成一个抽屉 共 4 个抽屉 由抽屉原理 一定存在一个抽屉 在这个抽屉里至少有 2 个苹果 即至少有两名 学生在做同一科的作业 巩固巩固 年级一班学雷锋小组有年级一班学雷锋小组有人 教数学的张老师说 人 教数学的张老师说 你们这个小组至少有你们这个小组至少有个人个人132 在同一月过生日 在同一月过生日 你知道张老师为什么这样说吗 你知道张老师为什么这样说吗 解析 先想一想 在这个问题中 把什么当作抽屉 一共有多少个抽屉 从题目可以 看出 这道题显然与月份有关 我们知道 一年有 12 个月 把这 12 个月看成 12 个抽屉 这道题就相当于把 13 个苹果放入 12 个抽屉中 根据抽屉原理 至少有一个抽屉放了两个 苹果 因此至少有两个同学在同一个月过生日 总结 题目中并没有说明什么是 抽屉 什么是 物品 解题的关键是制造 抽屉 确定假设的 物品 根据 抽屉少 物品多 转化为抽屉原理来解 巩固巩固 数学兴趣小组有数学兴趣小组有 1313 个学生 请你说明 在这个学生 请你说明 在这 1313 个同学中 至少有两个同学属相个同学中 至少有两个同学属相 一样 一样 解析 属相共 12 个 把 12 个属相作为 12 个 抽屉 13 个同学按照自己的属相选择相 应的 抽屉 根据抽屉原理 一定有一个 抽屉 中有两个或两个以上同学 也就是说至 少有两个同学属相一样 巩固巩固 光明小学有光明小学有名名年出生的学生 请问是否有生日相同的学生 年出生的学生 请问是否有生日相同的学生 3672000 解析 一年最多有 366 天 把 366 天看作 366 个 抽屉 将 367 名学生看作 367 个 苹 果 这样 把 367 个苹果放进 366 个抽屉里 至少有一个抽屉里不止放一个苹果 这就说 明 至少有 2 名同学的生日相同 巩固巩固 用五种颜色给正方体各面涂色用五种颜色给正方体各面涂色 每面只涂一种色每面只涂一种色 请你说明 至少会有两个面涂 请你说明 至少会有两个面涂 色相同 色相同 解析 五种颜色最多只能涂 5 个不同颜色的面 因为正方体有 6 个面 还有一个面要选 择这五种颜色中的任意一种来涂 不管这个面涂成哪种颜色 都会和前面有一个面颜色相 同 这样就有两个面会被涂上相同的颜色 也可以把五种颜色作为 5 个 抽屉 六个面作 为六个物品 当把六个面随意放入五个抽屉时 根据抽屉原理 一定有一个抽屉中有两个 或两个以上的面 也就是至少会有两个面涂色相同 例例 2 2 向阳小学有向阳小学有 730730 个学生 问 至少有几个学生的生日是同一天 个学生 问 至少有几个学生的生日是同一天 解析 一年最多有 366 天 可看做 366 个抽屉 730 个学生看做 730 个苹果 因为 730 366 1 364 抽屉原理所以 至少有 1 1 2 个 学生的生日是同一天 巩固巩固 试说明试说明 400 人中至少有两个人的生日相同人中至少有两个人的生日相同 解析 将一年中的 366 天或 365 天视为 366 个或 365 个抽屉 400 个人看作 400 个苹果 从最极端的情况考虑 即每个抽屉都放一个苹果 还有 35 个或 34 个苹果必然要放到有一 个苹果的抽屉里 所以至少有一个抽屉有至少两个苹果 即至少有两人的生日相同 例例 3 3 三个小朋友在一起玩 其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩 三个小朋友在一起玩 其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩 解析 方法一 情况一 这三个小朋友 可能全部是男 那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的 情况二 这三个小朋友 可能全部是女 那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的 情况三 这三个小朋友 可能其中 1 男 2 女那么必有两个小朋友都是女孩说法是正确的 情况四 这三个小朋友 可能其中 2 男 1 女 那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确 的 所以 三个小朋友在一起玩 其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩的说法是正确的 方法二 三个小朋友只有两种性别 所以至少有两个人的性别是相同的 所以必有两个小 朋友都是男孩或者都是女孩 例例 4 4 六一六一 儿童节 很多小朋友到公园游玩 在公园里他们各自遇到了许多熟儿童节 很多小朋友到公园游玩 在公园里他们各自遇到了许多熟 人 试说明 在游园的小朋友中 至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等 人 试说明 在游园的小朋友中 至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等 解析 假设共有 n 个小朋友到公园游玩 我们把他们看作 n 个 苹果 再把每个小朋 友遇到的熟人数目 看作 抽屉 那么 n 个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下 n 种可能 0 1 2 n 1 其中 0 的意思是指这位小朋友没有遇到熟人 而每位小朋友最多 遇见 1n 个熟人 所以共有 n 个 抽屉 下面分两种情况来讨论 如果在这 n 个小朋友中 有一些小朋友没有遇到任何熟人 这时其他小朋友最多只能遇上 2n 个熟人 这样熟人数目只有 n 1 种可能 0 1 2 2n 这 样 苹 果 数 n 个小朋友 超 过 抽 屉 数 n 1 种熟人数目 根据抽屉原理 至少有两个小朋友 他们遇到的熟人 数目相等 如果在这n 个小朋友中 每位小朋友都至少遇到一个熟人 这样熟人数目只有 1n 种可 能 1 2 3 n 1 这时 苹果 数 n 个小朋友 仍然超过 抽屉 数 n 1 种熟人数目 根据抽屉原理 至少有两个小朋友 他们遇到的熟人数目相等 总之 不管这 n 个小朋友各遇到多少熟人 包括没遇到熟人 必有两个小朋友遇到的熟人 数目相等 巩固巩固 五年级数学小组共有五年级数学小组共有 2020 名同学 他们在数学小组中都有一些朋友 请你说明 名同学 他们在数学小组中都有一些朋友 请你说明 至少有两名同学 他们的朋友人数一样多 至少有两名同学 他们的朋友人数一样多 数学小组共有 20 名同学 因此每个同学最多有 19 个朋友 又由于他们都有朋友 所 以每个同学至少有 1 个朋友 因此 这 20 名同学中 每个同学的朋友数只有 19 种可能 1 2 3 19 把这 20 名同学看作 20 个 苹果 又把同学的朋友数目看作 19 个 抽屉 根据抽屉原理 至少有 2 名同学 他们的朋友人数一样多 例例 5 5 在任意的四个自然数中 是否其中必有两个数 它们的差能被在任意的四个自然数中 是否其中必有两个数 它们的差能被 整除 整除 3 因为任何整数除以 3 其余数只可能是 0 1 2 三种情形 我们将余数的这三种情形看成 是三个 抽屉 一个整数除以 3 的余数属于哪种情形 就将此整数放在那个 抽屉 里 将四个自然数放入三个抽屉 至少有一个抽屉里放了不止一个数 也就是说至少有两 个数除以 3 的余数相同 需要对学生利用余数性质进行解释 为什么余数相同 则差就能 被整除 这两个数的差必能被 3 整除 巩固巩固 四个连续的自然数分别被四个连续的自然数分别被 除后 必有两个余数相同 请说明理由 除后 必有两个余数相同 请说明理由 3 解析 想一想 不同的自然数被 3 除的余数有几类 在这道题中 把什么当作抽屉呢 把这四个连续的自然数分别除以 3 其余数不外乎是 0 1 2 把这 3 个不同的余数当作 3 个 抽屉 把这 4 个连续的自然数按照被 3 除的余数 分别放入对应的 3 个 抽屉 中 根据抽屉原理 至少有两个自然数在同一个抽屉里 也就是说 至少有两个自然数除以 3 的余数相同 例例 6 6 证明 任取证明 任取 8 个自然数 必有两个数的差是个自然数 必有两个数的差是 7 的倍数的倍数 解析 在与整除有关的问题中有这样的性质 如果两个整数 a b 它们除以自然数 m 的 余数相同 那么它们的差 ab 是 m 的倍数 根据这个性质 本题只需证明这 8 个自然数中有 2 个自然数 它们除以 7 的余数相同 我们可以把所有自然数按被 7 除所得的 7 种不同的余 数 0 1 2 3 4 5 6 分成七类 也就是 7 个抽屉 任取 8 个自然数 根据抽屉原理 必 有两个数在同一个抽屉中 也就是它们除以 7 的余数相同 因此这两个数的差一定是 7 的 倍数 巩固巩固 证明 任取证明 任取 6 个自然数 必有两个数的差是个自然数 必有两个数的差是 5 的倍数 的倍数 解析 把自然数按照除以 5 的余数分成 5 个剩余类 即 5 个抽屉 任取 6 个自然数 根据 抽屉原理 至少有两个数属于同一剩余类 即这两个数除以 5 的余数相同 因此它们的差 是 5 的倍数 巩固巩固 第八届 第八届 小数报小数报 数学竞赛决赛 将全体自然数按照它们个位数字可分为数学竞赛决赛 将全体自然数按照它们个位数字可分为 10 类 个位数字是类 个位数字是 1 的为第的为第 1 类 个位数字是类 个位数字是 2 的为第的为第 2 类 类 个位数字是 个位数字是 9 的的 为第为第 9 类 个位数字是类 个位数字是 0 的为第的为第 10 类类 1 1 任意取出 任意取出 6 个互不同类的自然数 个互不同类的自然数 其中一定有其中一定有 2 个数的和是个数的和是 10 的倍数吗 的倍数吗 2 2 任意取出 任意取出 7 个互不同类的自然数 个互不同类的自然数 其中一定有其中一定有 2 个数的和是个数的和是 10 的倍数吗 如果一定 请煎药说明理由 如果不一的倍数吗 如果一定 请煎药说明理由 如果不一 定 请举出一个反例定 请举出一个反例 解析 1 不一定有 例如 1 2 3 4 5 10 这 6 个数中 任意两个数的和都不是 10 的倍数 2 一定有 将第 1 类与第 9 类合并 第 2 类与第 8 类合并 第 3 类与第 7 类合并 第 4 类与第 6 类合并 制造出 4 个抽屉 把第 5 类 第 10 类分别看作 1 个抽屉 共 6 个抽 屉 任意 7 个互不同类的自然数 放到这 6 个抽屉中 至少有 1 个抽屉里放 2 个数 因为 7 个数互不同类 所以后两个抽屉中每个都不可能放两个数 当两个互不同类的数放到前 4 个抽屉的任何一个里面时 它们的和一定是 10 的倍数 巩固巩固 证明 任给证明 任给 12 个不同的两位数 其中一定存在着这样的两个数 它们的差是个个不同的两位数 其中一定存在着这样的两个数 它们的差是个 位与十位数字相同的两位数位与十位数字相同的两位数 解析 两位数除以 11 的余数有 11 种 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 按余数情况 把所有两位数分成 11 种 12 个不同的两位数放入 11 个抽屉 必定有至少 2 个数在同一个 抽屉里 这 2 个数除以 11 的余数相同 两者的差一定能整除 11 两个不同的两位数 差 能被 11 整除 这个差也一定是两位数 如 11 22 并且个位与十位相同 所以 任 给 12 个不同的两位数 其中一定存在着这样的两个数 它们的差是个位与十位数字相同的 两位数 例例 7 7 任给任给 11 个数 其中必有个数 其中必有 6 个数 它们的和是个数 它们的和是 6 的倍数 的倍数 解析 设这 11 个数为 1a 2a 3a 11a 由 5 个数的结论可知 在 1a 2a 3a 4a 5a 中必有 3 个数 其和为 3 的倍数 不妨设 12313aaak 在 4a 5a 6a 7a 8a 中必有 3 个数 其和为 3 的倍数 不妨设 45623aaak 在 7a 8a 9a 10a 11a 中必有 3 个数 其和为 3 的倍数 不妨设 78933aaak 又在 1k 2k 3k 中必有两个数的奇偶性相同 不妨设 1k 2k 的奇偶性相同 那么 1233kk 是 6 的倍数 即 1a 2a 3a 4a 5a 6a 的和是 6 的倍数 巩固巩固 在任意的五个自然数中 是否其中必有三个数的和是在任意的五个自然数中 是否其中必有三个数的和是 的倍数 的倍数 3 解析 至多有两个数在同一个抽屉里 那么每个抽屉里都有数 在每个抽屉里各取一个 数 这三个数被 3 除的余数分别为 0 1 2 因此这三个数之和能被 3 整除 综上所述 在任意的五个自然数中 其中必有三个数的和是 3 的倍数 例例 8 8 任任意意给给定定2008 个个自自然然数数 证证明明 其其中中必必有有若若干干个个自自然然数数 和和是是2008 的的倍倍数数 单单独独 一一个个数数也也当当做做和和 解析 把这 2008 个数先排成一行 1a 2a 3a 2008a 第 1 个数为 1a 前 2 个 数的和为 12aa 前 3 个数的和为 123aaa 前 2008 个数的和为 122008aaa 如果这 2008 个和中有一个是 2008 的倍数 那么问题已经解决 如果这 2008 个和中没有 2008 的 倍数 那么它们除以 2008 的余数只能为 1 2 2007 之一 根据抽屉原理 必有两 个和除以 2008 的余数相同 那么它们的差 仍然是 1a 2a 3a 2008a 中若干个数 的和 是 2008 的倍数 所以结论成立 巩固巩固 20 道复习题 小明在两周内做完 每天至少做一道题道复习题 小明在两周内做完 每天至少做一道题 证明 小明一定在连续 证明 小明一定在连续 的若干天内恰好做了的若干天内恰好做了 7 道题目 道题目 解析 设小明第 1 天做了 1a 道题 前 2 天共做了 2a 道题 前 3 天共做了 3a 道题 前 14 天共做了 14a 道题 显然 1420a 而 1a 13a 都小于 20 考虑 1a 2a 3a 14a 及 17a 27a 37a 147a 这 28 个数 它们都不超过 27 根据抽屉原理 这 28 个数中必有两个数相等 由于 1a 2a 3a 14a 互不相等 17a 27a 37a 14 7a 也互不相等 因而这两个相等的数只能一个在前一组 另一个在后一组中 即有 7jiaa 所以 7jiaa 这表明从第 1i 天到第 j 天 小明恰好做了 7 道题 例例 9 9 求证 可以找到一个各位数字都是求证 可以找到一个各位数字都是 4 的自然数 它是的自然数 它是 1996 的倍数的倍数 解析 19964499 下面证明可以找到 1 个各位数字都是 1 的自然数 它是 499 的倍 数 取 500 个数 1 11 111 111 1 500 个 1 用 499 去除这 500 个数 得 到 500 个余数 1a 2a 3a 500a 由于余数只能取 0 1 2 498 这 499 个值 所以根据抽屉原则 必有 2 个余数是相同的 这 2 个数的差就是 499 的倍数 差的前若干 位是 1 后若干位是 0 11 100 0 又 499 和 10 是互质的 所以它的前若干位由 1 组成 的自然数是 499 的倍数 将它乘以 4 就得到一个各位数字都是 4 的自然数 这是 1996 的 倍数 巩固巩固 任任意意给给定定一一个个正正整整数数 一一定定可可以以将将它它乘乘以以适适当当的的整整数数 使使得得乘乘积积是是完完全全由由0 和和 7n 组组成成的的数数 解析 考虑如下 1n 个数 7 77 777 777n 位 1777n 位 这 1n 个数除以 n 的 余数只能为 0 1 2 1n 中之一 共 n 种情况 根据抽屉原理 其中必有两个数除 以 n 的余数相同 不妨设为 777p 位和 777q 位 pq 那么 777777777000pqpqq 位位位位 是 n 的倍数 所以 n 乘以适当的整数 可以得到形式为 777000pqq 位位的数 即由 0 和 7 组成的数 例例 10 10 求证 对于任意的求证 对于任意的 8 个自然数 一定能从中找到个自然数 一定能从中找到 6 个数个数a b c d e f 使 使 得得是是 105 的倍数的倍数 ab cd ef 解析 105357 对于任意的 8 个自然数 必可选出 2 个数 使它们的差是 7 的倍数 在 剩下的 6 个数中 又可选出 2 个数 使它们的差是 5 的倍数 在剩下的 4 个数中 又可选 出 2 个数 使它们的差是 3 的倍数 巩固巩固 任给六个数字 一定可以通过加 减 乘 除 括号 将这六个数组成一个算式 任给六个数字 一定可以通过加 减 乘 除 括号 将这六个数组成一个算式 使其得数为使其得数为 105105 的倍数 的倍数 解析 根据上一题的提示我们可以写出下列数字谜 abcdef 使其结果为 105 的倍数 那么我们的思路是使第一个括号里是 7 的倍数 第二个括号里是 5 的倍数 第三个括号里 是 3 的倍数 那么对于如果六个数字里有 7 的倍数 那么第一个括号里直接做乘法即可 如果没有 7 的倍数 那么我们做如下抽屉 除以 7 的余数是 1 或者是 6 除以 7 的余数 是 2 或者是 5 除以 7 的余数是 3 或者是 4 那么六个数字肯定有两个数字在同一个抽屉里 那么着两个数如果余数相同 做减法就可以得到 7 的倍数 如果余数不同 做加法就可以 得到 7 的倍数 这样剩下的 4 个数中 同理可得后面的括号里也可以组合出 5 和 3 的倍 数 于是本题可以证明 巩固巩固 年中国台湾小学数学竞赛决赛 一 在年中国台湾小学数学竞赛决赛 一 在张卡片上不重复地编上张卡片上不重复地编上2008100 至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被 至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被整整110012 除 除 解析 21223 因为 3 的倍数有 100333 个 所以不是 3 的倍数的数一共有 1003367 个 抽取这 67 个数无法保证乘积是 3 的倍数 但是如果抽取 68 个数 则必定存在一个数是 3 的倍数 又因为奇数只有 50 个 所以抽取的偶数至少有 18 个 可以保证乘积是 4 的倍数 从而可以保证乘积是 12 的倍数 于是最少要抽取 68 个数 即 68 张卡片 才可以保证结 果 例例 11 11 把把 1 2 3 10 这十个数按任意顺序排成一圈 求证在这一圈数中一定有这十个数按任意顺序排成一圈 求证在这一圈数中一定有 相邻的三个数之和不小于相邻的三个数之和不小于 17 解析 法 1 把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为 1a 2a 3a 10a 相 邻的三个数为一组 有 123aaa 234aaa 345aaa 9101aaa 1012aaa 共 10 组 这十组三个数之和的总和为 12323410121210 3355165aaaaaaaaaaaa 16516105 根据 抽屉原理 这十组数中至少有一组数的和不小于 17 法 2 在 10 个数中一定有一个数是 1 不妨设 101a 除去 10a 之外 把 1a 2a 3a 9a 这 9 个数按顺序分为三组 123aaa 456aaa 789aaa 因为这三组数之和的总和为 123456789 231054aaaaaaaaa 根据抽屉原理 这三组数中至少有一组数之和不小于 17 巩固巩固 圆周上有圆周上有个点 在其上任意地标上个点 在其上任意地标上 每一点只标一个数 不 每一点只标一个数 不20000 1 2 1999 同的点标上不同的数 同的点标上不同的数 证明必然存在一点 与它紧相邻的两个点和这点上所标证明必然存在一点 与它紧相邻的两个点和这点上所标 的三个数之和不小于的三个数之和不小于2999 解析 把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为 1a 2a 3a 2000a 相邻 的三个数为一组 有 123aaa 234aaa 345aaa 199920001aaa 200012aaa 共 2000 组 这 2000 组三个数之和的总和为33 1231999 5997000aaaaaaaaaaaa5997000299820001000 根据抽屉原理 这两千组数中至少有一组数 的和不小于 2999 例例 12 12 证明 在任意的证明 在任意的 6 个人中必有个人中必有 3 个人 他们或者相互认识 或者相互不认识个人 他们或者相互认识 或者相互不认识 解析 把这 6 个人看作 6 个点 每两点之间连一条线段 两人相互认识的话将线段涂红 色 两人不认识的话将线段涂上蓝色 那么只需证明其中有一个同色三角形即可 从这 6 个点中随意选取一点 A 从 A 点引出的 5 条线段 根据抽屉原理 必有 3 条的颜色相同 不妨设有 3 条线段为红色 它们另外一个端点分别为 B C D 那么这三点中只要有两点 比如说 B C 之间的线段是红色 那么 A B C3 点组成红色三角形 如果 B C D 三点之 间的线段都不是红色 那么都是蓝色 这样 B C D3 点组成蓝色三角形 也符合条件 所 以结论成立 巩固巩固 平面上给定平面上给定 6 个点 没有个点 没有 3 个点在一条直线上个点在一条直线上 证明 用这些点做顶点所组成的 证明 用这些点做顶点所组成的 一切三角形中 一定有一个三角形 它的最大边同时是另外一个三角形的最小一切三角形中 一定有一个三角形 它的最大边同时是另外一个三角形的最小 边 边 解析 我 们先把题目解释一下 一般情况下三角形的三条边的长度是互不相等的 因此必有最大边 和最小边 在等腰三角形 或等边三角形中 会出现两条边 甚至三条边都是最大边 或最 小边 我们用染色的办法来解决这个问题 分两步染色 第一步 先将每一个三角形中的最大边涂上同一种颜色 比如红色 第二步 将其它的未 涂色的线段都涂上另外一种颜色 比如蓝色 这样 我们就将所有三角形的边都用红 蓝 两色涂好 根据上题题的结论可知 这些三角形中至少有一个同色三角形 由于这个同色 三角形有自己的最大边 而最大边涂成红色 所以这个同色三角形必然是红色三角形 由 于这个同色三角形有自己的最小边 而这条最小边也是红色的 说明这条最小边必定是某 个三角形的最大边 结论得证 巩固巩固 假设在一个平面上有任意六个点 无三点共线 每两点用红色或蓝色的线段连起假设在一个平面上有任意六个点 无三点共线 每两点用红色或蓝色的线段连起 来 都连好后 问你能不能找到一个由这些线构成的三角形 使三角形的三边同来 都连好后 问你能不能找到一个由这些线构成的三角形 使三角形的三边同 色 色 解析 从这 6 个点中随意选取一点 A 从 A 点引出的 5 条线段 根据抽屉原理 必有 3 条的颜色相同 不妨设有 3 条线段为红色 它们另外一个端点分别为 B C D 那么这三 点中只要有两点比如说 B C 之间的线段是红色 那么 A B C3 点组成红色三角形 如果 B C D 三点之间的线段都不是红色 那么都是蓝色 这样 B C D3 点组成蓝色三角形 也符合条件 所以结论成立 可以拓展玩转数学 巩固巩固 平面上有平面上有 17 个点 两两连线 每条线段染红 黄 蓝三种颜色中的一种 这些个点 两两连线 每条线段染红 黄 蓝三种颜色中的一种 这些 线段能构成若干个三角形线段能构成若干个三角形 证明 一定有一个三角形三边的颜色相同证明 一定有一个三角形三边的颜色相同 解析 从这 17 个点钟任取一个点 A 把 A 点与其它 16 个点相连可以得到 16 条线段 根 据抽屉原理 其中同色的线段至少有 6 条 不妨设为红色 考虑这 6 条线段的除 A 点外的 6 个端点 如果 6 个点两两之间有 1 条红色线段 那么就有 1 个红色三角形符合条件 如果 6 个点之间没有红色线段 也就是全为黄色和蓝色 由上面的 2 题可知 这 6 个点 中必有 3 个点 它们之间的线段的颜色相同 那么这样的三角形就符合条件 综上所述 一定存在一个三角形满足题目要求 例例 13 13 上体育课时 体育课时 2121 名男 女学生排成名男 女学生排成 3 3 行行 7 7 列的队形做操 老师是否总能从队形列的队形做操 老师是否总能从队形 中划出一个长方形 使得站在这个长方形中划出一个长方形 使得站在这个长方形 4 4 个角上的学生或者都是男生 或者个角上的学生或者都是男生 或者 都是女生都是女生 如果能 请说明理由 如果不能 请举出实例 如果能 请说明理由 如果不能 请举出实例 解析 因为只有男生或女生两种情况 所以第 1 行的 7 个位置中至少有 4 个位置同性 别 为了确定起见 不妨设前 4 个位置同是男生 如果第二行的前 4 个位置有 2 名男生 那么 4 个角同是男生的情况已经存在 所以我们假定第二行的前 4 个位置中至少有 3 名女 生 不妨假定前 3 个是女生 又第三行的前 3 个位置中至少有 2 个位置是同性别学生 当 是 2 名男生时与第一行构成一个四角同性别的矩形 当有 2 名女生时与第二行构成四角同 性别的矩形 所以 不论如何 总能从队形中划出一个长方形 使得站在这个长方形 4 个 角上的学生同性别 问题得证 例例 14 14 8 8 个学生解个学生解 8 8 道题目 道题目 1 1 若每道题至少被若每道题至少被 5 5 人解出 请说明可以找到两个学生 人解出 请说明可以找到两个学生 每道题至少被过两个学生中的一个解出 每道题至少被过两个学生中的一个解出 2 2 如果每道题只有如果每道题只有 4 4 个学生解出 那个学生解出 那 么么 1 1 的结论一般不成立 试构造一个例子说明这点的结论一般不成立 试构造一个例子说明这点 解析 1 先设每道题被一人解出称为一次 那么 8 道题目至少共解出 58 40 次 分到 8 个学生身上 至少有一个学生解出了 5 次或 5 次以上题目 即这个学生至少解出 5 道题 称这个学生为 A 我们讨论以下 4 种可能 第一种可能 若 A 只解出 5 道题 则另 3 道题应由其他 7 个人解出 而 3 道题至少共被解 出 35 15 次 分到 7 个学生身上 至少有一名同学解出了 3 次或 3 次以上的题目 15 27 1 由抽屉原则便知 由于只有 3 道题 那么这 3 道题被一名学生全部解出 记这名 同学为 B 那么 每道题至少被 A B 两名同学中某人解出 第二种可能 若 A 解出 6 道题 则另 2 道题应由另 7 人解出 而 2 道题至少共被解出 2 5 10 次 分到 7 个同学身上 至少有一名同学解出 2 次或 2 次以上的题目 10 17 3 由抽屉原则便知 与 l 第一种可能 I 同理 这两道题必被一名学生全部解出 记这名同学 为 C 那么 每道题目至少被 A C 学生中一人解出 第三种可能 若 A 解出 7 道题目 则另一题必由另一人解出 记此人为 D 那么 每道题 目至少被 A D 两名学生中一人解出 第四种可能 若 A 解出 8 道题目 则随意找一名学生 记为 E 那么 每道题目至少被 A E 两名学生中一人解出 所以问题 1 得证 2 类似问题 1 中的想法 题目共被解出 84 32 次 可以使每名学生都解出 4 次 那么每 人解出 4 道题 随便找一名学生 必有 4 道未被他解出 这 4 道题共被 7 名同学解出 44 16 次 由于 16 2 7 2 可以使每名同学解出题目不超过 3 道 这样就无法找到两名学 生 使每道题目至少被其中一人解出 具体构造如下表 其中汉字代表题号 数字代表学 生 打 代表该位置对应的题目被该位置对应的学生解出 巩固巩固 试卷上共有试卷上共有 4 4 道选择题 每题有道选择题 每题有 3 3 个可供选择的答案 一群学生参加考试 个可供选择的答案 一群学生参加考试 结果是对于其中任何结果是对于其中任何 3 3 人 都有一个题目的答案互不相同 问参加考试的人 都有一个题目的答案互不相同 问参加考试的 学生最多有多少人学生最多有多少人 解析 设总人数为 A 再由分析可设第一题筛选取出的人数为 1A 第二题筛选的人 数为 2A 第三题筛选取的人数为 3A 第四题筛选的人数为 4A 如果不能满足题目要 求 则 4A 至少是 3 即 3 个人只有两种答案 由于 4A 是 3A 人做第四题后筛选取出 的人数 则由抽屉原则知 两种答案 中至少放有 333AA 个苹果 即 4A 333AA 4A 3 则 A3 至少为 4 即 4 人只有两种答案 由于 3A 是 2A 人做第三题后筛选 的人数 则由抽屉原则知 将 2A 个苹果放久三个抽屉 三种答案 那么必然有两个 抽屉 两种答案 中至少放有 223AA 个苹果 即 3A 223AA 3A 4 则 2A 至少为 5 即 5 人只有两种答案 同理 有 113AA 2A 5 则 1A 至少为 7 即做完第一道题必然有 7 个人只有两种答案 则有 003AA 1A 7 则 0A 至少为 10 即当有 10 人参加考试时无 法满足题目的要求 考虑 9 名学生参加考试 令每人答题情况如下表所示 汉字表示 题号 数字表示学生 故参加考试的学生最多有 9 人 2 2 求抽屉 求抽屉 例例 15 15 把十只小兔放进至多几个笼子里 才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上把十只小兔放进至多几个笼子里 才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上 的小兔 的小兔 解析 要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔 把小兔子当作 物品 把 笼子 当作 抽屉 根据抽屉原理 要把 10 只小兔放进 10 1 9 个笼里 才能保证至 少有一个笼里有两只或两只以上的小兔 例例 16 16 把把 125125 本书分给五本书分给五 班的学生 如果其中至少有一个人分到至少班的学生 如果其中至少有一个人分到至少 4 4 本书 那么 本书 那么 这个班最多有多少人 这个班最多有多少人 解析 本题需要求抽屉的数量 需要反用抽屉原理和最 坏 情况的结合 最坏的情况 是只有 1 个人分到 4 本书 而其他同学都只分到 3 本书 则 12543401 因此这个班最多有 40141 人 处理余数很关键 如果有 42 人则不能保证至少有一个人分到 4 本书 巩固巩固 某次选拔考试 共有某次选拔考试 共有 11231123 名同学参加 小明说 名同学参加 小明说 至少有至少有 1010 名同学来自同一个名同学来自同一个 学校 学校 如果他的说法是正确的 那么最多有多少个学校参加了这次入学考试 如果他的说法是正确的 那么最多有多少个学校参加了这次入学考试 解析 本题需要求抽屉的数量 反用抽屉原理和最 坏 情况的结合 最坏的情况是只 有 10 个同学来自同一个学校 而其他学校都只有 9 名同学参加 则 11231091236 因此最多 有 1231124 个学校 处理余数很关键 如果有 125 个学校则不能保证至少有 10 名同学来 自同一个学校 巩固巩固 100100 个苹果最多分给多少个学生 能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于个苹果最多分给多少个学生 能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于 1212 个个 解析 从不利的方向考虑 当分苹果的学生多余某一个数时 有可能使每个学生分得的 学生少于 12 个 求这个数 100 个按每个学生分苹果不多于 11 个 即少于 12 个 苹果 最少也要分 10 人 9 人 11 个苹果 还有一人一个苹果 否则 9 11 100 所以只要分苹 果的学生不多余 9 人就能使保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于 12 个 即多于 11 个 答案为 9 例例 17 17 某班有某班有 1616 名学生 每个月教师把学生分成两个小组 问最少要经过几个月 才名学生 每个月教师把学生分成两个小组 问最少要经过几个月 才 能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里 解析 经过第一个月 将 16 个学生分成两组 至少有 8 个学生分在同一组 下面只考虑 这 8 个学生 经过第二个月 将这 8 个学生分成两组 至少有 4 个学生是分在同一组 下 面只考虑这 4 个学生 经过第三个月 将这 4 个学生分成两组 至少有 2 个学生仍分在同 一组 这说明只经过 3 个月是无法满足题目要求的 如果经过四个月 将每个月都一直保 持同组的学生一分为二 放人两个组 那么第一个月保持同组的人数为 16 2 8 人 第二 个月保持同组的人数为 8 2 4 人 第三个月保持同组人数为 4 2 2 人 这说明照此分法 不会有 2 个人一直保持在同一组内 即满足题目要求 故最少要经过 4 个月 3 3 求苹果 求苹果 例例 18 18 班上有班上有名小朋友 老师至少拿几本书 随意分给小朋友 才能保证至少有一名小朋友 老师至少拿几本书 随意分给小朋友 才能保证至少有一50 个小朋友能得到不少于两本书 个小朋友能得到不少于两本书 解析 把 50 名小朋友当作 50 个 抽屉 书作为物品 把书放在 50 个抽屉中 要想保 证至少有一个抽屉中有两本书 根据抽屉原理 书的数目必须大于 50 而大于 50 的最小 整数是 50151 所以至少要拿 51 本书 巩固巩固 班上有班上有名小朋友 老师至少拿几本书 随意分给小朋友 才能保证至少有一名小朋友 老师至少拿几本书 随意分给小朋友 才能保证至少有一28 个小朋友能得到不少于两本书 个小朋友能得到不少于两本书 解析 老师至少拿 29 本书 随意分给小朋友 才能保证至少有一个小朋友能得到不少于 两本书 巩固巩固 有有只鸽笼 为保证至少有只鸽笼 为保证至少有 只鸽笼中住有只鸽笼中住有只或只或只以上的鸽子 请问 至少只以上的鸽子 请问 至少10122 需要有几只鸽子 需要有几只鸽子 解析 有 10 只鸽笼 每个笼子住 1 只鸽子 一共就是 10 只 要保证至少有 1 只鸽笼中 住有 2 只或 2 只以上的鸽子 那么至少需要 11 只鸽子 这多出的 1 只鸽子会住在这 10 个 任意一个笼子里 这样就有 1 个笼子里住着 2 只鸽子 所以至少需要 11 只鸽子 巩固巩固 三年级二班有三年级二班有名同学 班上的名同学 班上的 图书角图书角 至少要准备多少本课外书 才能保至少要准备多少本课外书 才能保43 证有的同学可以同时借两本书 证有的同学可以同时借两本书 解析 把 43 名同学看作 43 个抽屉 根据抽屉原理 要使至少有一个抽屉里有两个苹果 那么就要使苹果的个数大于抽屉的数量 因此 图书角 至少要准备 44 本课外书 例例 19 19 海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数 并且在海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数 并且在厘米到厘米到厘米之间厘米之间140150 包括 包括厘米到厘米到厘米 厘米 那么 至少从多少个学生中保证能找到 那么 至少从多少个学生中保证能找到个人的身个人的身1401504 高相同 高相同 解析 陷阱 以前的题基本全是 2 个人的 而这里出现 4 个人 那么 就 从倍数关系 选 认真思考 此题中应把什么看作抽屉 有几个抽屉 在 140 厘米至 150 厘米之间 包 括 140 厘米到 150 厘米 共有 11 个整厘米数 把这 11 个整厘米数看作 11 个抽屉 每个抽 屉中放 3 个整厘米数 就要 11 3 33 个整厘米数 如果再取出一个整厘米数 放入相应 的抽屉中 那么这个抽屉中便有 4 个整厘米数 也就是至少找出 33 1 34 个学生 才能 找到 4 个人的身高相同 例例 20 20 一次数学竞赛出了一次数学竞赛出了 1010 道选择题 评分标准为 基础分道选择题 评分标准为 基础分 1010 分 每道题答对得分 每道题答对得 3 3 分 答错扣分 答错扣 1 1 分 不答不得分 问 要保证至少有分 不答不得分 问 要保证至少有 4 4 人得分相同 至少需要多人得分相同 至少需要多 少人参加竞赛 少人参加竞赛 解析 由题目条件这次数学竞赛的得分可以从 10 10 0 分到 10 3 10 40 分 但注意到 39 38 35 这 3 个分数是不可能得到的 要保证至少有 4 人得分相同 至少需要 3 41 3 1 115 人 巩固巩固 第十届 第十届 小数报小数报 数学竞赛决赛 一次测验共有数学竞赛决赛 一次测验共有 10 道问答题 每题的评分标道问答题 每题的评分标 准是 回答完全正确 得准是 回答完全正确 得 5 分 回答不完全正确 得分 回答不完全正确 得 3 分 回答完全错误或不回分 回答完全错误或不回 答 得答 得 0 分分 至少至少 人参加这次测验 才能保证至少有人参加这次测验 才能保证至少有 3 人得得分相同人得得分相同 解析 根据评分标准可知 最高得分为 50 分 最低得分为 0 分 在 0 50 分之间 1 分 2 分 4 分 7 分 47 分 49 分不可能出现 共有 51645 种 不同得分 根据抽屉原理 至少有 45 2 1 91 人 参赛 才能保证至少有 3 人得分相同 二 二 构造抽屉利用公式进行解题 构造抽屉利用公式进行解题 例例 21 21 在一只口袋中有红色 黄色 蓝色球若干个 小聪明和其他六个小朋友一起做在一只口袋中有红色 黄色 蓝色球若干个 小聪明和其他六个小朋友一起做 游戏 每人可以从口袋中随意取出游戏 每人可以从口袋中随意取出个球 那么不管怎样挑选 总有两个小朋友个球 那么不管怎样挑选 总有两个小朋友2 取出的两个球的颜色完全一样 你能说明这是为什么吗 取出的两个球的颜色完全一样 你能说明这是为什么吗 解析 从三种颜色的球中挑选两个球 可能情况只有下面 6 种 红 红 黄 黄 蓝 蓝 红 黄 红 蓝 黄 蓝 我们把种搭配方式当作 6 个 抽屉 把 7 个小朋友当作 7 个 苹果 根据抽屉原理 至少有两个 苹果 要放进一个 抽屉 中 也就是说 至少 有两个人挑选的颜色完全一样 巩固巩固 在一只口袋中有红色与黄色球各在一只口袋中有红色与黄色球各 4 4 只 现有只 现有 4 4 个小朋友 每人从口袋中任意取出个小朋友 每人从口袋中任意取出 2 2 个小球 请你证明 必有两个小朋友 他们取出的两个球的颜色完全一样 个小球 请你证明 必有两个小朋友 他们取出的两个球的颜色完全一样 解析 小朋友从口袋中取出的两个球的颜色的组成只有以下 3 种可能 红红 黄黄 红 黄 把这 3 种情况看作 3 个 抽屉 把 4 位小朋友看作 4 只 苹果 根据抽屉原理 必 有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样 巩固巩固 篮子里有苹果 梨 桃和桔子 现有若干个小朋友 如果每个小朋友都从中任意篮子里有苹果 梨 桃和桔子 现有若干个小朋友 如果每个小朋友都从中任意 拿两个水果 那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的 拿两个水果 那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的 解析 首先应弄清不同的水果搭配有多少种 两个水果是相同的有 4 种 两个水果不同 有 6 种 苹果和梨 苹果和桃 苹果和桔子 梨和桃 梨和桔子 桃和桔子 所以不同的 水果搭配共有 4610 种 将这 10 种搭配作为 10 个 抽屉 由抽屉原理知至少需 11 个 小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的 巩固巩固 学校里买来数学 英语两类课外读物若干本 规定每位同学可以借阅其中两本 学校里买来数学 英语两类课外读物若干本 规定每位同学可以借阅其中两本 现有现有位小朋友前来借阅 每人都借了位小朋友前来借阅 每人都借了本 请问 你能保证 他们之中至少有本 请问 你能保证 他们之中至少有42 两人借阅的图书属于同一种吗 两人借阅的图书属于同一种吗 解析 每个小朋友都借 2 本有三种可能 数数 英英 数英 第 4 个小朋友无论借什么 书 都可能是这三种情况中的一种 这样就有两个同学借的是同一类