求轨迹方程的常用方法(例题及变式)

求轨迹方程的常用方法 题型一题型一 直接法直接法 此法是求轨迹方程最基本的方法 根据所满足的几何条件 将几何条件直接 MPM 翻译成的形式 然后进行等价变换 化简 要注意轨迹方程yx 0 yxf0 yxf 的纯粹性和完备性 即曲线上没有坐标不满足方程的点 也就是说曲线上所有的点适合这 个条件而毫无例外 纯粹性 反之 适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏 完备性 例 1 过点任作互相垂直的两直线和 分别交轴于点 求线段 3 2 AAMANyx NM 中点的轨迹方程 MNP 解 设点坐标为 由中点坐标公式及在轴上得 P yxPNM 2 0 yM 0 2 xN Ryx ANAM 1 ANAM kk 化简得 1 20 32 22 30 y x 1 x01364 yx 1 x 当时 此时的中点它也满足方程 1 x 3 0 M 0 2 NMN 2 3 1 P01364 yx 所以中点的轨迹方程为 P01364 yx 变式 1 已知动点到直线的距离是它到点的距离的 2 倍 M x y 4l x 1 0 N 1 求动点的轨迹的方程 MC 2 过点的直线与轨迹交于两点 若是的中点 求直线的 0 3 PmC A BAPBm 斜率 题型二题型二 定义法定义法 圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要 应特别重视利用圆锥曲线的定义解题 包括用 定义法求轨迹方程 例 2 动圆过定点 且与圆相切 求动圆圆心的轨迹M 0 4 P08 22 xyxCM 方程 解 根据题意 说明点到定点的距离之差的绝对值为定值 4 MPMCMPC 故点的轨迹是双曲线 M 42 a 2 a4 c 12 22 acb 故动圆圆心的轨迹方程为M1 124 22 yx 变式 2 在中 上的两条中线长度之和为 39 求的重心的轨迹方ABC 24BCACAB ABC 程 解 以线段所在直线为轴 线段的中垂线为轴建立直角坐标系 如图 1 为BCxBCyM 重心 则有 2 3926 3 BMCM 点的轨迹是以为焦点的椭圆 M BC 其中 1213ca 22 5bac 所求的重心的轨迹方程为 ABC 22 1 0 16925 xy y 题型三题型三 相关点法相关点法 此法的特点是动点的坐标取决于已知曲线上的点的坐标 可先用 yxMC yx 来表示 再代入曲线的方程 即得点的轨迹方程 yx yxC0 yxfM 例 3 如图 从双曲线上一点引直线的垂线 垂足为 求线段1 22 yxQ2 yxN 的中点的轨迹方程QNP 分析 从题意看动点的相关点是 在双曲线上运动 所以本题适合用相关点法 PQQ 解 设动点的坐标为 点的坐标为 则点的坐标为P yxQ 11 yxN 2 2 11 yyxx 在直线上 N2 yx 222 11 yyxx 又垂直于直线 PQ2 yx 即 1 1 1 xx yy 0 11 xyyx 由 解得 1 2 3 2 1 1 2 1 2 3 1 1 yxy yxx 又点在双曲线上 Q1 22 yx 1 2 1 2 1 yx 代入 得动点的轨迹方程为P012222 22 yxyx 变式变式 3 已知 ABC 的顶点 顶点在抛物线上运动 求的重 3 0 10 BC A 2 yx ABC 心的轨迹方程 G 解 设 由重心公式 得又 G xy 00 A xy 0 0 31 3 3 x x y y 0 0 32 3 xx yy 在抛物线上 00 A xy 2 yx 2 00 yx 将 代入 得 2 3 32 0 yxy 即所求曲线方程是 2 4 34 0 3 yxxy 题型四题型四 参数法参数法 选取适当的参数 分别用参数表示动点坐标 得出轨迹的参数方程 消去参数 即得yx 其普通方程 选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素 然后在选取合适的参数 因为参数不同 会导致运算量的不同 常见的参数有截距 角度 斜率 线段长度等 例 4 已知线段 直线 垂直平分于 在 上取两点 使有向线段2AAa l AA OlP P 满足 求直线与的交点的轨迹方程 OPOP 4OP OP APA P M 解 如图 2 以线段所在直线为轴 以线段的中垂线为轴建立直角坐标系 AA x AA y 设点 0 0 Pt t 则由题意 得 4 0P t 由点斜式得直线的方程分别为 APA P 4 t yxayxa ata 两式相乘 消去 得 t 2222 44 0 xa yay 这就是所求点M的轨迹方程 变式 4 设椭圆方程为 过点的直线 交椭圆于点 是坐标原1 4 2 2 y x 1 0 MlBA O 点 上的动点满足 点的坐标为 当 绕点旋转时 lP 2 1 OBOAOP N 2 1 2 1 lN 求 1 动点的轨迹方程 2 的最小值与最大值 P NP 分析 1 设出直线 的方程 与椭圆方程联立 求出 进而表示出点l 2121 yyxx 坐标 用消参法求轨迹方程 2 将表示成变量的二次函数 P NPx 解 1 法一 直线 过点 当 的斜率存在时 设其斜率为 则 的方程为l 1 0 Mlkl 设 由题设可列方程为1 kxy 11 yxA 22 yxB 1 4 1 2 2 y x kxy 将 代入 并化简得 032 4 22 kxxk 所以 2 21 2 21 4 8 4 2 k yy k k xx 于是 2 1 OBOAOP 2 2 2121 yyxx 4 4 4 22 kk k 设点的坐标为 则P yx 2 2 4 4 4 k y k k x 消去参数得 k04 22 yyx 当直线 的斜率不存在时 的中点坐标为原点 也满足方程 lBA 0 0 所以点的轨迹方程为 P04 22 yyx 法二 设点的坐标为 因 在椭圆上 所以P yx 11 yxA 22 yxB 1 4 1 4 2 2 2 2 2 1 2 1 y x y x 得 0 4 1 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 所以0 4 1 21212121 yyyyxxxx 当时 有 21 xx 0 4 1 21 21 2121 xx yy yyxx 并且 21 21 21 21 1 2 2 xx yy x y yy y xx x 将 代入 并整理得 04 22 yyx 当时 点的坐标分别为 21 xx BA 2 0 2 0 这时点的坐标为 也满足 所以点的轨迹方程为 P 0 0 P1 4 1 2 1 16 1 2 2 y x 2