函数奇偶性课件公开课.ppt

函数的奇偶性 书山有路勤为径 学海无崖苦作舟 少壮不努力 老大徒伤悲 成功 艰苦的劳动 正确的方法 少谈空话 天才就是百分之一的灵感加上百分之九十九的汗水 勤奋 守纪 团结 进取 教学目标 奇函数的概念 偶函数的概念 函数奇偶性的判断 重点 函数奇偶性的概念 难点 函数奇偶性的判断 教法 自学辅导法 讨论法 讲授法 学法 归纳 讨论 练习 教学手段 多媒体电脑与投影仪 两个分别关于X轴 y轴或原点o对称的点 其坐标各具有什么特征呢 温故知新 x y o x y o 观察下列两个函数图象并思考以下问题 1 这两个函数图象有什么共同特征吗 2 当自变量x取一对相反数时 相应的两个函数值如何 我们得到 1这两个函数图象都关于y轴对称 2从函数值对应表可以看到 当自变量x取一对相反数时 相应的两个函数值相同 即点 x f x 在图象上 相应的点 x f x 也在函数图象上 能否利用函数解析式来描述函数图象的特征呢 Y x2 x x 当x1 1 x2 1时 f 1 f 1 当x1 2 x2 2时 f 2 f 2 对任意x f x f x 偶函数的图象关于Y轴对称 函数y x2的图像 偶函数的图像特征 偶函数的特征 解析式的基本特征 f x f x 图像特征 关于y轴对称 设函数的定义域为数集D 如果对于任意的都有且f x f x 那么函数f x 就叫做偶函数 1 偶函数的概念 概念形成 再观察下列函数的图象 它们又有什么样的特点规律呢 例如 对于函数f x x3 x x 概念形成 X f x X f x 返回 奇函数的图像特征 函数y x3的图像 O 奇函数的图象关于原点对称 奇函数的特征 解析式的基本特征 f x f x 图像特征 关于原点对称 2 奇函数的概念 概念形成 设函数的定义域为数集D 如果对于任意的都有且f x f x 那么函数f x 就叫做奇函数 下列函数是偶函数吗 1 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件 对于奇 偶函数定义的几点说明 2 如果一个函数f x 是奇函数或偶函数 那么我们就说函数f x 具有奇偶性 3 函数的奇偶性是函数的整体性质 一个函数f x 是偶函数的充要条件是 它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形 奇 偶函数的性质 一个函数f x 是奇函数充要条件是 它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 思考 如何判断一个函数的奇偶性呢 1 图像法 2 定义法 例1 根据下列函数图象 判断函数奇偶性 y x y x y x 1 2 y x 1 1 偶 奇 非奇非偶 奇 图象法 定义法 课本例4 用定义法判断函数奇偶性解题步骤 1 先确定函数定义域 并判断定义域是否关于原点对称 2 求f x 找f x 与f x 的关系 若f x f x 则f x 是偶函数 若f x f x 则f x 是奇函数 3 作出结论 f x 是偶函数或奇函数或非奇非偶函数或即是奇函数又是偶函数 练习 判断下列函数的奇偶性 1 f x x3 2x 2 f x 2x4 3x2 解 f x x 3 2 x x3 2x x3 2x f x f x 为奇函数 f x 2 x 4 3 x 2 2x4 3x2 f x 为偶函数 函数定义域为R 解 函数定义域为R f x 定义法 课堂小结 1奇偶性定义 对于函数f x 在它的定义域内 若有f x f x 则f x 叫做奇函数 若有f x f x 则f x 叫做偶函数 2图象性质 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 3判断奇偶性方法 图象法 定义法 4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提 奇偶函数定义 图像性质 定义域对称 图像法 定义法 必做题 课本P582 1 选做题 练习册 组 10 14 作业 检测题 一 填空 1 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 就叫做偶函数 2 奇函数的图象关于 对称 二 判断 1 偶函数的图形不一定关于y轴对称 2 y x是奇函数 三 判断下列函数的奇偶性 再见 2 奇偶函数图象的性质 2 偶函数的图象关于y轴对称 反过来 如果一个函数的图象关于y轴对称 那么这个函数为偶函数 奇偶函数图象的性质可用于 判断函数的奇偶性 简化函数图象的画法 1 奇函数的图象关于原点对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数为奇函数 6 f x x 1 解 函数f x 的定义域为R f x f x 0 又f x f x 0 f x 为既奇又偶函数 5 f x 0 x R 根据奇偶性 函数可划分为四类 奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数 解 函数定义域为R f x x 1 f x x 1 f x f x 且f x f x f x 为非奇非偶函数 判定函数的奇偶性的步骤 1 先求函数的定义域 若定义域不是关于原点对称的区间 则函数为非奇非偶函数 若定义域是关于原点对称的区间 进入第二步 2 计算f x 化向f x 的解析式 若等于f x 则函数是偶函数 若等于 f x 则函数是奇函数 若不等于 则函数是非奇非偶函数 3 结论 有时判定f x f x 比较困难 可考虑判定f x f x 0或判定f x f x 1 4 f x x 1 x 1 f x 既是偶函数 又是奇函数 解 函数的定义域为 1 1 复习回顾 1 两个定义 对于f x 定义域内的任意一个x 如果都有f x f x f x 为奇函数 如果都有f x f x f x 为偶函数 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称 2 两个性质 3 判断函数奇偶性的步骤 考查函数定义域是否关于原点对称 判断f x f x 之一是否成立 作出结论 例3 已知f x 是奇函数 当x 0时 f x x2 2x 求当x 0时 f x 的解析式 并画出此函数f x 的图象 解 f x 是奇函数 f x f x 当x 0时 f x x2 2x 当x 0时 x 0 f x x 2 2 x x2 2x 即 f x x2 2x f x x2 2x 偶函数定义 如果对于函数定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么f x 就叫偶函数 奇函数定义 如果对于函数定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么f x 就叫奇函数 思考 偶函数与奇函数图象有什么特征呢 判断函数奇偶性步骤 1 先确定函数定义域 并判断定义域是否关于原点对称 2 确定f x 与f x 的关系 3 作出结论 若f x f x 或f x f x 0 则f x 是偶函数 若f x f x 或f x f x 0 则f x 是奇函数 思考1 函数f x 2x 1是奇函数吗 是偶函数吗 x y 0 1 2 f x 2x 1 1 分析 函数的定义域为R但是f x 2 x 1 2x 1 f x f x 且f x f x f x 既不是奇函数也不是偶函数 也称为非奇非偶函数 如右图所示 图像既不关于原点对称也不关于y轴对称 思考 思考2 完成课本页的练习 小结 奇偶性定义 对于函数f x 在它的定义域内 把任意一个x换成 x x x均在定义域内 若有f x f x 则f x 叫做奇函数 若有f x f x 则f x 叫做偶函数 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 性质 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 判断奇偶性方法 图象法 定义法 y x 1 1 1 1 x x 引例 1 已知函数f x x2 求f 2 f 2 f 1 f 1 及f x 并画出它的图象 解 f 2 2 2 4f 2 4f 2 f 2 f 1 1 2 1f 1 1f 1 f 1 f x x 2 x2f x f x 思考 1 这两个函数图象有什么共同特征吗 2 从解析式上如何体现上述特征 2 已知f x x3 画出它的图象 并求出f 2 f 2 f 1 f 1 及f x 解 f 2 2 3 8 f 2 8f 2 f 2 f 1 1 3 1 f 1 1f 1 f 1 f x x 3 x3f x f x 思考 通过练习 你发现了什么规律 x y x y 注意 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数的整体性质 而函数的单调性是函数的局部性质 2 由函数的奇偶性定义可知 函数具有奇偶性的一个必要条件是 对于定义域内的任意一个x 则 x也一定是定义域内的一个自变量 即定义域关于原点对称 例2 判断下列函数的奇偶性 解 1 对于函数 其定义域为 因为对定义域内的每一个x 都有所以函数为奇函数 1 2 先确定定义域 再验证f x 与f x 之间的关系 3 5 4 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 定义域不关于原点对称 所以f x 为非奇非偶函数 解 4 5 故函数f x 为既是奇函数也是偶函数 例3 判断下列函数的奇偶性 定义域对称的非零常数函数仅是偶函数 而零函数既是奇函数又是偶函数 Y x2 x x 当x1 1 x2 1时 f 1 f 1 当x1 2 x2 2时 f 2 f 2 对任意x f x f x 注 当自变量x取一对相反数时 相应的两个函数值相同 即点 x f x 在图象上 相应的点 x f x 也在函数图象上 x f x x f x 返回 例如 对于函数f x x3 有f 1 1 3 1f 1 1 f 2 2 3 8f 2 8 f x x 3 x3 f 1 f 1 f 2 f 2