尺规作图与正多边形

尺规作图与正多边形 教案设计 一一 前期分析前期分析 1 内容分析内容分析 尺规作图与正多边形 比较系统地研究了怎样的正多边形 可以尺规作图做出来这个课题 在课型上属于定理教学课 主要内容是处理如何在圆里面做出相应的多边形边长来 我 们初中就已经学习过一些简单的尺规作图 在初高中也已经 接触了很多圆内接正多边形 启发学生联想所学知识 运用 几何法 推导出定理 6 12 了解这个定理就可以很快知道一 个正多边形能不能尺规作图做出来 2 学情分析学情分析 1 学生已经了解尺规作图的定义 尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图 2 学生已经掌握五种基本作图 1 作一条线段等于已知线段 2 作一个角等于已知角 3 作已知线段的垂直平分线 4 作已知角的角平分线 5 过一点作已知直线的垂线 3 学生已具备自学能力 能够独立建立直角坐标系来解决 一些简单问题 4 学生或许建立模型的意识比较薄弱 所以要达到独立从 特殊案例一般化推广到抽象数学问题的解决比较困难 二 教学目标二 教学目标 1 知识目标知识目标 通过对本节课的学习 掌握以下内容 1 能自己通过尺规作图作出正三 四 五边形 2 解释为什么做不出正七边形 正九边形 3 理解 掌握 应用公式 n p1p2 pk 2 2 能力目标能力目标 1 培养学生动手操作的能力 以及数形结合的思想 2 培养学生从特殊到一般化的推广 学生观察 分析问 题 应用所学知识解 觉问题的能力 3 通过在正多边形与费马素数之间建立起关系 在解决 问题的过程中培养学生的联想能力 综合应用知识 的能力 3 情感目标情感目标 1 培养学生的探究意识 激发学生学习兴趣 活跃学习 氛围 2 鼓励学生探索规律 发现规律 解决实际问题 3 通过共同剖析 探讨问题 推进师生合作意识 加强 相互评价与自我反思 三 教学重点与难点分析三 教学重点与难点分析 1 教学重点是能自己通过尺规作图作出正三 四 五边形 解 释为什么做不出正七边形 正九边形以及理解 掌握 应用 公式 n p1p2 pk 2 2 教学难点是启发学生联想所学知识 运用几何法 推导出 定理 6 12 n p1p2 pk 2 四 教学方法分析四 教学方法分析 以学生自学为主 教师引导为辅 要求学生独立思考并且结合同 学之间的讨论 将生生合作与师生合作相结合 实现教学目标 在本节课引导学生发现 理解定理 n p1p2 pk 2 五 教学过程五 教学过程 1 1 复习导入复习导入 首先我会问大家 同学们上几节课我们证明了三个尺规作图不 能解决的问题即 1 立方倍积 即求作一立方体的边 使该立方体的体积为给定 立方体的两倍 2 化圆为方 即作一正方形 使其与一给定的圆面积相等 3 三等分角 即分一个给定的任意角为三个相等的部分 我想在生活中我们更关心那些图形可以尺规作图做出来比如我们最 常见的圆内接多边形 2 2 提出问题 进行探究提出问题 进行探究 教学过程设计意图 教 师 提 问 仅用尺规你可以做出正三角形 正方形 正五边形 正六边形吗 教师主动提 问 营造主 动积极的探 究氛围 激 发学习兴趣 学 生 自 主 探 讨 1 尺规作图做正三角形 先画个圆 O 半径为 R 在圆上取任意一点 P 为圆心 半径为 R 做弧 与圆 O 相交与 A B 两点 AB 是正三角形的两个顶点 再以 A 为圆心 AB 的长为半径做弧 与圆 P 有两个交点 其中一个为 B 点 另一个为 C 则三角形 ABC 为正三角形 2 尺规作图做正方形 先做两个圆 圆心分别是 O P 半径为 R 交点为 A B 连接 O P 连接 A B 可见 OP 与 AB 垂直 且交于 Q 以 Q 为圆心 QP 为半径作圆 与 AB 交于 M N 两点 依次连接 P M O N 则 PMON 为正方形 3 尺规作图做正五边形 作一个圆 圆心为 O 作圆的两条互相垂直的直径 AZ 和 XY 作 OY 的中点 M 以点 M 为圆心 MA 为半径作圆 交 OX 于点 N 以点 A 为圆心 AN 为半径 让学生回顾 以前学过的 知识 在原 有知识和学 习目标之间 搭建平台 通 过师生互动 生生互动的 教学活动过 程 体现教 师的主导作 用 形成学 生的体验性 认识 在圆上连续截取等弧 使弦 AB BC CD DE AN 则五边形 ABCDE 即为正五边形 4 尺规作图做正六边形 先画个圆 O 半径为 R 在圆上取任意一点 P 为圆心 半径为 R 做弧 与圆 O 相交与 A B 两点 连接 AP 延长交于 圆 P 于点 C 连接 OP 延长交于 圆 P 于点 D 连接 BP 延长交于 圆 P 于点 E 依次连接 AOBCDE 则 AOBCDE 为一个正六边形 教 师 提 问 那么正七边形我们也有办法尺规作图吗 正九边形哪 正三 四 五 六边形 研究后 研 究正七边形 符合人们的 思维规律 同时也向着 本节课的探 究方向靠近 3 3 观察特例提出猜想观察特例提出猜想 教学过程设计意图 师 生 共 同 观 察 特 例 1 仅用尺规作图不能做出正七边形的边长 这个问题可以转化为 能否做出一个的角 2 7 解 设 7 2 因为 3 2 4 故 2 7 即 cos3 cos4 据 三角恒等式 有 8 4 8 3 4 3 2 1 0 令 x 2 化简得 x 2 2x 1 0 3 2 当 x 2 时不符合题意 而方程 2x 1 0 没有有理解 3 2 回答 仅用尺规作图不能做出正七边形的边长 2 仅用尺规作图不能做出正九边形的边长 教师给学生几分钟时间 让学生自己探索 然后教师可以请 1 2 名 同学上黑板书写 从数学史的 角度出发 模 拟对正七边 形不能尺规 作图做出的 发现 使学 生主动投入 数学发现过 程 发展创造 性思维能力 从旧知识引 出新知识 符合从特殊 到一般的思 维过程 师 生 共 同 探 讨 正 十 七 边 形 尺 规 作 图 的 方 法 1 证明正十七边形可以尺规做出 先计算或作出 cos 360 17 设正 17 边形中心角为 a 则 17a 360 即 16a 360 a 故 sin16a sina 而 sin16a 2sin8acos8a 4sin4acos4acos8a 16sinacosacos2acos 4acos8a 因 sina 不等于 0 两边除之有 16cosacos2acos4acos8a 1 又由 2cosacos2a cosa cos3a 三角函数积化和差公式 等 注意到 cos15a cos2a cos12a cos5a 诱导公式 等 有 2 cosa cos2a cos8a 1 x cosa cos2a cos4a cos8a y cos3a cos5a cos6a cos7a 有 x y 1 2 又 xy cosa cos2a cos4a cos8a cos3a cos5a cos6a cos7a 1 2 cos2a cos4a cos4a cos6a cos14a cos15a 经计算知 xy 1 因而 x 1 17 4 y 1 17 4 其次再设 x1 cosa cos4a x2 cos2a cos8a y1 cos3a cos5a y2 cos6a cos7a 引导启发学 生利用已有 的知识解决 新的问题 学生在合作 交流 与人 分享的探讨 的氛围中倾 听 思考 表述 体验 成功的喜悦 学会合作 并在合作中 懂得欣赏他 人 提高分 析能力 故有 x1 x2 1 17 4 y1 y2 1 17 4 最后 由 cosa cos4a x1 cosacos4a y1 2 可求 cosa 之表达式 它是有理数的加减乘除平方根的组合 故正 17 边形可用尺规 作出 2 怎么在圆里画一个正十七边形 给一圆 O 作两垂直的半径 OA OB 在 OB 上作 C 点使 OC 1 4OB 在 OA 上作 D 点使 OCD 1 4 OCA 作 AO 延长线上 E 点使得 DCE 45 度 作 AE 中点 M 并以 M 为圆心作一圆过 A 点 此圆交 OB 于 F 点 再以 D 为圆心 作一圆 过 F 点 此圆交直线 OA 于 G4 和 G6 两点 过 G4 作 OA 垂直线交圆 O 于 P4 过 G6 作 OA 垂直线交圆 O 于 P6 则以圆 O 为基准圆 A 为正十七边形之第一顶点 P4 为第四顶点 P6 为第六顶点 以 1 2 弧 P4P6 为半径 即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点 3 简易做法 因为 360 17 21 10 利用 sinA 21 6 0 3600 可得近似角 用该方法作正十七边形总 误差为 17 4 68 在不要求十分精 确的情况下还是可行的 作法如下 1 1 先画一条直线 用圆规在上面截取 5 条相等线段 尽量越 短越好 再截取之前四条线段的和 接续之前画的线段 这样 如果 每条小线段算作 0 1 的话 那么整条线段就是 1 8 2 2 用圆规截取之前 5 条小线段的长 画 5 次 这样这条线段 就是 5 1 8 5 0 36 准备工作完毕 3 3 另作一条直线 作垂线 1 8 的线段作为对边 5 的线段作 为斜边 那个最小的锐角即是近似的 360 17 的角 以其顶点为圆心 重复作角直至闭合 画一大圆 连接其与 17 条射线的交点 即可 提 出 猜 想 互动 师生共同猜测 猜想 一个具有素数条边的正多边形可以尺规作图的充要条件是其边 数形如 N 1 的素数 2 2 4 4 证明猜想得出定理证明猜想得出定理 教学过程设计意图 师 生 总 结 由上面的例子可知 正三 四 五 六和十七边形是可以用尺规作图的 方法做出来的 在此基础上通过连续地二等分角 就可以用尺规作出具有 3 5 17 边的正多边形 2 2 2 2 正正 N N 边形可尺规作图的充要条件是 边形可尺规作图的充要条件是 N 可分解为 2 的幂和不同的费马素数 即形如 1 的素数 的乘积 即即 N N p1p2 pkp1p2 pk 22 2 教师总结 使方向更明 确 并培养 学生的分类 意识 交 流 研 讨 辨 析 有了这个定理 关于仅用尺规作图等分圆周或作正多边形的可能性问题 得到圆满的解决 比如 圆周等分数在 100 以内的仅 24 个 即 3 4 5 6 810 12 15 16 17 20 26 30 32 34 40 48 51 60 64 68 80 85 96 其 76 个 均不能 N 300 时 满足条件的有 37 个 3 4 5 6 810 12 15 16 17 20 26 30 32 34 40 48 51 60 64 68 80 85 96 102 120 128 136 160 170 192 204 240 255 256 257 272 N 300 时 如何作出以及判断 1 型的数是素数 仍然很困难 并未 22 能得到完全的解决 课 外 小 知 第 30 届国际数学奥林匹克 IMO 在高斯的故乡 布伦瑞克举行 此次 会议的会徽是一个围绕高斯肖像的正十七边形 因为对于 数学王子 高斯而言发现正十七边形的尺规作图是他一生成就的奠基石 空间由课堂 延伸到课外 课外数学名 人故事可以 识激发学生的 兴趣 活跃 课堂气氛 师 生 共 同 总 结 我们早已知道如何具体作图做出正三边形 正五边形 还知道了它们为 什么能用尺规作图 因为 3 和 5 都是费马素数 对于很久以来未找到办 法来作出的正七边形 乃至于正 11 边形 正 13 边形 现在我们能有 把握地说 它们不可能由尺规作图 因为 7 11 13 都不是费马素 数 对于正 257 边形 正 65 537 边形 即使我们不知道具体如何作 可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的 此外 为什么正四 边 形 正六边形可尺规作图呢 因为 4 22 因为 6 2 3 解题后适时 反思总结 加深理解和 认识 可提 高解题的水 平 5 5 运用定理解决问题运用定理解决问题 教学过程设计意图 定 理 明 晰 正正 N N 边形可尺规作图的充要条件是 边形可尺规作图的充要条件是 N 可分解为 2 的幂和不同的费马素数 即形如 1 的素数 的乘积 即即 N N p1p2 pkp1p2 pk 22 2 进一步让学 生理解定理 的形式及其 表示 解 决 情 境 中 的 实 例 一 例一 例一 题目 尺规作图作出正八边形题目 尺规作图作出正八边形 解 先画出一条直径 过圆点作直径的垂线与圆相交两点 这样两条 相互垂直的直径与圆有四个交点 把四个点两两相连 得到一个正方 形 再取正方形的四边依次过圆作垂线 作好后 就有八个点与圆相 交 连接这八个点 就是正八边形了 解 决 情 境 中 的 实 例 二 例二 例二 题目 判断正题目 判断正 257257 边形能否尺规做出 边形能否尺规做出 解题 我们都熟悉 256 所以 257 1 2828 即 257 是个费马素数 有定理可知 257 可以用尺规作图作出 让学生用定 理解题 感 觉简便多了 使学生感受 到这个定理 存在的意义 也激励他们 更加好学 相比例一 例二会有点 难度 但可 以让同学更 加理解和活 用定理 定 理 反 思 总 结 我们刚才已经用定理解决问题 我们发现要看一个正多边形能否尺规作图作出关键是看它的边数能否表示 成 N p1p2 pk 形式 2 通过总结与 思考 领悟 思想方法 把握规律的 本质 提高 分析和解决 问题的能力 课 堂 反 思 小 结 通过这节课的研讨 请大家谈谈自己的体会 1 在这节课中 学习了哪些知识 在这节课中 学习了哪些知识 解释为什