高二数学同步辅导教材(第15讲)

高二数学同步辅导教材高二数学同步辅导教材 第第 1515 讲讲 本章主要内容本章主要内容 8 4 双曲线的简单几何性质 一 一 本讲主要内容本讲主要内容 1 双曲线的第二定义 2 双曲线的几何性质及应用 3 直线与双曲线的位置关系 二 二 学习指导学习指导 1 双曲线的几何性质分为两大类 1 自身固有的几何性质 位置关系 中心是两焦点 两顶点的中点 焦点在实轴上 实轴与虚轴垂直 双曲线有两条 过中心的渐近线 准线与实轴垂直 数量关系 实轴长 虚轴长 焦距分别为 2a 2b 2c 两准线之间距离为 焦准距 c a 2 2 焦参数 c b p 2 离心率 e 1 e 越大 双曲线开口越阔 a c e 2 解析性质 与坐标系有关 列表比较如下 焦点在 x 轴上的双曲线焦点在 y 轴上的双曲线 方 程 a 0 b 0 1 b y a x 2 2 2 2 a 0 b 0 1 b x a y 2 2 2 2 顶 点 a 0 0 b 0 a b 0 焦 点F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 准 线x c a 2 y c a 2 渐近线y x a b y x b a 对称性关于 x 轴 y 轴轴对称 关于原点中心对称 范 围 x a y R y a x R 焦半径 P 在左支 PF1 a ex0 PF2 a ex0 P 在右支 PF1 ex0 a PF2 ex0 a P 在下支 PF1 a ey0 PF2 a ey0 P 在上支 PF1 ey0 a pF2 ey0 a 2 双曲线的第二定义与椭圆第二定义相同 见教材 P112 例 3 第一定义与第二定义的关系见 前面椭圆内容 3 直线与双曲线的位置关系研究完全类似于直线和椭圆 但由于双曲线多了渐近线 因此当直 线与双曲线有一个公共点时 其位置有两种情形 一是直线与双曲线相切 此时直线与双曲线方程 联立消元后所得关于 x 或 y 的二次方程的判别式 0 二是直线与双曲线相交 具体地说 也就 是直线与双曲线的渐近线平行 此时直线与双曲线方程联立消元之后所得关于 x 或 y 的方程为一 次方程 直线与双曲线相交时 基本处理途径有二 一是列方程组 二是用点差法 不管是哪一种途径 都要强化设而不求的思想 4 在 a 0 b 0 中 若 a b 则双曲线为等轴双曲线 其离心率 1 b y a x 2 2 2 2 2e 5 双曲线与称为共轭双曲线 1 b y a x 2 2 2 2 1 b y a x 2 2 2 2 5 它们的实轴顶点和虚轴顶点互换 它们的焦点共圆 它们的离心率 e1 e2满足 1 2 2 2 1 e 1 e 1 6 已知双曲线方程为 则其渐近线方程为 若已知渐近线方程为1 b y a x 2 2 2 2 0 b y a x 2 2 2 2 则对应的双曲线方程为 0 b y a x 0 b y a x 2 2 2 2 0 b y a x 2 2 2 2 三 三 典型例题典型例题 例 1 直线 ax by 3a 0 与双曲线只有一个公共点 求直线 的方程 1 4 y 9 x 22 解题思路分析 含字母的问题应分类讨论 本题在化简直线方程的过程中 需对 b 或 a 讨论 在直线方程与 双曲线方程联立消元后 需对方程的类型进行讨论 由 ax by 3a 0 得 by ax 3a 1 当 b 0 时 a 0 x 3 代入得 y 0 此时直线 x 3 与双曲线只有一个公1 4 y 9 x 22 共点 3 0 2 当 b 0 时 直线 方程为 3x b a y 由得 4b2 9a2 x2 54a2x 9 a2 4b2 0 1 4 y 9 x 3x b a y 22 当 4b2 9a2 0 时 方程可化为 x 3 y 0 此时直线 与双曲线 3 2 b a 3x 3 2 y 只有一个公共点 1 4 y 9 x 22 当 4b2 9a2 0 时 由已知得 0 但 542a4 36 4b2 9a2 4b2 9a2 36 1664 0 恒成立 此时直线 与双曲线必相交 综上所述 满足条件的直线 共有三条 x 3 0 2x 3y 6 0 注 含参数的直线 方程若化简为 a x 3 6y 0 则可知 必定点 3 0 因 3 0 正好为双 曲线实轴顶点 所以过此点的切线 x 3 及过此点与渐近线平行的直线 y 均与双曲线只有一个公共点 由此可见 重视几何图形特征分析会简化计算 3x 3 2 例 2 双曲线 H 的一条渐近线过点 P 2 1 两准线间的距离为 求 H 的标准方程 5 4 解题思路分析 用待定系数法 注意对焦点位置进行分类讨论 i 当焦点在 x 轴上时 设 H 则其渐近线为1 b y a x 2 2 2 2 0 b y a x 2 2 2 2 222 2 22 2 bac 5 4 c a 2 0 b 1 a 2 解之得 4 1 b 1a 2 2 H 方程为1 4 1 y x 2 2 ii 当焦点在 y 轴上时 同理可求得双曲线方程为 1 16 x 4 y 22 例 3 双曲线 H 的离心率为 e 左 右焦点为 F1 F2 能否在 H 的左支上找到点 P 使 PF1 是 P 到右准 1的距离 d1与 PF2 的等比中项 解题思路分析 本题称为开放性题型 需要首先对结论作出是否存在的判断 通常总是肯定结论成立 然后求 出满足条件的元素 如本题点 P 设双曲线 H a 0 b 0 P x0 y0 x0 a1 b y a x 2 2 2 2 则 PF1 a ex0 PF2 a ex0 e exa e PF d 01 1 代入 PF1 2 d1 PF2 得 exa e exa exa 0 02 0 整理得 2 0 ee e1 a x 点 P 在左支上 x0 a a 2 ee e1 a e2 2e 1 0 10 不能正确反映 与 C 的位置关系 法一 由得 1 k2 x2 4kx 10 0 6yx 2kxy 22 1 k2 0 方程可等价化为0 k1 10 x k1 k4 x 22 2 令 f x 22 2 k1 10 x k1 k4 x 则方程 f x 0 在区间 上有两个不同的根6 利用函数与方程的思想 得到对应的函数 f x 的示意图 0 6 f 6 k1 k2 a2 b 0 k1 40 k1 k4 2 2 2 2 解之得 1k 3 15 法二 对于法一中的不等式组 同学们可以发现运算性很大 因 此应进一步地思考 有没有更加简单的方法 观察双曲线的位置特征 可以发现双曲线在 x 0 6 之 间无曲线 所以若直线与双曲线的右支相交 则就是与双曲线在y 轴 右侧部分相交 反之亦然 法一中的方程 f x 0 在 有两个根f x 0 在 0 上有两个根 下用韦6 达定理或函数图象均可 0 k1 10 xx 0 k1 k4 xx 0 k1 40 k1 k4 2 21 2 21 2 2 2 3 15 k 3 15 0k 1k 1k或 1k 3 15 注 本题在讨论方程 1 k2 x2 4kx 10 0 的区间根时 为了避免讨论函数 f x 1 k2 x2 4kx 10 的开口方向 在 1 k2 0 时 两边同除以 1 k2 将二次项系数转化为常数项 因 1 k2 0 否 则直线与双曲线只有一解 例 5 如图 直线 交双曲线及其渐近线于 A B C D 求证 AB CD 1 b y a x 2 2 2 2 解题思路分析 若求 AB CD 长度 显然运算量较大 考虑将该结论等价转 化为易证其它结论 取 BC 中点 M 则 MB MC 若 AB CD 则 AB MB CD MC MA MD 即 M 为 AD 中点 逆之亦成立 所以 AB CD BC 与 AD 中点重合 下用韦达定理即可 若 AB 斜率不存在 由双曲线及渐近线对称性命题为真 设直线 y kx m k a b 由得 b2 a2k2 x2 2a2kmx a2m2 a2b2 0 1 b y a x mkxy 2 2 2 2 设 B x1 y1 C x2 y2 BC 中点 M x0 y0 则 x0 222 2 21 kab kma 2 xx 同理由得 AD 中点 N 的横坐标 0 b y a x mkxy 2 2 2 2 222 2 0 kab kma x xx 00 又 M N 在同一直线上 M 与 N 重合 MA MD MC MB AB CD 注 本题在求 B C 两点中点坐标时 用的是韦达定理 在求 AD 中点时 也用的是韦达定理 其技巧是将两条渐近线看成是一条二次曲线 也就是说 两条相交直线可看成0 b y a x 0 b y a x 是二次曲线的退化 即二次曲线为 当然若分别求 A D 坐标也可以 就是增加了0 b y a x b y a x 运算量 五 同步练习五 同步练习 一 选择题 1 双曲线与椭圆有相同的焦点 它的一条渐近线为 y x 则双曲线方程为1 64 y 16 x 22 A x2 y2 96 B y2 x2 160 C x2 y2 80 D y2 x2 24 6 焦点为 0 6 且与双曲线有相同渐近线的方程是1y 2 x 2 2 A B C D 1 24 y 12 x 22 1 24 x 12 y 22 1 12 x 24 y 22 1 12 y 24 x 22 3 已知双曲线的实轴的一个端点为 A1 虚轴的一个端点为 B1 且 A1B1 5 则双曲1 b y 16 x 2 22 线的方程是 A B C D 1 25 y 16 x 22 1 25 y 16 x 22 1 9 y 16 x 22 1 9 y 16 x 22 4 双曲线的焦点到准线的距离是1 7 y 9 x 22 A B C D 4 7 4 25 4 25 4 7 或 4 9 4 23 或 5 中心在原点 离心率为的圆锥曲线的焦点在 y 轴上 则它的渐近线方程为 3 5 A B C D x 4 5 y x 5 4 y x 3 4 y x 4 3 y 6 双曲线的渐近线为 则双曲线的离心率为x 4 3 y A B C D 3 5 2 5 3 15 2 5 或 4 5 3 5 或 7 准线方程为 y 1 离心率为的双曲线方程是2 A 2x2 2y2 1 B x2 y2 2 C y2 x2 2 D y2 x2 2 8 双曲线 4x2 9y2 36 上一点 P 到右焦点的距离为 3 则点 P 到左准线的距离为 A B C D 13 1327 327 27 13 9 13 9 双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分 则它的离心率为 A B C D 23 2 6 32 10 与椭圆共焦点 且两准线间的距离为的双曲线方程为1 25 y 16 x 22 3 10 A B C D 1 5 y 4 x 22 1 4 x 5 y 22 1 3 y 5 x 22 1 3 x 5 y 22 二 填空题 11 经过两点 P1 3 P2 7 的双曲线方程是 7276 12 经过点 M 10 两条渐近线方程是的双曲线的方程是 3 8 x 3 1 y 13 双曲线的右支上有 A B C 三个不同的点 若 A B C 关于右焦点的三条焦半1 b y a x 2 2 2 2 径成等差数列 则它们的横坐标 m n p 满足的关系式是 14 双曲线上有点 P F1 F2是双曲线的焦点 且 F1PF2 则 F1PF2的面积是1 9 y 16 x 22 3 15 双曲线的离心率为 则实数 m 的值是 1 1m y 1m x 22 2 3 三 解答题 16 双曲线 H 过点 P 1 1 的直线 与 H 只有一个公共点 求 的方程 1 4 y x 2 2 17 过点 P 1 1 作双曲线的弦 使点 P 恰为弦的中点 可能吗 为什么 1 2 y x 2 2 18 中心在原点 顶点 A1 A2在 x 轴上 离心率的双曲线 H 过点 P 6 6 动直线 过 3 21 e A1PA2的重心 G 且交 H 于 M N 两点 MN 中点为 Q 问 的斜率 k 为何值时 有 A2P A2Q 19 证明双曲线上任意点到两条渐近线的距离的乘积是一个定值 20 设等轴双曲线 x2 y2 a2 a 0 的两个顶点为 A 和 B P 为双曲线上不同于 A 和 B 的任意一点 自 P 向 x 轴作垂线 垂足为 Q 求证 PAQ PBQ 900 六 参考答案六 参考答案 一 选择题 1 D 设双曲线方程为 y2 x2 0 因椭圆焦点为 0 34 0 2 24 2 34 2 B 设双曲线方程为 0 焦点为 0 6 0 则 b 4k 焦点在 y 轴上 渐近线方程为 3 5 a c e 即 x b a y x 4 3 y 6 D 当时 当时 4 3 a b 4 5 a c e 4 3 b a 3 5 a c e 7 C 离心率为 双曲线为等轴双曲线 设双曲线方程为 x2 y2 0 由准线2 方程特征知 0 双曲线标准方程为 准线方程为 2 1 xy 22 2 y 8 A 双曲线方程为 a2 9 b2 4 c2 13 F1 0 F2 0 1 4 y 9 x 22 13 13 当点 P 在左支时 PF2 PF1 6 PF1 PF2 6 3 0 舍 点 P 在右支上 3 13 e PF1 PF2 6 PF1 6 PF2 9 设 P 到左准线的距离为 d 则 d e d PF 1 13 13 27 e PF 1 9 B c2 3 1 c a 2 2 3 a c 2 2 3 a c e 10 B 椭圆焦点为 0 3 3 10 c a 2 5c 2 3c 4b 5a 2 2 二 填空题 11 设双曲线方程为 Ax2 By2 1 AB1 时 a2 m 1 b2 m 1 c2 2m 代入得 m 9 当 01m 01m 4 9 a c e 2 2 2 m0 则 b m2112 H 1 m12 y m9 x 2 2 2 2 点 P H 1 m12 36 m9 36 22 m2 1