构造性辅助线四例

构造性辅助线四例 在几何证明中除常见的连接 延长 作平行 作垂直等辅助线之外 还有一种作辅助 线的思路 就是通过巧妙的几何变换构造出全等或是特殊图形 这种作辅助线方法我们通 常称为构造性辅助线 一 翻折构造一 翻折构造 例例 1 如图 1 在等腰直角 ABC 的斜边 AB 上 取两点 M N 使 MCN 45 记 AM m MN x BN n 则以 x m n 为边长的三角形的形状是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 随 x m n 变化而变化 分析分析 要判断以 x m n 为边长的三角形的形状 关键是要设法将这三条线段长集 中到同一个三角形中 如何用好已知条件中的 MCN 45 应同时考虑 ACM BCN 45 为将长为 x m n 的三条线段集中 可考虑将 ACM 沿 CM 翻折 如图 这样 可将 m x 两条线段集中 再连接 PN 若能证明 PN BN 则长为 x m n 的三条线段就 集中到了 PMN 中 由 ACM BCN 45 PCM PCN 45 BCN PCN 可证 BCN PCN PN BN n MPC A 45 NPC B 45 MPN MPC NPC 90 以 x m n 为边长的三角形的形状直角三角形 提示提示 当要证的结论需集中某些线段 且图形中出现了等量角的关系 角的平分线等 条件时 可考虑翻折构造 二 旋转构造二 旋转构造 例例 2 如图 2 已知 O 是等边三角形 ABC 内一点 AOB BOC AOC 的度 数之比为 6 5 4 在以 OA OB OC 为边的三角形中 求此三边所对的度数 分析 分析 解决此题的关键依然是要将 OA OB OC 三条线段集中到同一个三角形中 考虑到等边三角形的的特点 若将 AOB 绕 A 点旋转 60 到 AMC 因为 AOM 为等边三角形 MO AO 又 OB MC 则 OA OB OC 就集中到了 COM 中 OA OB OC 为三边所对的角即为求 COM 的三个内角 由 AOB BOC AOC 的度数之比为 6 5 4 设 AOB 6x BOC 5x AOC 4x 则有 6x 5x 4x 360 x 24 AMC AOB 6x 144 AOC 4x 96 由 AOM AMO 60 MOC AOC AOM 36 OMC AMC AMO 84 ACM 180 MOC OMC 60 以 OA OB OC 为边的三角形三边所对的度数分别为 60 36 84 提示提示 旋转构造一般多用于等边三角形 正方形 等腰直角三角形中 主要是应同时 考虑到旋转后的对应边能够重合 旋转角度能构成特殊角等两个条件 三 轴对称构造三 轴对称构造 例例 3 如图 3 AOB 45 角内有点 P PO 10 在两边上有点 Q R 均不同于 O 则 PQR 的周长的最小值是 分析分析 要确定 PQR 的周长最小 关键是如何确定 Q R 的位置 而只有利用轴对 称将折线段化为直线段才能求出最小值 已知条件中 AOB 45 如果分别作 P 关于 OA OB 的对称点 M N 连 OM ON 根据轴对称性质则有 MON 90 可构造出直角三角形 作 P 关于 OA OB 的对称点 M N 连 MN 与 OA OB 的交点 Q R 由轴对称性质 此时 PQR 的周长的最小 最小周长等于线段 MN 的长度 连 OM ON 由轴对称性质 OM OP ON 10 MON 90 MN 10 提示提示 一般地 求证几条折线段之和的问题通常考虑作轴对称 将折线段转化为直线 段 四 特殊构造四 特殊构造 例例 4 如图 4 在四边形 ABCD 中 ABC 30 ADC 60 AD CD 求证 BD2 AB2 BC2 分析分析 所求证的关系为平方形式 联想到构造直角三角形运用勾股定理求证 ABC 30 已 BC 为边向外作等边三角形 BCE 则可得到 ABE 90 BC BE 可 将 AB2 BC2转化为直角三角形 ABE 中 AB2 BE2 这样只需证明 AE BD 即可 由 ADC 60 AD CD 连接 AC 则