角平分线（二）教学设计

1 角平分线 二 角平分线 二 教学目标 1 证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论 2 角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用 教学重点 三角形三个内角的平分线的性质 综合运用角平分线的判定和性质定理 解决几何中的问题 难点 角平分线的性质定理和判定定理的综合应用 第一环节 展示思维过程 构建探究平台第一环节 展示思维过程 构建探究平台 已知 如图 设 ABC 的角平分线 BM CN 相交于点 P 证明 P 点在 BAC 的角平分线上 证明 过 P 点作 PD AB PF AC PE BC 其中 D E F 是垂足 BM 是 ABC 的角平分线 点 P 在 BM 上 PD PE 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 同理 PE PF PD PF 点 P 在 BAC 的平分线上 在一个角的内部 且到角两边距离相等的点 在这个角的 平分线上 ABC 的三条角平分线相交于点 P 于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论 定理 三角形的三条角平分线相交于一点 并且这一点到三条边的距离相等 定理 三角形的三条角平分线相交于一点 并且这一点到三条边的距离相等 下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线三条角平分线 锐角三角形交于三角形内一点 钝角三角形交于三角形外一点 三角形 直角三角形交于斜边的中点 交于三角形内一点 D F E M N C B A P 2 交点性质 到三角形三个顶点的距离 相等 到三角形三边的距离 相等 问题 2 如图 直线 l1 l2 l3表示三条相互交叉的公路 现要建一个货物中转站 要求它到三条 公路的距离相等 则可选择的地址有几处 你如何发现的 l3 l2 1 l C B A 四处 除了三角形 ABC 内部的一点外 在三角形外部还有三点 作 ACB ABC 外 角的平分线交于点 P1 如下图所示 我们利用角平分线的性质定理和判定定理 可知点 P1 在 CAB 的角平分线上 且到 l1 l2 l3的距离相等 同理还有 BAC BCA 的外角的角 平分线的交点 P3 因此满足条件共 4 个 分别是 P P1 P2 P3 P 1 P l3 l2 1 l C B A 第二环节 例题讲解第二环节 例题讲解 例 1 如图 在 ABC 中 AC BC C 90 AD 是 ABC 的角平分线 DE AB 垂足为 E 1 已知 CD 4 cm 求 AC 的长 2 求证 AB AC CD 1 解 AD 是 ABC 的角平分线 C 90 DE AB DE CD 4cm 角平分线上的点到这个角两边的距离 相等 AC BC B BAC 等边对等角 A D B E C 3 C 90 B 90 45 1 2 BDE 90 45 45 BE DE 等角对等边 在等腰直角三角形 BDE 中 BD 2DE2 4 2 cm 勾股定理 AC BC CD BD 4 4 2 cm 2 证明 由 1 的求解过程可知 Rt ACD Rt AED HL 定理 AC AE BE DE CD AB AE BE AC CD 例 2 已知 如图 P 是 AOB 平分线上的一点 PC OA PD OB 垂足分别为 C D 求证 1 OC OD 2 OP 是 CD 的垂直平分线 P D A E C O B 证明 1 P 是 AOB 角平分线上的一点 PC OA PD OB PC PD 角平分线上的点到角两边的距离相等 在 Rt OPC 和 Rt OPD 中 OP OP PC PD 4 Rt OPC Rt OPD HL 定理 OC OD 全等三角形对应边相等 2 又 OP 是 AOB 的角平分线 OP 是 CD 的垂直平分线 等腰三角形 三线合一 定理 第四环节 课时小结第四环节 课时小结 本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点