大学力学--振动

9 2 1 一刚体可绕水平轴摆动 已知刚体质量为 m 其重心 C 和轴 O 间的距离为 h 刚体对转动轴线的转动惯量为 I 问刚体围绕平衡位 置的微小摆动是否是简谐运动 如果是 求固有频率 不计一切阻 力 解解 刚体受力如图所示 规定逆时针为转动正方向 为与铅 OC 垂线 为平衡位置 的夹角 由对的转动定理 O IMmghsin 因 很小故 sin 2 2 2 2 2 0 d Imgh0 dt dmgh 0 dtI mgh 2 9 2 2 轻弹簧与物体的连接如图所示 物 体质量为 m 轻弹簧的劲度系数为和 1 k 2 k 支承面是理想光滑面 求系统振动的固有 频率 m 1 k 2 k 解解 以物体 m 为隔离体 水平方向受的弹性力以平衡位 12 k k 12 F F 置为原点建立坐标系 水平向右为 x 轴正方向 设 m 处于点Ox O 对两弹簧的伸长量为 0 即两个弹簧都处于原长状态 m 发生一小位 移 x 之后 弹簧的伸长量为 x 弹簧被压缩长也为 x 1 k 2 k 故物体受力为 线性恢复力 x1212 Fk xk x kk x m 相当于受到刚度系数为的单一弹簧的作用 12 k kk 由牛顿第二定律 2 12 2 2 12 2 d x m kk x dt d x m kk x 0 dt 2 12 0 kk m 9 2 3 一垂直悬挂的弹簧振子 振子质量为 m 弹簧的劲度系数为 若1 k 在振子和弹簧之间串联另一弹簧 使系统的频率减少一半 串联上1 k 的弹簧的劲度系数应是的多少倍 2 k 1 k 解解 未串时 平衡位置 1 mgk 2 1 2 2 1 2 d x mgk x m dt d x mk x 0 dt 1 0 k m 串联另一刚度系数为的弹簧 2 k 此时弹簧组的劲度系数为k 11 22 12 12 121212 1212 kmg kmg kkmg mg k kk k kk mg k kk k kk 121 00 12 k kk m kk m 前 已知 0 2 121 00 12 1 12 12 k kk m kk m k m 2 k k m kk 前 解得 21 1 kk 3 9 2 4 单摆周期的研究 1 单摆悬挂于以加速度 a 沿水平方向直 线行驶的车厢内 2 单摆悬挂于以加速度 a 上升的电梯内 3 单摆悬挂于以加速度 a g 下降的电梯内 求此三种情况下单摆的周 期 摆长为 解解 1 以车为参照系 摆锤为隔离体 受重力 摆线张力 W T 惯性力 fma 平衡位置处有 T mgf0 由此可得平衡位置时摆线铅直夹角 1 a tg g 由平衡位置发生小角位移 由牛顿第二定律 在切线方向的分量式 sin cos mgmama 即 sincoscossin coscossinsin gaa 角很小 故 于是得 sin cos1 sincos cossin gaa 利用 1 式 sincos ga 则 2 2 cossin d gaa dt 即 2 2 cossin 0 dga dt 因为 2222 sin cos ag gaga 所以 22 0 22 cossin 2 gaga T ga 2 以电梯为参照系 惯性力与重力沿铅垂方向 同于的分析摆线 为铅垂位置时为平衡态 2T ga 3 同 2 的分析得 2T ga 9 2 5 在通常温度下 固体内原子振动的频率数量级为 设想各 3 10 s 原子之间彼此以弹簧连结 一摩尔银的质量为 108g 且包含 个原子 现仅考虑一列原子 且假设只有一个原子以上述频 23 6 02 10 率振动 其它原子皆处于静止 计算一根弹簧的劲度系数 解解 由 9 2 2 知 12 0 kk m 这里 1 2 kkk 0 2k m 2 0 1 354 2 kmN m 9 2 6 一弹簧振子 弹簧的劲度系数为 物体质量为 20gk9 8N m 现将弹簧自平衡位置拉长并给物体一远离平衡位置的速度 2 2cm 其大小为 7 0m s 求该振子的运动学方程 SI 解解 以平衡位置为原点建立坐标系 O x 水平向右为正方向 弹簧 振子的运动方程为 0 cos 9 8 200 xAtkN m mg 故 0 3 9 8 7 200 10 rad s 时 0t 00 2 2 7 0 xxcmcm s 2 22 0 0 2 0 3 10 Axm 时 0t 0 00 cos sin xA A 0 34 rad 弹簧振子的运动方程 2 3 10cos 70 34 xt 9 2 7 质量为的物体悬挂在劲度系数为的弹簧 3 1 0 10 g 6 1 0 10 dyn cm 下面 1 求其振动的周期 2 在时 物体距平衡位置的位t0 移为 速度为 求其运动学方程 0 5cm 15cm s 解解 以平衡位置为原点 建立坐标系 O x 竖直向下为正方向 1 0 2 20 199 m Ts k 2 设运动方程为 0 0 0 00 cos 31 6 cos 0 sin xAt k m x A t A 时 即 0 0 0 cos0 726 sin0 688 x A A 故 0 759 43 49rad 所以运动学方程为 3 6 89 10cos 31 60 759 xt 9 2 8 1 一简谐振动的运动规律为 若计时起点提 x5cos 8t 4 前 0 5s 其运动学方程如何表示 欲使其初相为零 计时起点应提 前或推迟若干 2 一简谐振动的运动学方程为 若计时起点推 x8sin 3t 迟 1s 它的初相是多少 欲使其初相为零 应怎样调整计时起点 3 画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后时旋转矢t0 量的位置 解解 1 1 5cos 8 4 xt 计时起点提前 0 5 则 代入 1 式 运动方程为 0 5tt 5cos 8 0 5 5cos 84 44 xtt 设计时起点提前秒 可使初相为零 即 代入 1 式 0 t 0 ttt 得 0 5cos 88 5cos 8 4 xttt 有 00 80 432 tt 即 即提前秒时计时可使其初相为零 32 2 2 3 8sin 3 8cos 3 2 xtt 计时起点提前秒时代入 0 t 0 ttt 0 3 8cos 33 2 xtt 若计时起点推迟一秒 则 此时初相为 0 1t 0 33 33 22 t 若要 需 0 3 30 2 t 0 2 t 即推迟秒计时时 可使初相为零 2 3 见图 a b x 0t 0t 45 184 5cos 84 4 xt 5cos 8 4 xt a 0t 0t 3 8cos 3 2 xt 3 8cos 33 2 xt x 98 3 2 b 9 2 9 画出某简谐振动的位移 时间曲线 其运动规律为 SI 制 1 x2cos2 t 4 解解 制 1 2cos2 4 xt SI 令 则有 1 4 tt 为周期引的余弦曲线 2cos2xt 画出 曲线 再根据x t 的关系 将轴右移周期 1 4 t t ox 1 4 O1 2 1 4 1 4 0 2 t s x cm 9 2 10 半径为 R 的薄圆环静止于刀口 O 上 令其在自身平面内作微 小摆动 1 求其振动的周期 2 求与其振动周期相等的单摆的 长度 3 将圆环去掉而刀口支于剩余圆弧的中央 求其周期与 2 3 整圆环摆动周期之比 解解 1 该装置为物理摆 利用 9 2 1 对一般刚体得到的公式 为薄圆球质量 0 2 mghI Tm Imgh hR 根据平行轴定理 2222 00 2 2 22 22 IIImoomRmRmR mRR T mgRg 2 根据单摆公式 0 2T g 由 可得 0 TT 2R 3 该装置为物理摆 仍利用公式 2 I T m gh 由对称性可知 质心位于上 为剩余圆弧的质量 oo m hoc 根据平衡轴定理 222 0 CC Im RIm o cIm Rh 222 0 2 C IIm nm Rm Rhm hm Rh 故 22 22 1 m RhR T T m ghgT 即TT 可知不管圆环去掉多少 只要刀口高于剩余圆弧中央 其振动 周期均不变 9 2 11 1m 长的杆绕过其一端的水平轴作微小摆动而成为物理摆 另一线度极小的物体与杆的质量相等 固定于杆上离转轴为 h 的地方 用 表示未加小物体时杆子的周期 用表示加上小物体以后的周期 0 T T 1 求当和时的比值 2 是否存在某一 h 值 h50cm h100cm 0 T T 可令 若有可能 求出 h 值并解释为什么 h 取此值时周期不变 0 TT 解解 1 利用 9 2 1 得到的物理摆公式 c I T2 mgh 设为杆质量 为杆长 未加小物体时 0 m 加小物体后 2 00c 2 0 0 0 1 Im mm h 32 1 m 2 3 T22 3g m g 2 00 22 000c 0 mm h 1h 2 Imm h m2m h 32m42 22 00 0 1 mm h 3 T2 h 2m g 42 22 22 2 0 1 h T3g3h 3 h T22 h 2g 42 0 0 T7 100 h50 h0 935 2T8 T4 100 h100 h1 155 T3 即时 即时 2 由 即0 T 1 T 222 3h2 h 可得 12 2 h h0 3 讨论 由 此物理摆的等效单摆长度为 在处加 0 2 T2 3g 2 3 1 2 h 3 另一物体 相当于使等效单摆的摆锤质量增加而摆长不变 故周期 不变 即小物体置于转动轴上 对运动无影响 故周期不变 2 h0 9 2 12 天花板下以 0 9m 长的轻线悬挂一个质量为 0 9kg 的小球 最 初小球静止 后另有一质量为 0 1kg 的小球沿水平方向以 1 0m s 的 速度与它发生完全非弹性碰撞 求两小球碰撞后的运动学方程 解解 以小球为物体系 碰撞前后的过程始末 在过程中认为 12 m m 仍在原小球静止处 水平方向动量守恒 12 m m 2 m 2212 22 12 m mm m 0 1 m s mm xx x x 碰撞后成为一个单摆作简谐运动 设其运动方程为 0 Acos t 以碰后小球获得速度 0 1 m s 而时为计时起点 即 12 m m 0 0 t 0 0 0 1 t00 0 9 g9 8 3 3 9 x 时角速度 22 00 0 00 A 0 0337 由 cos0 0 0 sin1 A2 故运动方程在 很小的条件下 所以 0 0337cos 3 3t 2 x 用线量描述的运动方程为 x0 03cos 3 3t 2 9 2 13 求第四章习题 4 6 5 题中铅块落入框架后的运动学方程 解解 以物体为隔离体 根据自由落体的运动规律可知 2 m 落至盘上的速度为 2 m 0 2gh h0 30m x 在以框架 物体为物体系 完全非弹性碰撞前后为过程始 1 m 2 m 末 因外力 弹簧弹性力 重力 内力 故可用动量守恒定律求 近似解 201212 0 m mm mm0 2kg 11 2gh 22 xx xx 所以 设弹簧自由伸展的位置为 a 挂框架后平衡位置为 b 碰后平衡 位置为 O O 即为坐标系 O x 之原点 依题意 0 ab 0 10m 因 01012 km g k bo mm g 1 0 0 m g bo 0 10m k 故而 碰撞后系统为一数值悬挂的弹簧振子 舍弃运动方程为 0 Acos t x 以碰撞之后 的共同速度运动 而处于 b 处时为计时起 1 m 2 m x 点 即 000 1 t0 2gh 2 x 时 则 1 0 12100 2 22 0 000 2 0 m gkg9 8 7 0 rad s mm2m20 20 Ah0 20 m x 由 00 0 cos0 5 sin0 866 4 19 rad AA 运动方程为 0 2cos 7t4 19 x 可选择适当的计时起点使初项为零 则运动方程可表示为 0 2cos7tx 9 2 14 第四章习题 4 6 5 题中的框架若与一个由框架下方沿铅垂 方向飞来的小球发生完全弹性碰撞 碰后框架的运动学方程是怎样 的 已知小球 20g 碰框架前的速度为 10m s 解解 以框架 小球为物体系 以框架平衡位置为原点建立坐标 1 m 2 m 系 O x 竖直向下为正方向 以完全弹性碰撞前后为过程始末 设小球的碰撞前速度为 2x 小球框架碰后速度为 因外力内力 故可用动量守恒定律近 2x x 似求解 又因碰撞为完全弹性碰撞 碰撞前后总动能相等 22122 222 22122 122 mmm 111 mmm 222 m0 20kg m0 020kg 10 m s xxx xxx x 可以求得 20 m s 11 x 在一框架为隔离体 碰撞之后平衡位置不变 仍未 O 点 系统 为一竖直悬挂的弹簧振子 设其运动方程为 0 Acos t x 以碰撞后 框架获得速度 而处于 O 点时为计时起点 即 x 00 20 t00 11 x x 时 根据题意 弹簧刚性系数 0 0 mg k 0 1 故 0 10 kg9 8 9 9 rad s m0 1 2 2 00 0 2 00 A0 184 m x 由 00 0 cos0 sin0 AA x 知 1 57 rad 2 所以运动方程为 0 184cos 9 9t 2 x 9 2 15 质量为 m 的物体自倾角为的光滑斜面顶点处由静止而滑 下 滑行了 远后与一质量为的物体发生完全非弹性碰撞 与劲 m m 度系数为 k 的弹簧相连 碰撞前静止于斜面上 如图所示 问两物 m 体碰撞后作何种运动 并解出其运动方程 已知 mm5kg k490N m 30 0 2m 解解 a 为弹簧自由伸展位置 b 为加后 m 平衡位置 O 为发生完全非弹性碰 m m 撞后的平衡位置 以 O 为原点建立坐标 系 O x 如图 ab km gsinmgsin ao k m m gsin2mgsin mm x m m a b O 故 1 bomgsinab k 以物体 m 为隔离体 物体 m 由斜面顶滑下 做匀加速运动滑行 远后速度为 0 x 2 00 2g sin 2g sin xx 再以为物体系 以完全非弹性碰撞前后为过程始末 且近 m m 似认为碰撞过程中位置不变 m m 0 0 0 m mm m12g sin mm22 xx x xx 故 当发生完全非弹性碰撞之后 沿 ox 方向的动力学方程为 m m 2 2 2 2 d 2mk ao 2mgsin dt ao k2mgsin d 2mk dt x x x x 故 受线性恢复力 做简谐运动 m m 根据定义 0 k490 7 rad s 2m10 的运动方程为 m m 0 Acos t x 若以碰撞后弹簧压缩最甚时为计时起点 设此时坐标为则 0 x 00000 cost cos 0 0 xxxx 现在求 以弹簧自由伸长位置 a 为重力势能 弹性势能零点 0 x 在由碰撞后到达压缩最甚的过程中机械能守恒 有 2 2 2 00 222222 2 00 2 11 mm kab mm gabsin 22 1 k ao mm g ao sin 2 m g sinmg sinm g sin kmg sin kkk x xx xx 代数 运动方程 0 0 118 m x 0 0 118cos7tx 9 3 1 1851 年佛科做证明地球自转的实验 摆长 69m 下悬重球 28kg 设其振幅为 求其周期和振动的总能量 重球最低处势能5 0 为零 解解 根据单摆周期公式 g6 9 T22 3 1416 7 s 9 8 以悬线铅直时为势能零点 则振动的总能量即等于摆锤在最高 点时的势能 0 Emg 1 cos 72 J 9 3 2 弹簧下面悬挂质量为 50g 的物体 物体沿竖直方向的运动学 方程为 平衡位置为势能零点 单位时间 s 长度单位 x2sin10t cm 1 求弹簧的劲度系数 2 求最大动能 3 总能量 解解 1 根据弹簧振子 2 0 k m 232 0 km50 10105 0 N m 2 由 2sin10t2cos 10t 2 x 则 d 20sin 10t dt2 x 速度最大值 2 max 20 10 m s 故最大动能 23 kmaxmax 1 Em1 00 10 J 2 3 总能即等于最大动能 3 kmax EE1 00 10 J 或 23 1 EkA1 00 10 J 2 9 3 3 若单摆的振幅为 试证明悬线所受最大拉力等于0 0 mg 32cos 解解 设摆锤质量为 m 摆长为 为最大摆角 以摆锤为隔离体 0 受重力 张力W T 单摆的运动方程为 00 cos t 当摆角为 时 沿法向方向的动力学方程为 2 2 Tmgcosm Tmgcosm 单摆 很小 故 cos1 2 Tmgm 则 2 max max Tmgm 而 maxmax max00000 sin t 故 22 00 max00 Tmgmmgm 又 2 0 g 22 max00 g Tmgmmg 1 又由 机械能守恒 2 max0 1 mmg 1 cos 2 2 max 0 2 2 0 00 2 0 0 1 g 1 cos 2 1 g 1 cos 2 1g g 1 cos 2 22 0000 1 1 cos 22cos 2 故 max0 Tmg 32cos 9 4 1 在电子示波器中 由于互相垂直的电场的作用 使电子在荧 光屏上的位移为 xAcost y Acos t 求出时的轨迹方程并画图表示 0 32 解解 由 Acost Acos t x y 当 0 xy 时 当 3 时 Acost Acos t 3 x y 由垂直与水平方向简谐振动合成公式 得 22 2 2112 22 1212