2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文数 (2)

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 文 数 本卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 50 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的 1 已知集合 A x 2 x 4 B x x 1 x 3 0 则 A B A 1 3 B 1 4 C 2 3 D 2 4 2 若复数 z 满足 i 其中 i 为虚数单位 则 z 1 A 1 iB 1 i C 1 iD 1 i 3 设 a 0 60 6 b 0 61 5 c 1 50 6 则 a b c 的大小关系是 A a b c B a c b C b a c D b c0 则方程 x2 x m 0 有实根 的逆否命题是 A 若方程 x2 x m 0 有实根 则 m 0 B 若方程 x2 x m 0 有实根 则 m 0 C 若方程 x2 x m 0 没有实根 则 m 0 D 若方程 x2 x m 0 没有实根 则 m 0 6 为比较甲 乙两地某月 14 时的气温状况 随机选取该月中的 5 天 将这 5 天中 14 时的气 温数据 单位 制成如图所示的茎叶图 考虑以下结论 甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温 甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温 甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差 甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 A B C D 7 在区间 0 2 上随机地取一个数 x 则事件 1 lo 1 发生的概率为 1 2 1 2 A B C D 3 4 2 3 1 3 1 4 8 若函数 f x 是奇函数 则使 f x 3 成立的 x 的取值范围为 2 1 2 A 1 B 1 0 C 0 1 D 1 9 已知等腰直角三角形的直角边的长为 2 将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成 的曲面所围成的几何体的体积为 A B 2 2 3 4 2 3 C 2 D 4 22 10 设函数 f x 若 f 4 则 b 3 0 y 0 时 x y 2y x 的最小值为 2 2 15 过双曲线 C 1 a 0 b 0 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线 交 C 于点 P 若点 2 2 2 2 P 的横坐标为 2a 则 C 的离心率为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 16 本小题满分 12 分 某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况 数据如下表 单位 人 参加书法社团未参加书法社团 参加演讲社团 85 未参加演讲社团 230 从该班随机选 1 名同学 求该同学至少参加上述一个社团的概率 在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中 有 5 名男同学 A1 A2 A3 A4 A5 3 名女 同学 B1 B2 B3 现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人 求 A1被选中且 B1未被选中 的概率 17 本小题满分 12 分 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 cos B sin A B ac 2 求 sin A 3 3 6 9 3 和 c 的值 18 本小题满分 12 分 如图 三棱台 DEF ABC 中 AB 2DE G H 分别为 AC BC 的中点 求证 BD 平面 FGH 若 CF BC AB BC 求证 平面 BCD 平面 EGH 19 本小题满分 12 分 已知数列 an 是首项为正数的等差数列 数列的前 n 项和为 1 1 2 1 求数列 an 的通项公式 设 bn an 1 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 2 20 本小题满分 13 分 设函数 f x x a ln x g x 已知曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线与直线 2x y 0 2 平行 求 a 的值 是否存在自然数 k 使得方程 f x g x 在 k k 1 内存在唯一的根 如果存在 求出 k 如果不存在 请说明理由 设函数 m x min f x g x min p q 表示 p q 中的较小值 求 m x 的最大值 21 本小题满分 14 分 平面直角坐标系 xOy 中 已知椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 且点在椭圆 C 上 2 2 2 2 3 2 3 1 2 求椭圆 C 的方程 设椭圆 E 1 P 为椭圆 C 上任意一点 过点 P 的直线 y kx m 交椭圆 E 于 A B 两点 射 2 4 2 2 4 2 线 PO 交椭圆 E 于点 Q i 求的值 ii 求 ABQ 面积的最大值 答案 一 选择题 1 C 因为集合 A x 2 x 4 B x x 1 x 3 0 x 1 x 3 所以 A B x 2 x0 61 5 即 a b 又 0 0 60 61 所以 a0 则方程 x2 x m 0 有实根 的逆否命题是 若方程 x2 x m 0 没有实根 则 m 0 故选 D 6 B 由茎叶图中的数据通过计算求得 29 30 s甲 s乙 s乙 故 甲 乙 3 62 甲 乙 正确 选 B 7 A 由 1 lo 1 得 x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 解得 0 x 所以事件 1 lo 1 发生的概率为 故选 A 3 2 1 2 1 2 3 2 2 3 4 8 C 因为 f x 是奇函数 所以对定义域内的任意 x f x f x 恒成立 即 2 1 2 2 1 2 即 所以 1 a 2x a 2x 即 a 1 2x 1 0 对任意 x 恒成立 所以 a 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 所以 f x 1 2 1 2 1 2 2 1 其定义域为 0 0 在 0 上为减函数 在 0 上也为减函数 因为 f 1 3 f x 3 所以 f x f 1 所以 0 x 1 故选 C 9 B 依题意知 该几何体是以为底面半径 为高的两个同底圆锥组成的组合体 则其体 22 积为 2 2 故选 B 1 3 22 4 2 3 10 D f 3 b b 5 6 5 6 5 2 当 b 1 即 b 时 f 5 2 3 2 5 2 2 5 2 即 4 22 得到 b 2 即 b 2 5 2 5 2 1 2 当 b 时 f 3b b 4b 即 4b 4 得到 b 舍去 5 2 3 2 5 2 15 2 15 2 15 2 7 8 3 2 综上 b 故选 D 1 2 二 填空题 11 答案 13 解析 输入 x 1 2 成立 得到 x 20 y 0 2 2 1 22 当且仅当 即 x y 时等号成立 故所求最小值为 2 22 15 答案 2 3 解析 如图 F1 F2为双曲线 C 的左 右焦点 将点 P 的横坐标 2a 代入 1 中 得 y2 3b2 2 2 2 2 不妨令点 P 的坐标为 2a b 3 此时 2 3 2 得到 c 2 a 3 即双曲线 C 的离心率 e 2 3 三 解答题 16 解析 由调查数据可知 既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人 故至少参加上述一个社团的共有 45 30 15 人 所以从该班随机选 1 名同学 该同学至少参加上述一个社团的概率为 P 15 45 1 3 从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人 其一切可能的结果组成的基本事件有 A1 B1 A1 B2 A1 B3 A2 B1 A2 B2 A2 B3 A3 B1 A3 B2 A3 B3 A4 B1 A4 B2 A4 B3 A5 B1 A5 B2 A5 B3 共 15 个 根据题意 这些基本事件的出现是等可能的 事件 A1被选中且 B1未被选中 所包含的基本事件有 A1 B2 A1 B3 共 2 个 因此 A1被选中且 B1未被选中的概率为 P 2 15 评析 本题考查随机事件的概率及其计算 考查运算求解能力及应用意识 17 解析 在 ABC 中 由 cos B 得 sin B 3 3 6 3 因为 A B C 所以 sin C sin A B 6 9 因为 sin C sin B 所以 C B 可知 C 为锐角 所以 cos C 5 3 9 因此 sin A sin B C sin Bcos C cos Bsin C 6 3 5 3 9 3 3 6 9 2 2 3 由 可得 a 2c 2 2 3 6 9 3 又 ac 2 所以 c 1 3 评析 本题考查正弦定理的应用及三角形内的三角恒等变换 考查了运算求解能力 18 证明 证法一 连结 DG CD 设 CD GF M 连结 MH 在三棱台 DEF ABC 中 AB 2DE G 为 AC 的中点 可得 DF GC DF GC 所以四边形 DFCG 为平行四边形 则 M 为 CD 的中点 又 H 为 BC 的中点 所以 HM BD 又 HM 平面 FGH BD 平面 FGH 所以 BD 平面 FGH 证法二 在三棱台 DEF ABC 中 由 BC 2EF H 为 BC 的中点 可得 BH EF BH EF 所以四边形 HBEF 为平行四边形 可得 BE HF 在 ABC 中 G 为 AC 的中点 H 为 BC 的中点 所以 GH AB 又 GH HF H 所以平面 FGH 平面 ABED 因为 BD 平面 ABED 所以 BD 平面 FGH 连结 HE 因为 G H 分别为 AC BC 的中点 所以 GH AB 由 AB BC 得 GH BC 又 H 为 BC 的中点 所以 EF HC EF HC 因此四边形 EFCH 是平行四边形 所以 CF HE 又 CF BC 所以 HE BC 又 HE GH 平面 EGH HE GH H 所以 BC 平面 EGH 又 BC 平面 BCD 所以平面 BCD 平面 EGH 评析 本题考查空间线面 面面垂直的判定 考查推理论证能力及空间想象能力 19 解析 设数列 an 的公差为 d 令 n 1 得 1 1 2 1 3 所以 a1a2 3 令 n 2 得 1 1 2 1 2 3 2 5 所以 a2a3 15 解得 a1 1 d 2 所以 an 2n 1 由 知 bn 2n 22n 1 n 4n 所以 Tn 1 41 2 42 n 4n 所以 4Tn 1 42 2 43 n 4n 1 两式相减 得 3Tn 41 42 4n n 4n 1 n 4n 1 4 1 4 1 4 4n 1 1 3 3 4 3 所以 Tn 4n 1 3 1 9 4 9 4 3 1 4 1 9 20 解析 由题意知 曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线斜率为 2 所以 f 1 2 又 f x ln x 1 所以 a 1 k 1 时 方程 f x g x 在 1 2 内存在唯一的根 设 h x f x g x x 1 ln x 2 当 x 0 1 时 h x 1 1 0 4 2 4 2 所以存在 x0 1 2 使得 h x0 0 因为 h x ln x 1 1 2 所以当 x 1 2 时 h x 1 0 1 当 x 2 时 h x 0 所以当 x 1 时 h x 单调递增 所以 k 1 时 方程 f x g x 在 k k 1 内存在唯一的根 由 知方程 f x g x 在 1 2 内存在唯一的根 x0 且 x 0 x0 时 f x g x 所以 m x 1 0 0 2 0 当 x 0 x0 时 若 x 0 1 m x 0 若 x 1 x0 由 m x ln x 1 0 1 可知 00 m x 单调递增 x 2 时 m x 0 m x 单调递减 可知 m x m 2 且 m x0 0 可得 m2 4 16k2 则有 x1 x2 x1x2 8 1 4 2 4 2 16 1 4 2 所以 x1 x2 416 2 4 2 1 4 2 因为直线 y kx m 与 y 轴交点的坐