经济数学2(导数与微分)

第三章第三章 导数与微分导数与微分 这一章和下一章两章是关于一元函这一章和下一章两章是关于一元函 数的微分学部分 数的微分学部分 本章主要讨论导数的概念 性质 本章主要讨论导数的概念 性质 运算 对于函数的微分 在理论上和系运算 对于函数的微分 在理论上和系 统上都是更主要的概念 但却用的篇幅统上都是更主要的概念 但却用的篇幅 不多 似乎有点宣宾夺主 若注意到函不多 似乎有点宣宾夺主 若注意到函 数的可微性和可导性等价 函数微分性数的可微性和可导性等价 函数微分性 的许多内容都是基于导数的 的许多内容都是基于导数的 第一节第一节 导数的概念导数的概念 一 问题的提出一 问题的提出 历史上 建立微积分的两个重要人物 历史上 建立微积分的两个重要人物 英国的英国的 NewtonNewton 和德国的和德国的 LeibnizLeibniz 他们 他们 虽然地处两地没有来往 分别从不同的虽然地处两地没有来往 分别从不同的 物理和几何的角度提出了同一个问题 物理和几何的角度提出了同一个问题 就是函数的导数的概念 就是函数的导数的概念 1 1 英国的 英国的 NewtonNewton 从物理的角度提出质点从物理的角度提出质点 运动的瞬时速度 运动的瞬时速度 运动学中质点位移运动学中质点位移 S S 是时间是时间 的函数的函数 t tS 在匀速运动时 在匀速运动时 时段上的平均速度时段上的平均速度 tt0 而在变速运动时 显然速 而在变速运动时 显然速 0 0 tt tStS v 度度 也是时间也是时间 的函数的函数 那么 那么 时点时点 vt tv 0 t 的瞬时速度该如何刻划呢 的瞬时速度该如何刻划呢 NewtonNewton 用极用极 限的思想将其定义为 限的思想将其定义为 0 0 0 0tt tStS tv tt lim 2 2 德国的 德国的 LeibnizLeibniz 从几何的角度提出平面曲从几何的角度提出平面曲 线的切线的问题 线的切线的问题 平面几何曲线平面几何曲线在一点在一点处处 xfy 00 xfxP 切线该如何刻划 切线是条直线 在一点切线该如何刻划 切线是条直线 在一点 处只要知道其斜率就可确定 可见这个问处只要知道其斜率就可确定 可见这个问 题的关键是定义切线的斜率 题的关键是定义切线的斜率 在曲线上任意取一个动点在曲线上任意取一个动点 则 则 MM P P 两点确定了两点确定了 xfxM 原曲线的一条割线 它的斜率为 原曲线的一条割线 它的斜率为 当动点 当动点 MM 沿曲线向沿曲线向 P P 点逼近点逼近 0 0 xx xfxf k 的极限位置就是的极限位置就是 P P 点处的切线 它的斜率点处的切线 它的斜率 应为 应为 0 0 0 xx xfxf xx lim 二 导数的概念二 导数的概念 1 1 函数 函数在一点处导数的定义 在一点处导数的定义 xfy 定义定义 对于 对于在其定义域内一点在其定义域内一点 xfy 处给一自变量增量处给一自变量增量 对应得到对应得到 0 x 0 xxx 函数增量函数增量 若在若在下下 00 xfxxfy 0 x 与与之比的极限存在 则称此极限值之比的极限存在 则称此极限值y x 为为在在点导数值 称点导数值 称在在点可导 点可导 xf 0 x xf 0 x 记为 记为 limlim 0 00 00 xf x xfxxf x y xx 说明 说明 1 1 导数即是 导数即是 差商的极限差商的极限 2 2 极限值是一个确定的实数 极限值是一个确定的实数 点点 0 x 的导数值的表达有几种形式 的导数值的表达有几种形式 xf 或或 等 等 0 x y 0 x f 0 x dx df 0 x dx dy 2 2 区域上的导函数 区域上的导函数 定义定义 若函数 若函数在在 D D 上点是可导上点是可导 xf 为为的的导函数导函数 Dxxf xf 3 3 导数的几何意义 导数的几何意义 在在点导数值点导数值就是曲线在就是曲线在 xfy 0 x 0 x f 点的切线的斜率 点的切线的斜率 0 x 三 函数可导性与连续性之关系三 函数可导性与连续性之关系 1 1 定理定理 可导必连续 连续未必可导 可导必连续 连续未必可导 第二节第二节 求导运算求导运算 微分法思路微分法思路 先按定义寻求基本初等函数的求导公式 先按定义寻求基本初等函数的求导公式 再讨论函数运算的求导法则 综合即可解再讨论函数运算的求导法则 综合即可解 决任意初等函数的求导问题 决任意初等函数的求导问题 1 1 基本初等函数的导数公式 基本初等函数的导数公式 基本初等函数有幂 指 对 三角 反基本初等函数有幂 指 对 三角 反 三角五大类若干函数 求导公式为 三角五大类若干函数 求导公式为 1 1 1 nn nxx 补充 补充 x x 2 1 2 1 1 xx 2 2 显然显然 aaa xx ln xx ee 3 3 显然 显然 ax x a ln log 1 x x 1 ln 4 4 xxcos sin 5 5 xxsin cos 6 6 x xtgx 2 2 cos 1 sec 7 7 x xctgx 2 2 sin 1 csc 8 8 tgxxx sec sec 9 9 ctgxxx csc csc 1010 2 1 1 arcsin x x 2 1 1 arccos x x 1111 2 1 1 x arctgx 2 1 1 x arcctgx 二 求导运算关于函数运算的性质二 求导运算关于函数运算的性质 关于四则运算 关于四则运算 定理定理 若函数 若函数都可导 则都可导 则 xvxu 0 2 xv xv xvxuxvxu xv xu xvxuxvxuxvxu xvxuxvxu 说明 特别是乘法 说明 特别是乘法 nnnn uuuuuuuu 11211 反函数求导法则 反函数求导法则 定理定理 反函数的导数与原来函数的导数互 反函数的导数与原来函数的导数互 为倒数 即为倒数 即的反函数为的反函数为 则 则 xfy yx y xf 1 复合函数求导法则 复合函数求导法则 定理定理 复合函数 复合函数 则 则 xgfy 或或 xggfxy dx du du df dx dy 推广 如果一个函数有三次复合 推广 如果一个函数有三次复合 若若 则 则 xhvvguufy 复合函数复合函数的导数为的导数为 xhgfy xhvgufxy 所以常把它称为所以常把它称为链锁规则链锁规则 例例 3 2 arcsin ln x tgy 解 可看成解 可看成 tgwvvuuy ln 3 x w2 arcsin 则 则 22 1 11 3 2 22 lnsec x w v uxy x x x x x tg tgxy 2 2 2 21 22 2 2 23 ln arcsin arcsinsec arcsin ln 4 4 总结 总结 这一套体系我们称为这一套体系我们称为微分法微分法 由此体会 由此体会 到对于初等函数做求导运算有多方便 到对于初等函数做求导运算有多方便 它把求导这种求它把求导这种求 型极限的问题转换成了利型极限的问题转换成了利 0 0 用基本公式表结合运算法则的相对简单且用基本公式表结合运算法则的相对简单且 机械的演算问题 稍加练习后就能熟练 机械的演算问题 稍加练习后就能熟练 熟记基本导数表及运算法则是最基本的 熟记基本导数表及运算法则是最基本的 这里的难点是复合函数求导法则的灵活运这里的难点是复合函数求导法则的灵活运 用 用 5 5 初等函数的求导运算举例 初等函数的求导运算举例 例例 1 1 xxylnln 解 解 ln lnx x xx x y 1 1 2 1 2 1 2 1 例例 2 2 ln 2 x tgy 解 解 xxx xx ctgy sin cossin sec 1 22 2 1 222 1 2 例例 3 3 xxxyarcsin 2 1 解 解 222 2 2 1 2 1 1 1 1 xxx x xy 例例 4 4 x tg ey 1 解 解 21 1 cos x xey xtg 第三节第三节 高阶导数高阶导数 函数函数可导 则其导函数可导 则其导函数是一是一 xfy xgxy 个新的函数 若仍然可导 又可对其求导个新的函数 若仍然可导 又可对其求导 数 即是原来数 即是原来的二阶导数 以次类推可的二阶导数 以次类推可 xf 得得 n n 阶导数 在实际问题中 高阶导数是阶导数 在实际问题中 高阶导数是 很普遍 例如运动学中 位移是时间的函很普遍 例如运动学中 位移是时间的函 数数 其速度函数为其导数其速度函数为其导数 而 而 tS tStV 加速度就是位移的二阶导数加速度就是位移的二阶导数 tStVta 第四节第四节 微分微分 这一节的主要内容是 这一节的主要内容是 1 1 微分的概念 微分与导数的关系 微分的概念 微分与导数的关系 2 2 微分的运算 微分的运算 一 微分的概念一 微分的概念 定义定义 若函数 若函数在有定义点在有定义点近旁取近旁取 xfy 0 x 其函数增量能分解成关于 其函数增量能分解成关于的线性的线性0 x x 主部与其高阶无穷小之和 即主部与其高阶无穷小之和 即 A A 是与是与无关的常数 无关的常数 则 则 xoxAy x 称称在在点可微 称线性主部点可微 称线性主部为为 xfy 0 x xA 在在点的微分 记为点的微分 记为 xf 0 xxAdy 二 微分和导数的关系二 微分和导数的关系 定理定理 可微性等价于可导性 可微性等价于可导性 且 且 dxxfxdf 三 微分的运算三 微分的运算 由前面的分析 微分运算就是在求导由前面的分析 微分运算就是在求导 运算基础上的一种书写形式运算基础上的一种书写形式 dxxfxdf 所以初等函数的微分法可以平行地推广所以初等函数的微分法可以平行地推广 过来 对应基本导数表可得基本微分表过来 对应基本导数表可得基本微分表 以及相应的函数运算的微分法则 以及相应的函数运算的微分法则 但要强调说明的是 认识这些基本公但要强调说明的是 认识这些基本公 式时 从学习的角度 必须要求大家能式时 从学习的角度 必须要求大家能 逆向记忆 逆向记忆 要求大家还要熟练地由右至要求大家还要熟练地由右至 左记忆左记忆 例如 例如 答案 答案 xdxd2 2 x x x dx d xxtgxdxd 2 secsec 或或 x x dx darcsin 2 1 xarccos 在这里记忆上多花点力气 为今后在在这里记忆上多花点力气 为今后在 积分的运算时奠定好基础 积分的运算时奠定好基础 第四章第四章 导数的应用导数的应用 三 函数的动态研究三 函数的动态研究 内容 内容 1 1 函数的单调性和极值性 函数的单调性和极值性 2 2 函数的凹凸性和拐点 函数的凹凸性和拐点 3 3 函数的渐近线 函数的渐近线 一 函数的单调性一 函数的单调性 1 1 函数单调的判别 函数单调的判别 定理定理 若 若在在 D D 上可微 上可微 在在 D D 上递上递 xf xf 增 递减 的充要条件是 增 递减 的充要条件是 0 xf 0 xf 2 2 函数单调性的应用 函数单调性的应用 证明不等式证明不等式 例例 试证不等式 试证不等式 cos0 2 1 2 x x x 证明 设证明 设 则 则 2 1 2 x xxf cos xxxfsin 注意在注意在时 时 所以 所以 0 xxxsin 0 xf 即在即在时时严格增 又严格增 又0 x xf00 f 所以所以 证毕 证毕 cos0 2 1 2 x x x 二 函数的极值性二 函数的极值性 定义定义 若 若 都有 都有 0 xx 0 xfxf 则称则称为为的极大值点 的极大值点 为极大值 为极大值 0 x xf 0 xf 同理同理 若若 则 则为极小值为极小值 0 xfxf 0 x 点点 为极小值 为极小值 0 xf 说明 说明 f x1 f x2 x1 x2 函数的极值从几何上看是函数的极值从几何上看是 平面曲线沿平面曲线沿 Y Y 方向上下波动的峰方向上下波动的峰 极大值极大值 和和 谷谷 极小值极小值 见图 见图 极值概念是局部性概念 某极小值完极值概念是局部性概念 某极小值完 全全 可能大于另一个极大值 而极值点处正好可能大于另一个极大值 而极值点处正好 是曲线由增到减是曲线由增到减 或由减到增或由减到增 的分界点 所的分界点 所 以讨论函数的极值性有广泛的意义 函数以讨论函数的极值性有广泛的意义 函数 的极值实现在其的极值实现在其极值点极值点处 可见讨论处 可见讨论函数函数 极值性的主要矛盾集中在求极值点上极值性的主要矛盾集中在求极值点上 极值点的求取和判别极值点的求取和判别 1 1 驻点 驻点 或称稳定点或称稳定点 的定义的定义 定义定义 若 若在在上可导且上可导且 xf 0 x 0 0 xf 则称则称为为的驻点 的驻点 0 x xf 但注意 驻点和极值点并不等价 驻点但注意 驻点和极值点并不等价 驻点 可以不是极值点 可以不是极值点 例例 在在点处 点处 3 xy 0 x030 0 x xy 所以所以是驻点 但由立方抛物线上可见是驻点 但由立方抛物线上可见0 x 点不是极值点 点不是极值点 0 x 另外 极值点也可以不是驻点 另外 极值点也可以不是驻点 例例 在在点处不可微是尖角点根本点处不可微是尖角点根本 xy 0 x 谈不上求导 但它确是函数的极小值点 谈不上求导 但它确是函数的极小值点 4 4 极值点的判别 极值点的判别 1 1 必要条件 无之必不然 有之未必然 必要条件 无之必不然 有之未必然 充分条件 有之必然 无之未必不然 充分条件 有之必然 无之未必不然 充要条件 有之必然 无之必不然 充要条件 有之必然 无之必不然 2 2 极值点的求取 极值点的求取 极值点的必要条件是 极值点的必要条件是 极值点极值点 驻点驻点 不可微点不可微点 即若即若是是的极值点且的极值点且处函数可微 处函数可微 0 x xf 0 x 它必是驻点 而极值点也可在不可微的尖它必是驻点 而极值点也可在不可微的尖 角处实现 另一方面 驻点可能不是极值角处实现 另一方面 驻点可能不是极值 点 不可微点也可能不是尖角点 点 不可微点也可能不是尖角点 必要条件是大大缩小了寻找的范围 必要条件是大大缩小了寻找的范围 以以 下我们仅在这个小范围上用充分条件去验下我们仅在这个小范围上用充分条件去验 证了 证了 3 3 定理定理 若 若在在上可微 动点上可微 动点由左由左 xf 0 x x 到右过到右过点时 点时 的符号右正到负 的符号右正到负 0 x x f 则则为极大值点 若为极大值点 若的符号由负到的符号由负到 0 x x f 正 则正 则为极小值点 为极小值点 0 x 定理定理 若若在在上二阶可微上二阶可微 xf 0 x 0 0 xf 当当时时 为极大值点 为极大值点 0 0 xf 0 x 当当时时 为极小值点 为极小值点 0 0 xf 0 x 四 函数的凹凸性和拐点四 函数的凹凸性和拐点 曲线的变化不仅仅是增减 曲线的变化不仅仅是增减 更细致一点 到底动点运动轨更细致一点 到底动点运动轨 迹是凸的增减呢还是凹的增减 迹是凸的增减呢还是凹的增减 1 1 曲线凹凸的判别 曲线凹凸的判别 若曲线若曲线在在上每点的二阶导数上每点的二阶导数 xfy ba 都存在 则都存在 则为凸 为凸 为凹 为凹 0 xf0 xf 2 2 拐点的概念 拐点的概念 定义定义 曲线凹凸的分界点被称为拐点 曲线凹凸的分界点被称为拐点 拐点的判别拐点的判别 若若点处点处的二阶导存在的二阶导存在 0 x xf0 0 xf 3 3 举例 举例 例例 1 1 xeexf xx cos 2 xy xy 2 可验知在可验知在点处 点处 0 x 0400000 4 ffff 所以所以点处为点处为的极小值点 的极小值点 0 x xf 例例 2 2 可验知在可验知在处 处 5 xxf 0 x 0500000 54 xfffff 所以所以为为的拐点 的拐点 00 xf 六 函数的作图六 函数的作图 函数作图的一般步骤 对于函数函数作图的一般步骤 对于函数 xfy 1 1 由函数解析式本身要讨论 由函数解析式本身要讨论 1 1 确定定义域 确定定义域 D D 2 2 若定义域 若定义域 D D 关于原点对称 有必要讨关于原点对称 有必要讨 论奇偶性 奇 偶 函数的对称性可论奇偶性 奇 偶 函数的对称性可 以简化作图讨论过程 以简化作图讨论过程 2 2 由函数的导函数 由函数的导函数 x y 可讨论函数的单调区间和极值 可讨论函数的单调区间和极值 3 3 由其二阶导函数 由其二阶导函数 x y 可讨论函数的