高一数学《23平面向量基本定理及坐标表示（一）》

平面向量基本定理 平面向量的正交分解和坐标表示及运算平面向量基本定理 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的 教学目的 1 了解平面向量基本定理 理解平面向量的坐标的概念 2 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示 初步掌握应用向量解决实际 问题的重要思想方法 3 能够在具体问题中适当地选取基底 使其他向量都能够用基底来表达 教学重点 教学重点 平面向量基本定理 教学难点 教学难点 平面向量基本定理的理解与应用 向量的坐标表示的理解及运算的准确性 教学过程教学过程 一 复习引入 复习引入 1 1 实数与向量的积 实数 与向量的积是一个向量 记作 a a 1 a a 2 0 时 与方向相同 0 时 与方向相反 0 时 a a a a a 0 2 2 运算律 结合律 分配律 a a a a a a b a b 3 向量共线定理 向量与非零向量共线则 有且只有一个非零实数 使 b a b a 二 讲解新课 二 讲解新课 1 思考 1 给定平面内两个向量 请你作出向量 3 2 1 e 2 e 1 e 2 e 1 e 2 2 e 2 同一平面内的任一向量是否都可以用形如 1 2的向量表示 1 e 2 e 平面向量基本定理 如果 是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任 1 e 2 e 一向量 有且只有一对实数 1 2使 1 2 a a 1 e 2 e 2 探究 1 我们把不共线向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2 基底不惟一 关键是不共线 3 由定理可将任一向量a a在给出基底 的条件下进行分解 4 基底给定时 分解形式惟一 1 2是被 a 1 e 唯一确定的数量 2 e 3 3 讲解范例 例 讲解范例 例 1 1 已知向量 求作向量 2 5 3 1 e 2 e 1 e O A B P 2 e 例例 2 2 本题实质是本题实质是 4 练习 练习 1 1 设 e1 e2是同一平面内的两个向量 则有 D A e e1 e e2一定平行 B e e1 e e2的模相等 C 同一平面内的任一向量a a都有a a e e1 e e2 R R D 若e e1 1 e e2不共线 则同一平面内的任一向量a a都有a a e e1 ue e2 u R R 2 已知向量a a e e1 2e e2 b b 2e e1 e e2 其中e e1 e e2不共线 则a a b b与c c 6e e1 2e e2的关系 A 不共线 B 共线 C 相等 D 无法确定 已知 1 0 2 0 e e1 e e2是一组基底 且a a 1e e1 2e e2 则a a与e e1不共线 a与e e2不共线 填共线或不共线 5 5 向量的夹角 向量的夹角 已知两个非零向量 作 则 AOB 叫向量 的a b aAO bBO a b 夹角 当 0 同向 当 180 反向 当 90 与垂直 记作 a b a b a b a b 6 6 平面向量的坐标表示 平面向量的坐标表示 1 1 正交分解 把向量分解为两个互相垂直的向量 正交分解 把向量分解为两个互相垂直的向量 2 2 思考 在平面直角坐标系中 每一个点都可以用一对有序实数表示 平面内的每一个向量 思考 在平面直角坐标系中 每一个点都可以用一对有序实数表示 平面内的每一个向量 如何表示呢 如何表示呢 如图 在直角坐标系内 我们分别取与轴 轴方向相同的两个单位向量 作为基底 任作xyij 一个向量 由平面向量基本定理知 有且只有一对实数 使得 axyyjxia 1 我们把叫做向量的 直角 坐标 记作 yxa yxa 2 其中叫做在轴上的坐标 叫做在轴上的坐标 式叫做向量的坐标表示向量的坐标表示 与与相等的相等的xaxyay 2 a 向量的坐标也为向量的坐标也为 特别地 yx 0 1 i 1 0 j 0 0 0 如图 在直角坐标平面内 以原点 O 为起点作 则点的位置由唯一确定 aOA Aa R OPOBOAtABtAP OBOA 表示 用 且不共线 如图 1 nmOBnOAmOPABP BAO 且上 则在直线若点 三点不共线 已知 设 则向量的坐标就是点的坐标 反过来 点的坐标也就是向yjxiOA OA yxAA yx 量的坐标 因此 在平面直角坐标系内 每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示 OA 7 7 讲解范例 讲解范