概率论基本公式

1 概率论与数理统计基本公式概率论与数理统计基本公式 第一部分 概率论基本公式 1 2 对偶率 ABABAABABABA BABABABA 3 概率性率 BPAPBPAPBAP ABABPAPBAP 时有 特别 212121 APAPAAPAA 为不相容事件 则 有限可加 ABPBPAPBAP 对任意两个事件有 4 古典概型 2 2 2 n2 n 22 n2 n2 22 n C n APC Annn 则自成一双为 解 分堆法 每堆自成一双鞋的概率只 事件堆 每堆为只 分为双鞋总共例 5 条件概率 称为无条件概率 的条件概率 条件下 事件称为在事件 BPBA AP ABP ABP B P B P AP AB A P A P BP AB 乘法公式 ii ABPAPBP i 全概率公式 jj j iii ABPAP ABPAP BP BAP BAP i 贝叶斯公式 例 有三个罐子 1 号装有 2 红 1 黑共 3 个球 2 号装有 3 红 1 黑 4 个球 3 号装有 2 红 2 黑 4 个球 某人随机从其中一罐 再从该罐中任取一个球 1 求取得红球的概率 2 如果取得是红球 那么是从第一个罐中取出的概率为多少 348 0 2 639 0 3 1 2 1 4 3 3 2 3 2 1i 1 11 1 321 321ii 321 AP BPBAP ABP APBPBPBP BAPBAPBAPABPAPBP BBBAiB i i 由贝叶斯公式 依题意 有 由全概率公式 是一个完备事件 由题知取得是红球 号罐球取自设解 6 独立事件 1 P AB P A P B 则称 A B 独立 2 伯努利概型 如果随机试验只有两种可能结果 事件 A 发生或事件 A 不发生 则称为伯努利试验 即 P A p 0 p 1 p q 1 qpAP 1 2 相同条件独立重复 n 次 称之为 n 重伯努利试验 简称伯努利概型 伯努利定理 k 0 1 2 knkk n ppCpnkb 1 事件 A 首次发生概率为 1 1 k pp 例 设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0 3 当 A 发生不少于 3 次时 指示灯发出信 号 1 进行 5 次重复独立试验 求指示灯发出信号的概率 2 进行了 7 次重复独立试 验 求指示灯发出信号的概率 353 0 1 1 1 7 2 163 0 1 51 2 0 7 7 7 3 7 5 5 3 5 CPppCppCCP C BPppCBP B knk i kkk i k kk i k 代入数据 得 号 则由题意有 次独立试验发出指示信 设 代入数据得 号 则由题意有 次独立试验发出指示信 设解 第二章 7 常用离散型分布 1 两点分布 若一个随机变量 X 只有两个可能的取值 且其分布为 0 p0 都是常数 2 2 分布函数为 当称为标准 2 1 2 2 2 x t xdtexF 时 1 0 正态分布 概率密度函数为 分布函数为 2 1 2 2 x ex 2 1 2 2 dtex x t 定理 设 1 0 2 N X YNX 则 其期望 E X D X 2 4 9 随机变量函数的分布 1 离散型随机变量函数分布一般方法 先根据自变量 X 的所有 可能取值确定因变量 Y 的所有可能值 然后通过 Y 的每一个可能的取值 i 1 2 来 i y 确定 Y 的概率分布 2 连续型随机变量函数分布方法 设已知 X 的分布函数或者概率密度 xFX xfX 则随机变量 Y g X 的分布函数 其中 YY CXPyXgPyYPyF 进而可通过 Y 的分 yxgxCy dxxfCXPyF y C XYY 布函数 求出 Y 的密度函数 yFY 例 设随机变量 X 的密度函数为 求随机变量 其他 0 11 1 xx xfX 的分布函数和密度函数1 2 XY 其他 所以 时 当 时 得 当时那么当 得 函数 则由的分布函数和概率密度分别是随机变量和解 设 0 21 1 1 1 2 1 21 1 12 1 0 10 1 0 1 2y 1 12 1 1 1 11 1 21 0 1 1 21 11 1 11 1 2 1 0 1 1 0 1 2 2 y y yFxf y yyy y yFdxdxx dxyXPyYPyFyydxx dxx dxxyxyPyXPyYPy yPyXPyYPyFyy xYyfyF YX Y Y y y yy Y Y YY 10 设随机变量 X N Y 也服从正态分布 即 2 baX 2 abaNbaXY 5 11 联合概率分布 1 离散型联合分布 1 i j ij P XY 1 y j yP X i x 1 x i x p 11j p1 1 i P ij P j j P1 j ij P P Y j y i i P1 i ij P 1 2 连续型随机变量函数的分布 例 设随机变量 X Y 的密度函数 1 02 02 8 0 xyxy f x y 其他 求 D X Y cov f xf y E XE YX Y XY 解 当 0 x 2 时由 得 当dyxfX yx 8 1 x 0 xfX4 11 8xx 2 x2 时 由 所以 000 0 2 dydyxfX 20 4 11 8x 0 2 xx X xf 其他 同理可求得 2y0 4 11 8y 0 2 y Y yf 其他 E X 由对称性同理可求得 E Y 7 6 7 6dxx 2 0 X xf 因为 E XY 4 3 y dxdy1 8xy x xy 2 0 2 0 2 0 2 0 dxdyyxf 所以 cov X Y E XY E X E Y 4 3 7 6 1 36 2 36 11 6 7 y 2 2 0 2 2 0 22 dxdyxfxXEXEXD 同理得 D Y 所以 36 11 XY 11 1 cov YDXD YX 6 D X Y D X D Y 2cov X Y 9 5 12 条件分布 若 的条件分布函数 发生条件下 为在称 X AAxF AP AxXP AxXPAxF 13 随机变量的独立性 由条件分布设 A Y y 且 P Y y 0 则 设随机变量 X Y 的联合分布概率为 yF yxF yYP yYxXP yYxF Y F x y 边缘分布概率为 若对于任意 x y 有 yFxF YX 即 则称 X 和 Y 独立 yYPxXPyYxXP yFxFyxF YX 14 连续型随机变量的条件密度函数 设二维连续型随机变量 X Y 的概率密度为 边缘概率密度函数为 则对于一切使 0 的 x 定义在 X x 的 yxf yfxf YX xfX 条件下 Y 的条件密度函数为 同理得到定义在 Y y 条件下 X 的条 xf yxf xyf X XY 件概率密度函数为 若 几乎处处成立 则 yf yxf yxf Y YX yxf yfxf YX 称 X Y 相互独立 例 设二维随机变量 X Y 的概率密度函数为 求 1 确定常数 c 2 X Y 的边缘概率密 其它 0 0 0 2 yxce yxf yx 度函数 3 联合分布函数 F x y 4 P Y X 5 条件概率密度函数 6 P X 2 Y0 D Y 0 则当且仅当存在常数 a b 使 0 a 1 0 101 1 XYXYXY aabaXYP 时 当时 而且时 附注 独立 与从而不能推注 可能有其他函数关系 之间不是线性关系 但与时 只能说明 XY XY XY 0 设 e E Y 称为用来近似 Y 的均方差 则 设 D X 0 D Y 0 有 2 baX baX 使均方误差达到最小 cov 000 XEaYEb XD YX a 18 切比雪夫不等式 设随机变量 X 的期望 E X 方差 D X 则对于给定任意正数 2 有 1 2 2 2 2 XPXP 或者为 9 19 大数定理 设随机变量 X X X 相互独立 且具有相同的期望和方差 12n i 1 2 3 则对于任意 0 有 2 ii XDXE n i in X n Y 1 1 记 为概率 发生的次数 重伯努利中为其中推论 pA nnp n n PYP A A n n n 1 1 limlim 20 中心极限定理 1 设随机变量 X X X 相互独立 服从同一分布 且 12n i 1 2 3 则 2 ii XDXE 2 1 2 1 2 lim dtex n nX P t x n i i n 2 棣莫佛 拉普拉斯定理 设随机变量 X X X 相互独立 并且都服从参数为 12n p 的两点分布 则对任意实数 x 有 xdtex pnp npX P t x n i i n 2 1 1 2 1 2 lim 第二部分 数理统计 分布 的服从自由度为 的样本 称统计量是取自总体分布 设 nDnEnXXX N n 2 1 0 X X X2 22222 2 2 1 2 n21 2 10 24 点估计常用方法 1 矩估计法 先求 E X 得到一个 E X 与未知参数的式子 用 E X 表示未知参数 再把 E X 用代替即可 X 例 已知总体 X 的概率分布为求参数的矩估计 2 1 0 1 2 2 kCkXP kkk 的矩估计为 得到代替用样本均值 解 2 1 2 12 2 12 12x1x0 22 1 X XEX XE kXPxXE n i i 2 最大似然估计 一般方法 a 写出最大似然函数 L 21 n xxx 或c 判断并求出最大值点 在最大值点0 b d dL 令 求出驻点 0 ln d Ld 得表达式中 用样本均值代入即得到参数的最大释然估计值 估计量 的矩估计量和最大似然为一个样本 试求参数 设 是未知参数 其中 其它 的概率密度为例 设总体 n XXX xx xf 2 1 1 0 1 0 1 X n i