函数的基本性质(复习).ppt

函数的基本性质 复习 对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 则称f x 这个区间上是增函数 定义 区间D称为f x 的一个递增区间 对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 则称f x 这个区间上是减函数 区间D称为f x 的一个递减区间 单调性的概念 2 证明函数单调性的基本步骤 1 取值 即设x1 x2是该区间内的任意两个值 且x1 x2 2 作差变形 即作差f x1 f x2 并通过因式分解 配方 有理化等方法 向有利于判断差的符号的方向变形 3 定号 确定差f x1 f x2 的符号 4 下结论 根据符号作出结论 即 取值 作差变形 定号 下结论 这四个步骤 3 函数奇偶性的定义 奇函数 设函数y f x 的定义域为D 如果对于D内的任意一个x 都有 则这函数叫做奇函数 偶函数 设函数y g x 的定义域为D 如果对于D内的任意一个x 都有 则个函数叫做偶函数 注意 1 奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称 2 奇函数的图象关于原点成中心对称图形 偶函数的图象关于y轴成轴对称图形 4 根据定义判断函数奇偶性的步骤 1 求解函数的定义域 并判断是否关于原点对称 2 求f x 3 判断f x 与f x f x 之间的关系 若不具有奇偶性举反例 4 给出结论 二 小题小练 1 设偶函数f x 为 0 上的减函数 则f 2 f f 3 的大小顺序是 记忆技巧 偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反 奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同 分析 二次函数的单调性问题需考虑对称轴和开口方向 2 已知二次函数为偶函数 则f x 在 5 2 上是单调函数 解析 f x x a 的图象是以 a 0 为折点的折线 由图知a 2 3 函数f x x a 在 2 上单调递减 则a的取值范围是 3 3 6 已知函数 常数a b R 且f 4 0 则f 4 分析 本题一个条件 a b二个待定系数 无法求出解析式只有利用函数的性质来处理 5 已知f x 是R上的奇函数 且f 5 5 则f 5 思维启迪 本题着重在于考查函数的奇偶性的性质与定义 7已知为奇函数 求a b 题型分析 题型一 定义证明单调性 例1 证明函数 证 取值 作差 变形 定号 下结论 例2 已知函数是偶函数 且在区间上是减函数 证明 函数在区间上是增函数 证明 在内任取 且则 定义证明单调性 练习 设 是上的偶函数 1 求实数的值 2 证明在是增函数 解 1 是R上的偶函数 恒成立 练习设 是上的偶函数 1 求实数的值 2 证明在是增函数 定义证明单调性 2 证明 在内任取 且则 例3 已知函数的定义域为 且满足下列条件 是奇函数 在定义域上单调递减 求实数a的取值范围 不能忽视定义域 题型二 利用函数的奇偶性求参数的取值范围 本题考查函数单调性 奇偶性的综合应用 解决本题的关键是利用f x 为奇函数将式子转化为 思维引导 由题意可得 本题考查函数单调性 奇偶性的综合应用 解决本题的关键是利用f x 为奇函数将式子转化为 思维引导 巩固练习 思维引导 变式训练1 变式训练2 思维引导 1或 1 解抽象不等式的基本思路 利用函数的单调性 去掉函数符号 将抽象不等式转化为具体不等式 其步骤为 1 为了利用单调性去函数符号 首先将不等式化为 或 的形式 2 依据函数的定义域及函数的单调性写出等价的具体不等式组 3 写出解集 规律总结 1已知函数x 1 1 当a 时 求f x 的最小值 2 若对任意x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 思维启迪第 1 问可先证明函数f x 在 1 上的单调性 然后利用函数的单调性求解 对于第 2 问可采用转化为求函数f x 在 1 上的最小值大于0的问题来解决 还可以使用分离参数法 题型一函数单调性与最值 思维启迪 求二次函数的最值需要有三看 开口方向 对称轴 区间当三者有一个不确定时 需讨论 题型二抽象函数的单调性与奇偶性 将函数不等式中抽象的函数符号 f 运用单调性 去掉 为此需将右边常数2看成某个变量的函数值 思维启迪 函数f x 对任意的a b R 都有f a b f a f b 并且当x 0时 f x 0 1 求证 f x 是R上的增函数 2 若f 4 1 解不等式 思维启迪问题 1 是抽象函数单调性的证明 所以要用单调性的定义 问题 2 将函数不等式中抽象的函数符号 f 运用单调性 去掉 为此需将右边常数3看成某个变量的函数值 变式训练 巩固练习 四 课后练习 1 设函数f x x R 为奇函数 f 1 0 5 f x 2 f x f 2 则f 5 等于 2 判断函数f x x x 2 的奇偶性 并利用其对称性画出它的图像 3 已知奇函数f x 在区间 a b 0 a b 上的最大值是3 则函数f x 在区间 b a 上最值 该值是 4 已知 1 若a 2 试证f x 在 2 内单调递增 2 若a 0且f x 在 1 内单调递减 求a的取值范围 0 a 1 课堂小结 1奇偶性定义 对于函数f x 在它的定义域内 若有f x f x 则f x 叫做奇函数 若有f x f x 则f x 叫做偶函数 2图象性质 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 3判断奇偶性方法 图象法 定义法 4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提 6 解决利用函数的性质求参数的取值范围的问题时 就要列出关于参数的不等式 组 因而利用函数的单调性 奇偶性将 抽象的不等式 转化为 具体的代数不等式 是关键