微分几何-曲面doc

3 1 曲面及其相关概念 1 1 曲面及其参数表示曲面及其参数表示 曲面的坐标形式的参数方程 曲面的向量形式的参数方程 简记为 称为曲面的参数参数或曲纹坐标曲纹坐标 也称是点的参参 数数或曲纹坐标曲纹坐标 例例 1 1 1 圆柱面 cos sin z z 其中常数为截圆的半径 当 时 于是是 点的曲纹坐标 2 球面 coscos cossin sin 这里 称为经度 称为纬度 是球面的半 径 当 时 于是 是点的曲纹坐标 3 旋转面 把 xz 平面上一条曲线 x 绕 z 轴旋转 得旋转面 x y 当 时 于是 是点的曲纹坐标 4 连续函数的图象 该曲面的参数方程为 和是参数 曲纹坐标 是 点的曲纹坐标 坐标曲线 曲线 即 曲线 即 一般地 通过每一点 有唯一一条曲线和唯一一条曲线 曲纹坐标网 例例 2 2 1 圆柱面 例 1 1 cos sin z z 2 球面 例 1 2 coscos cossin sin 3 旋转面 例 1 3 x y 4 连续函数的图象 例 1 4 2 2 光滑曲面光滑曲面 曲面的切平面和法线曲面的切平面和法线 在曲面上的 点处 u 曲线的切向量 v 曲线的切向量 定义定义 曲面的正则点正则点 正常点正常点 P0 r r 和 r r 不平行 正则曲面正则曲面 处处是正则点的曲面 例例 在双叶双曲面的一叶 和均为正的常数 上 经过点的曲线的方 程为 该曲线在点的切向量 经过点的曲线的方程为 该曲线在点的切向量 由于在上的任何点处 和不平行 故上的点都是正则点 从而是正则曲 面 定理定理 3 1 13 1 1 曲面在正则点的邻域中总可以有形如 z z x y 的参数表示 曲面 上一点 P0处的切方向 方向 上的经过 P 的曲线 在 P0的切方向 曲面 r r r r u v 上曲线 的 曲纹 坐标式参数方程 u u t v v t 的向量式参数方程 r r r r u t v t r r t 其切方向 t r r r r 也可写为 dr r r ru du r rv dv 定理定理 3 1 23 1 2 曲面上正则点处的所有切向量都在经过该点的坐标曲线的切向量 r r和 r r 所决定的平面上 称此平面为曲面在这一点的切平面切平面 曲面上一点的一个切方向的表示 du dv 表方向 dr r r ru du r rv dv 也表方向 dr r r ru du r rv dv 二者视为 同一方向 例如 du dv 2 3 表方向 dr r 2r ru 3r rv 也表方向 dr r 2r ru 3r rv 二 者视为同一方向 例例 环面 为常数 上的点即 点 该点处的切方向 表示方向 曲面 r r r r u v 上在点 的切平面的方程 m m r r r r r r 0 或写成坐标的形式 特例 对曲面 r r x y z x y 有 r r 1 0 r r 0 1 所以曲面在点 的切平面的方程为 法方向 垂直于切平面的方向 法线 经过曲面上的一点并平行于法方向的直线 法向量 n n r rr r 单位法向量 n n 曲面的法线方程 m m r r r r r r 若曲面的坐标形式的参数方程为 则法线方程 为 特例 对曲面 r r x y z x y 有 例例 3 3 求圆柱面 r r 为常数 上任意点的切平面和法线的 方程 解 因为 r r r r 0 0 1 所以 在任意点的切平面方程为 即 在任意点的法线方程为 即 3 2 曲面上的双参数活动标架 1 1 曲面的双参数活动标架曲面的双参数活动标架 定义曲面 r r r r u v 的第一基本量第一基本量 E u v r rr r F u v r rr r G u v r rr r 令 根据 Lagrange 恒等式 有 r rr r r rr r r r r r r rr r EG F 于是 令 由此得到曲面上的正交右手系标架 r r u v u v e e u v e e u v 由于它依赖于两个参数 u 和 v 故称之为曲面的双参数活动标架曲面的双参数活动标架 注 1 和 e e 所张成的平面就是曲面在一点处的切平面 注 2 不要记 e e2的上述繁琐的表达式 要计算 e e2 首先计算 e e1和 e e3 然后用 直接计算 e e2 注 3 r r和 r r 也可由和 e e 线性表示 即 r r r r e e 例例 1 1 给出正螺面 r r b 0 为常数 上的一个双参数活动标 架 解 因为 r r cos v sin v 0 r r u sin v u cos v b 于是 E r rr r 1 F r rr r 0 G r rr r r r cos v sin v 0 e e r rr r b sin v b cos v u u sin v u cos v b 2 2 外微分形式外微分形式 在平面上建立直角坐标系 点的坐标用 u v 表示 du 和 dv 是坐标的微分 用表 示坐标微分之间的外乘外乘运算 规定 dudv dvdu dudu 0 dvdv 0 设 f u v 是定义在平面区域 D 上的函数 则 f u v dudv 称为 D 上的以 dudv 为 基底的二次外微分形式外微分形式 设 f u v 和 g u v 都是定义在平面区域 D 上的函数 则 f u v du g u v dv 称 为 D 上以 du 和 dv 为基底的一次外微分形式一次外微分形式 也称为发甫发甫 Pfaff 形式 区域 D 上的函数 f u v 称为 0 次外微分形式次外微分形式 对于两个一次外微分形式 和的外乘规定为 它是一个二次外微分形式 设都是一次外微分形式 则 为常数 设 D 是平面上的一个区域 D 上的两个 Pfaff 形式 和 分别对应 D 上的两个向量场 a a b b 若它们在 D 上的每一点处都是线 性无关的 则称这两个 Pfaff 形式线性无关线性无关 引理引理 3 2 13 2 1 设给定平面区域 D 上的两个 Pfaff 形式和 若 则存在 D 上的函数 f u v 使得 引理引理 3 2 23 2 2 Cartan 引理 设给定平面区域 D 上的两个线性无关的 Pfaff 形式和 即 若另有 D 上的两个 Pfaff 形式和 使得 则存在 D 上的函数 i j 1 2 使得 i 1 2 并且 i j 1 2 外微分运算 对于 0 次外微分形式 f u v 定义 df u v 对于一次外微分形式 定义 对于二次外微分形式 定义 注 外微分把外微分形式的次数提高一次 引理引理 3 2 33 2 3 Poincar 引理 设为平面区域 D 上的任意次外微分形式 则 引理引理 3 2 43 2 4 设 f 和 g 都是 0 次外微分形式 和都是 Pfaff 形式 则 d fg df g f dg d f df fd d f d f df d 0 证明作为练习留给读者 3 3 双参活动标架的基本方程双参活动标架的基本方程 给定曲面 r r r r u v 上的一个双参数活动标架为 r r u v u v e e u v e e u v 设 其中和 i j 1 2 3 都是关于 du 和 dv 的 Pfaff 形式 其系数为 u v 的函数 命题命题 证明 引理引理 3 2 53 2 5 i j 1 2 3 根据引理 3 2 5 有 故有双参数活动标架的基本方程双参数活动标架的基本方程 其中本质的相对分量是 和 其具体表达式可由下列关系式导出 例例 2 2 确定正螺面 r r u cos v u sin v bv b 0 为常数 上的双参数活动标架的 基本方程中的本质分量 解 由例 1 可知 E 1 F 0 G 所以 r r cos v sin v 0 r r u sin v u cos v b e e r rr r b sin v b cos v u d d cos v sin v 0 0 0 0 du sin v cos v 0 dv de e dsin v cos v u sin v u cos v b du cos v sin v 0 dv 注 由于比简单 所以在计算时 不用公式 4 4 双参数活动标架的结构方程双参数活动标架的结构方程 5 5 双参数活动标架的基本定理双参数活动标架的基本定理 6 6 双参数活动标架结构方程的代数认识双参数活动标架结构方程的代数认识 引理引理 3 2 93 2 9 在曲面上 处处有 定理定理 3 2 113 2 11 其中 a b 和 c 都是和的函数 例例 3 3 对正螺面 r r u cos v u sin v kv 将其相对分量和用和表 示时的系数函数求出来 解 于是 由 可得 由 可得 3 3 曲面上的第一 第二基本形式 定义定义 3 3 13 3 1 设给定曲面 r r r r u v 选取双参数活动标架 r r e e e e 则 称为曲面的第一基本形式第一基本形式 其中 i 1 2 是与的通常乘积 不是外微 分形式的外乘 引理引理 3 3 13 3 1 I 其中 和为曲面的第一类基本量 定义定义 3 3 23 3 2 设给定曲面 r r r r u v 则 dr r de e 称为曲面的第二基本形式第二基本形式 命题命题 第二基本形式的几种表达法 dr r de e r r e e 证明 微分等式两边 得 r r e e dr r de e 于是 r r e e 例例 2 2 求圆柱面 r r z 为常数 的第一基本形式 解 r r r r 0 r r r r 0 0 1 于是 所以 例例 3 3 求球面 r r 为常数 的第一基本 形式 解 r r r r 0 r r r r 从而 于是 所以 例例 4 4 正螺面正螺面是这样一种曲面 它是一条动直线的运动轨迹 该动直线与一条称为旋 转轴的定直线垂直相交 并围绕轴作匀速转动 同时 动直线还沿轴的方向作匀速直线运动 求正螺面的第一基本形式 解 取旋转轴为轴 轴的正向与动直线 的匀速直线运动方向一致 以表示 旋 转时的角速度 表示 作匀速直线运动的速度 取时 的位置为轴 以表示 上 的点到轴的有向距离 于是在 时刻 与轴正向的夹角 从而 即 令 常数 则正螺面有参数方程 从而其向量式方程为 其中和为参数 故 从而 于是 所以 例例 5 5 求球面 r r 为常数 的第二基本 形式 解 由例 3 可知 0 e e e e 0 所以 例例 6 6 求正螺面 r r 为常数 的第二基本形式 解 因为 r r r r e e e e 所以 3 4 曲面上第一 第二基本形式的几何 1 1 曲面上曲线的弧长曲面上曲线的弧长 命题命题 设给定曲面上的曲线 则的 弧长 其中 和为第一类基本量 2 2 曲面上两方向的夹角曲面上两方向的夹角 曲面上的切方向的表示法 给定曲面 其上的一点的切方向可表示为 1 2 指方向 3 指方向 注 因为 故 和可互相决定 因而和实际上是同一方向的不同表示而已 上式给出了这两种表示之间的内在联系 命题命题 曲面上的两个切方向和的夹 角 切方向和的夹角 证明 定理定理 3 4 13 4 1 曲面上一点处的两个方向和互相垂直 曲面上一点处的两个方向和互相垂直 定义定义 两条相交曲线在其交点处的切线的夹角称为这两条曲线在该交点处的夹角夹角 若 该夹角为直角 则称这两条曲线在该交点处正交正交 命题命题 曲面上的 曲线和 曲线的夹角 推论推论 曲面的曲纹坐标网是正交网 即任何 曲线和 曲线均正交 3 3 正交曲线族和正交轨线正交曲线族和正交轨线 定义定义 与曲面上的一族曲线中的每一条均正交的曲线称为该族曲线的正交轨线正交轨线 命题命题 微分方程所代表的曲线族的正交轨线的微分方程是 4 4 曲面的正交曲纹坐标网曲面的正交曲纹坐标网 定理定理 3 4 23 4 2 在任意正则曲面上总可以取到正交的曲纹坐标网 命题命题 若曲纹坐标网是正交网 则 5 5 曲面域的面积曲面域的面积 命题命题 曲面的面积 6 6 曲面上曲线的曲率曲面上曲线的曲率 定义定义 3 4 23 4 2 设点是曲面上的曲线上的一点 是在点的曲率 是在 点的主法向量 则称为在点的曲率向量曲率向量 称为在上的点处沿 曲线的切方向的法曲率法曲率 当时 规定法曲率 推论推论 1 1 在法曲率的定义中 其中是和的夹角 推论推论 2 2 在法曲率的定义中 设为 为 则 其中 是的自然参数 为从转到的单位切向量的有向角 在切平面 上 以为横轴正向 为纵轴正向 建立坐标系 于是是的函数 证明 显然 有 设的副法向量为 与的夹角为 则 于是 引理引理 对曲面上的一条曲线 其弧长的微分满足 证明 命题命题 曲面上在一点处沿任意方向 的法曲率 其中两类基本形式 I 和 II 均在 P 点取值 证明 在上 取经过点且在处的切方向为 的任一曲线 沿用上述推论 2 中的符号 则对 有 但 故 从而由推论 2 及上述引理 有 法曲率的几何意义 定义定义 法截面法截面和法截线法截线 法截线的曲率向量 于是和的夹角或 当时 向方向弯曲 且 当时 向的反方向弯曲 总之 曲面上一点处沿某一切方向的法曲率 其绝对值等于相应法截线在这点的曲率 其 符号视曲面在该方向上向的哪一侧弯曲而定 若曲面向的正侧弯曲 则法曲率为正 若曲面向的负侧弯曲 则法曲率为负 定义定义 曲面在其上一点处沿某切方向的法曲率的倒数称为法曲率半径法曲率半径 设点是曲面上的曲线上的一点 是在点的曲率 是在点的主法 向量 是和的夹角 于是在点沿的切方向的法曲率 令 在点的曲率半径 则 该公式的几何意义可陈述为如下定理 MeusnierMeusnier 梅尼埃 定理 梅尼埃 定理 曲面上的曲线在给定点的曲率中心就是与曲线具 有相同切线的法截线在同一点的曲率中心在曲线的密切平面上的投影 例例 1 1 在球面上验证梅尼埃定理 把梅尼埃定理中的取为一个球面上的小圆 取 为与该小圆相切于点的大圆 则梅尼埃定理显然成立 7 7 曲面上一点处的主曲率曲面上一点处的主曲率 命题命题 给定曲面上的一点处的一个切方向 若从转到 的有向角为 在点的切平面上 以为横轴正向 为纵轴正向 建立坐标系 则在处沿方向 的法曲率 其中 和均在取值 定义定义 若在曲面上的一点处 有 则该点称为曲面上的脐点脐点 若 则该点称为平点平点 若且 则该点称为圆点圆点 注 1 脐点分为平点和圆点两种 可以证明 球面上的点都是圆点 平面上的点都是 平点 注 2 在脐点处 沿任何方向的法曲率都相同 且 上述命题 在平点 处 沿任何方向的法曲率 在圆点处 沿任何方向的法曲率 定义定义 3 4 33 4 3 曲面上非脐点处法曲率的最大值和最小值称为曲面在这点处的主曲率主曲率 使法曲率取得最值的切方向称为曲面在该点处的主方向主方向 命题命题 曲面上一点处的主曲率是方程 的两个根 命题命题 主方向满足方程 注 曲面上一点若为非脐点 则恰有两个主方向 并且它们彼此正交 方向相反的两 个主方向视为一个切方向 曲面上的一点若为脐点 则该点处的任何方向都是主方向 定理定理 3 4 43 4 4 主方向判定定理 罗德里格 定理 若方向 d 是 主方向 则 其中 是沿方向 的法曲率 反之 若对于方向 有 则 是主方向 并且 是沿方向 的法曲率 证明证明 由 可得 若 是主方向 则由上个命题 可知 因此 设 两 边与作内积 则 所以 反之 若对于方向 有 则 因此 所以 是主方向 且与前面同理可证 是沿方向 的法曲率 定义定义 3 4 43 4 4 对于曲面上的一条曲线 若其上每一点处的切方向都是曲面在该点处的 主方向 则此曲线称为曲面上的曲率线曲率线 命题命题 曲面上的曲率线的微分方程是 定义定义 曲面上两族曲率线构成的曲线网称为曲率线网曲率线网 命题命题 在不含脐点的曲面上 经过参数的适当选择 总可以把曲纹坐标网取为曲率线 网 注 当曲纹坐标网是曲率线网时 为 曲线 曲率线 的切方向 为 曲线 曲率线 的切方向 曲面的第一和第二基本形式分别简化为 沿方向的法曲率 其中是与第一主方向的夹角 和为主曲率 定理定理 3 4 53 4 5 欧拉 公式