（立体几何导入）符永平高中数学课堂研究

1 创创造造式式课课堂堂资资源源来来于于学学生生经经验验的的开开发发 以学生数学小论文为高中以学生数学小论文为高中 立体几何立体几何 导学导学 江苏省南通市教育科学研究中心江苏省南通市教育科学研究中心 符永平符永平 在数学教学中培养学生的创新意识 是现代数学教育追求的最高 境界 同时也是目前数学教学最难突破 最为纠结的课题 充分利 用学生在已有知识获得 技能训练 数学思想方法提炼中积累的数 学活动经验 经验写成数学小论文 来唤醒学生对自己已有学习方 式的反思和探索科学学习方法 淡化数学知识的神秘感 迎合学生好 动 好胜 好奇的个性特征 真正为后续学习奠定坚实基础 树立 必胜的学习信心 培养学生对数学的兴趣并产生美好情感 这正是 对创造式课堂必须开发的资源所在 实践中 我结合学生的数学小 论文 学生发现式学习的经验 在引导学生关注自己的学习方式 训练学生良好学习方式的养成等方面进行了大胆尝试 得到一线教 师与专家们的肯定与鼓励 现以自己在 江苏省中学教科研协进会 暨师陶杯颁奖大会 上 被邀请去南京上的一节 立体几何初步 苏教科版高中必修 2 章头课 为例来说明 课题课题 中学数学中学数学 再创造再创造 发现式系列课型研究发现式系列课型研究 系江苏省系江苏省 333 333 高层次人才培养工程高层次人才培养工程 196 196 项科研资项科研资 助项目 助项目 20102010 年年 1010 月由江苏省人才工作办公室公布 全省基础教育共月由江苏省人才工作办公室公布 全省基础教育共 2 2 项 之一项 之一 项目编号为项目编号为 R 2010046 R 2010046 主持人 符永平主持人 符永平 本项目本项目 还获得江苏省首届基础教育教学成果一等奖还获得江苏省首届基础教育教学成果一等奖 教师 教师 同学们 我们今天开始学习必修 2 立体几何初步 只 要打开本章的课本 首先映入我们眼帘的两页空间图形就让我们倍 感 多媒体画面依次呈现 2 图 图 1 1 图 图 2 2 图 图 3 3 图 图 4 4 空间是开放的 又是神圣的 图 1 空间是美丽的 更是诱人的 图 2 空间是神秘的 空间也装满了人类最美好的梦想和希望 图 3 研究空间 向往空间这是每个现代人的义务和责任 图 4 今天这节课 型 同学们也许很少上过 因为在一堂课上要感 受全章 65 页内容的同时 还要培养自己学习这一章的信心和摸索适 合自己学习立体几何的方式 方法 其重要性可想而知 怎么能上 好这堂课 我想解决 1 学什么 2 怎么学 这两个问题 现 对一篇数学小论文的学习来尝试本堂课教学 小论文作者徐笑 是我的学生 选学她的文章不仅因为她获数 学竞赛一等奖和有多篇数学小论文发表 而是她学习轻松 特别是 她的自学能力 即很会学习给师生们留下深刻印象 她的学习方法 也许不一定完全适合你 但我希望你们能从她的学习过程中受到启 发 以初中学生的数学思考有效衔接对高中数学的思考 这场景无以初中学生的数学思考有效衔接对高中数学的思考 这场景无 论是初 高中教材的衔接 还是初 高中学生学习方式的衔接 都论是初 高中教材的衔接 还是初 高中学生学习方式的衔接 都 是数学创造式教学情境开发与学生数学学习经验积累的重要基础 是数学创造式教学情境开发与学生数学学习经验积累的重要基础 小论文的标题是 走向三维 文章的开始是从问题 6 根火柴 首尾连接 能拼成四个等边三角形吗 开始的 请大家画画看 师 师 已有同画出来了 让同位配合用六支笔搭着给大家看 不少同学 还在积极探索着 不要紧 我们的感受小论文里全写了 请看 3 学小论文 教师读 学小论文 教师读 同学们 我们在数学学习中要学会抓住这种美妙的感觉 才能更好 地感受数学中的 阳春白雪 请思考高一课本的这个问题 图 5 生 生 第一个是由长方形绕一边旋转而成 第二 个 师 师 生成规律 生 生 这就是初中学过的点动成线 线动成面 面动成体的规律 师 师 很好 事实上这个问题我们初中已学过 再看图6 大家发现什么 图 图 5 5 图 图 6 6 生 生 这是初中的一道题 师 师 对 这是初一的 学小论文 学小论文 6 6 6 6 P P8 8 其实 我们每位同学学习这一章都必须充满信心 因为在 初中我们已经走进了立体几何 如初一的棱台 棱锥 棱柱 4 师 师 是的 如图 7 也是初一书上的 又如三视图 图 8 是初中教材上 的 图 9 是高一教材上的 大家又能发现什么 图 图 7 7 图 图 8 8 图图 9 9 5 生 生 初中已学过 以原有的数学研究情结以原有的数学研究情结 连接连接 到新问题的探究上来 以原来到新问题的探究上来 以原来 的教材发现新的教材 以初中的学习经验来丰富更多的数学学习经的教材发现新的教材 以初中的学习经验来丰富更多的数学学习经 验验 这是高中数学创造式课堂经常忽视的问题 这是高中数学创造式课堂经常忽视的问题 学小论文 学小论文 师 师 请看图 10 中间图形一定让大家感到很亲切 为什么 图图 1010 生 生 初中把锥形侧面转化为平面问题见得太多了 师 师 图 10 第三个图 圆台侧面积计算 也能不死记公式 生 生 还是转化成平面图形 将大扇形面积减去小扇形面积就是圆台 的侧面积 师 师 很好 我们不仅已走进了立体几何 而且将转化等思想方法以 也能在新问题中灵活应用 相信大家一定能学好这一章 学小论文 学小论文 还有小学里就开始学习圆锥等体积和侧面积计算 还有一些 没有学到的只要注意转化 就能得到相关计算公式 不用死记 自学时觉得本章比较费点心的就是 点 线 面之间的关系 点 线 面之间的关系有哪些组合形式呢 可对比初中的如 正数 零 负 数 比较大小的方法 进行分类 可一开始就想到以下问题 教材上 1 点与线的位置关系怎么不学了 2 相交线 平行线初中已学透了 怎么还要学习线与线的位置关系 6 师 我最欣赏的师 我最欣赏的是该生主动发现了问题 你认为这些问题的发现依靠 的是什么 第 1 个问题能回答吗 生 靠的是以往的经验生 靠的是以往的经验 靠的是良好的学习习惯靠的是良好的学习习惯 第 1 个问题 我认 为一个点和一条线总是在一个平面里 它们还属于平面问题 师 师 对 发现问题习惯是良好的习惯中最重要的习惯是良好的习惯中最重要的习惯 第 2 个问题 生 生 教室后门的边框线和前面黑板上边线 我让学生走到门边 虽是 线与线的关系 但它们不在同一平面内 所以要研究 师 师 很好 学小论文 学小论文 师 师 几种情况 原文中被我有意改成填空形式 生 生 线与线 线与面 面与面共三种 师 师 对 下面我们看表 并欣赏她制表的依据 学小论文 学小论文 这些问题一想通 特别是线面问题都可以转化为平面中的线 与线的问题 确实有趣且学习时整章的本质就易把握了 线 面 共要研究 种情况 我喜欢用表格来进行分类 7 师 师 同学们 如果这种概念对比和联系比较强的表格是自己尝试构 建的 其学习效率是可想而知的 我们要不断摸索这种归纳小结 的方法 作者觉得自己的构建有不完善的地方 希望大家在课后 的学习中不断完善 伟大的数学思想 永远是我们在数学教学中引导学生学会学习 伟大的数学思想 永远是我们在数学教学中引导学生学会学习 学习学习 再创造再创造 的根本所在 依据学生对数学思想的理解 以学生的根本所在 依据学生对数学思想的理解 以学生 去呼唤学生大胆猜想 这是同龄人对同龄人的亲切感 可比性 非去呼唤学生大胆猜想 这是同龄人对同龄人的亲切感 可比性 非 情意代沟情意代沟 指学生与学生沟通速度快指学生与学生沟通速度快 的天然教学资源的天然教学资源 易产生的同质易产生的同质 同构 同步思维共振 共生同创的重要途径 同构 同步思维共振 共生同创的重要途径 学小论文 学小论文 师 师 请看课本例题 题题 1 1 师 师 由任一点 距离和定值等决定了本题的难度 可由这道初中几何 题能给你什么启发 用对比的方法确实是发现问题 解决问题一种好方法 利用 平面几何与立体几何大胆的猜想和对比 可以发现重要的结论 8 生 生 这道平几题不难 方法很多 它的定值为等边三角形的高 师 师 方法确实很多 什么方法最好 生 生 面积法 师 师 对 题 1 怎么解 生 生 因为有距离 四个面均为全等的等边三角形 所以用体积和相等 来解很简单 师 师 类比成功 很好 再看图 11 左图大家一看便知是勾股定理 右 边的图的 4 条线段的关系请大胆猜想一下 图图 1111 生 生 L2 a2 b2 c2 师 师 很好 以后我们很容易证明这个关系 再看题 3 题题 3 3 生 生 不好类比 看正方体的一个角处的 3 条棱 虽然两棱都与一棱垂 直 但这两棱不平行而是垂直 还如墙角与地板接触处 师 师 从空间发现了结论 很好 所以 大胆类比时 还要注意判断命题 是否成立 9 学小论文 学小论文 师 师 这文字题首先要做什么 生 生 画图 如图如图 1212 图图 1212 师 师 同学们 这是小徐学习例题的一种特殊学习方法 学习效率可想 而知 并且这种自主学习的要求很高 但我们可以来尝试 从已 知和求证发现 我们必须充分利用已知探索直线与平面垂直的 性质 从欲证结论探索直线与平面垂直的判定 下面我们根据作 者所说的用三角板实验 希望大家有所发现 生 生 三角板一直角边在旋转过程中 另一直角边在平面上所留下来 的每一条线肯定与旋转的直角边是垂直的 由此可得到垂直于 平面的直线必垂直于平面内的任意一条直线 师 师 这发现 通过三角板很形象 也很生动 判定呢 或我们希望有 什么样的判定才能证到直线与平面垂直呢 生 生 如果一直线与平面内的任意一条直线垂直 那么这条直线就和 这个平面垂直 师 师 你怎么想到这个结论 生 生 一由刚才的实验 二由我们以前学过的性质定理和判定定理可 自学数学也许不同于其它学科自学 如例题学习 我以前只满足看懂或 听老师讲懂 现在觉得应该把它作为检测自己学习概念 定理效果的重要 武 器 这次 考虑到立体几何与平面几何的联系多 我尝试了先做例题 后看 概念和定理的方法 即为了解决问题去探索概念的建立和定理的产生 效果 不错 如 P34 页例 1 一开始觉得很简单 后来觉得依据找不到 再后来将垂直 于桌面的三角板绕它的一直角边旋转 猜想着线面垂直的性质和判定是 什么 看书后竟和书上差不多 真有一种发现的快乐 10 知它们一般是互逆关系的命题 师 师 大家同意这种说法 生 生 同意 师 师 告诉大家 刚才大家的发现就是书上的两个非常重要的结论 定 理 太了不得了 今天教材的编写的专家也来到我们的课堂 相信他会为我们的发现而自豪 证明时 怎样来表达平面内的 无数条直线 生 生 在平面内任意画一条直线 师 师 对 这就是辅助线 学生顺利证明 过程略去 相信大家同样 会有一种发现的快乐和对这种学法的震憾 所以 发现式学习的 方法希望大家在平时学习中多尝试 多积累 多应用 学小论文 学小论文 师 师 请看书上例题 并回答题 生 生 最短问题我们可根据两点之间线段最短 师 师 这里的线段在哪 生 生 可将圆柱的侧面转化成平面中矩形的一对角线来研究 如图 13 图 图 1313 另外 对于例题的学习我们要重视问题的联想和拓展 这是 我们提高学习效率最重要的途径 11 师 师 我们在初中应用这种转化解决最多的问题还记得是什么 生 生 蚂蚁问题 师 师 很好 我们想到一块去了 如图 14 图 图 1414 所以 我们在平时学习中要养成联想的好习惯 这样才能抓住问 题本质 触类旁通 提高学习效率 学生让学生学生让学生 上当上当 好奇心下的高考题又是怎么样的 一堂课好奇心下的高考题又是怎么样的 一堂课 给学生留下了不少没解决的问题 如小论文里给学生留下了不少没解决的问题 如小论文里 这个问题大家课后这个问题大家课后 可以继续研究可以继续研究 让学生感叹的数学史等 让学生感叹的数学史等 这不正是数学课堂需这不正是数学课堂需 要的动人与真实的情境 不正是数学课堂训练孩子们学会发现 学要的动人与真实的情境 不正是数学课堂训练孩子们学会发现 学 会会 创造创造 的责任追求 引导学生的智慧唤醒学生的数学智慧这不的责任追求 引导学生的智慧唤醒学生的数学智慧这不 失为课堂教学变革的一种有益尝试 章头导学课或学生学习方式的失为课堂教学变革的一种有益尝试 章头导学课或学生学习方式的 训练课千万不能把眼睛再盯在 学生对某知识还没有记住或浅层的训练课千万不能把眼睛再盯在 学生对某知识还没有记住或浅层的 理解上 理解上 学小论文 学小论文 本章的特点概念和结论多 公理连同推论有 7 个 定理和一些重要结 论达到 10 个 要灵活应用这是主要学习目标 所以不仅是记住 更多的理 解和结合图形去体验 如公理 3 经过不在一条直线上的三点 有且只有一 个平面 学习时不仅可类比初中的一个知识点 还要结合类似于写字台 笔筒 台灯上各选一个点 这三点在一个平面 用纸 平面 多体验效果会 更好 还有一些知识不能以为初中学过就掉以轻心 因为现在的要求不一 样 如下图 1 怎么看都是一个平行四边形 并成为视觉习惯 可再看下 图 2 还是这个四边形 BCC B 它在这个正方体中给人的感觉起码是一 个矩形 12 图图 15 师 师 确实 我们从一开始就要重视打好基础 即使是一条线 一个角 都要规范 认真 否则在不知不觉中就很难轻松学下去 学小论文 学小论文 生 生 因为两条对角线 450 450 90o 就是 900 生 生 就是 45o 师 师 连接 AC 你能发现什么 生 生 三条正方形对角线构成等边三角形 众生 众生 啊 上当了 应是 60o 师 师 看图要仔细 才强调从平面到空间要改变视觉的定势 这再一次 说明强调基础的必要性 千万别懂了一点就认为都懂了 大家要 重视 学小论文 学小论文 师 师 想不想 生 生 很想 师 师 好 再看看图 3 AB C 度 还有就是有点好奇心 立体几何的高考题是什么样子的 真想看一眼 这是 07 年全国统一考试海南 宁夏第 II 卷第 18 题 如图 A B C D 为 空间四点 在 ABC 中 AB 2 AC BC 等边三角形 ADB 以 AB2 为轴转动 13 从已知 你发现 ABC 是怎样的三角形 生 生 由勾股定理逆定理知 ABC 为等腰直角三角形 师 师 对 再看问题 当平面 ADB 平面 ABC 时 求 CD 教者边演示实物 要求 CD 即求一线段长 常用方法 生 生 将 CD 构造在一直角三角形中 师 师 直角三角形呢 生 生 作两个等边三角形 AB 边上的高 CD 2 师 师 真了不起 我们能算高考题了 能取 AB 中点 E 再连 CE DE 生 生 能 因为等腰三角形三线合一 师 师 好 我们成功将面与面的问题转化为线与线的问题 第二问因时 间关系 以后研究 我们的教材上 有一段数学史 作者很感慨 请欣赏 学生小论文 学生小论文 14 师 师 确实 这图太美丽了 这诗太精确了 这歌太智慧了 同学们 这是一种呼唤 我们祖先 祖恒 是祖冲之的儿子 浇齐时代 几百年前了 就有如此大的智慧 如果我们今天都不肯主动学习 还能对得起谁 学习这一章信心和克服困难的勇气 众生 众生 有 师 师 很感谢大家的配合 并让老师有幸感受大家很强的学习努力 为 此我送给大家几句话 作为本课的结束 从 二维 到 三维 从平面到空间 空间可生成距 离美 空间可产生智慧的人际 空间可让我们共建人类物 质和精神的幸福 平面几何 立体几何 几何人生 人生 几何 同学们 我们从珍惜 立体几何