相似三角形性质与判定复习

1 相似三角形复习相似三角形复习 知识要点知识要点 1 相似三角形的定义 三边对应成 三个角对应 的两个三角形叫做相似三角形 2 相似三角形的判定方法 1 两个三角形相似 一般说来必须具备下列六种图形之一 2 两个角对应相等的两个三角形 3 两边对应成 且夹角相等的两个三角形相似 4 三边对应成比例的两个三角形 性质 比的平方 对应面积比等于相似 比 对应周长比等于相似 对应边成比例 对应角相等 4 3 2 1 判定 三边对应成比例 夹角相等 两边对应成比例 且 两角对应相等 3 2 1 1 相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比 当相似比等于 1 时 这两个三角形不仅形状相同 而 且大小也 相同 这样的三角形我们就称为全等三角形 全等三角形是相似三角形的特例 2 相似三角形的判定 两角对应相等 两三角形相似 两边对应成比例 且夹角相等 两三角形相似 三边对应成比例 两三角形相似 3 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等 相似三角形的对应线段 边 高 中线 角平分线 成比例 相似三角形的周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 2 F E D C BA 典型例题典型例题 1 如图在 4 4 的正方形方格中 ABC 和 DEF 的顶点都在长为 1 的小正方形顶点上 1 填空 ABC BC 2 判定 ABC 与 DEF 是否相似 2 如图所示 D E 两点分别在 ABC 两条边上 且 DE 与 BC 不平行 请填上一个你认为适合的条件 使得 ADE ABC 并证明 3 如图 在 ABC 中 AB AC 点 D E F 分别在 AB BC AC 边上 DE DF EDF A 1 求证 2 证明 与相似 BC AB EF DE BDE EFC 4 已知 如图 是斜边上的中线 交于 交的延长线于 CDRt ABC DEAB BCFACE 说明 ADE FDB DFDECD 2 5 已知 如图 ABCD 中 E 为 AD 的中点 AF AB 1 6 EF 与 AC 交于 M 求 AM AC A D B EC F 3 随堂训练随堂训练 1 如图 若 则 AEF ABC 理由是 AB AE 2 在 ABC 与 DEF 中 已知 AB 3 BC 2 DE 6 EF 4 再补充条件 就可以判 定 ABC DEF 3 如图 AD 6 AE 8 EC 4 则当 BD 时 ADE ACB 4 如图 在 ABC 中 点 D E 分别在边 AB AC 上 且 若 DE 4 则 BC 3 2 AB AD AC AE 5 D 是 ABC 边 AB 上一点 要使 ACD ABC 则还须具备的条件是 A AC CD AB BC B CD AD BC AC C CD2 AD DB D AC2 AD AB 6 判断题 1 相似三角形的对应角相等 2 相似三角形的高的比等于相似比 3 相似三角形的对应角平分线的比等于相似比 4 ABC 和 A1B1C1的中线 AD A1D1 k 则 AB A1B1 k 7 已知 如图 在ABC 中 DE BC DE分别与AB AC相交于D E 1 3AD AB 若2DE 则BC 8 下列判断正确的是 A 两个直角三角形相似 B 两个相似三角形一定全等 C 凡等边三角形都相似 D 所有等腰三角形都相似 9 如图 ABC 中 DE BC AE 1 AC 2 则 S ADE S ABC A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 9 10 如图 ABC 中 AD BC 于 D 且有下列条件 1 B DAC 90 2 B DAC 3 4 AB2 BD BC 其中一定能够判定 ABC 是直角三角形的共有 AD CD AB AC A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 题 10 题 11 题 12 11 如图 将 ADE 绕正方形 ABCD 顶点 A 顺时针旋转 90 得 ABF 连结 EF 交 AB 于 H 则下列结论 中错误的是 F B A 第 1 题 C E 第 3 题 B D E A C 第 4 题 B DE A C 7 9 图 A C D B 第五题 4 A AE AF B EF AF 1 C AF2 FH FE D FB FC HB EC2 12 如图 在矩形 ABCD 中 点 E 是 AD 上任意一点 则有 A ABE 的周长 CDE 的周长 BCE 的周 B ABE 的面积 CDE 的面积 BCE 的面积 C ABE DEC D ABE EBC 13 则下列各式成立的是 ACD ABC A B C D ABADAC 2 DBADCD 2 BCABCDAC ACBCADCD 14 下列五类图形 两个矩形 两个等腰三角形 两个等边三角形 两个正方形 两个菱形 其中两个图形一定相似的是 A 四组 B 三组 C 两组 D 一组 二 填空题 1 已知 在 ABC 中 AB AC 27 D 在 AC 上 且 BD BC 18 DE BC 交 AB 于 E 则 DE 2 如图 ABCD 中 E 是 AB 中点 F 在 AD 上 且 AF FD EF 交 AC 于 G 则 2 1 AG AC 题 2 题 3 3 如图 已知 ABC P 是 AB 上一点 连结 CP 要使 ACP ABC 只需添加条件 只要写 出一种合适的条件 4 如图 AD 是 ABC 的角平分线 DE AC EF BC AB 15 AF 4 则 DE 的长等于 题 4 题 5 5 如图 直角梯形 ABCD 中 AD BC AC AB AD 8 BC 10 则梯形 ABCD 面积是 6 两个相似三角形对应高的比为 1 则它们的相似比为 对应中线的比为 对3 应角平分线的比为 周长比为 面积比为 7 在菱形 ABCD 和菱形 A B C D 中 A A 60 若 AB A B 1 则 BD A C 3 三 解答题 1 如图 在 Rt ABC 中 AD 为斜边 BC 上的高 若 S CAD 3S ABD 求 AB AC 5 A B C D E 2 如图 ABC 中 BD 是角平分线 过 D 作 DE AB 交 BC 于点 E AB 5cm BE 3cm 求 EC 的长 3 如图 AO OD 点 B C 在 OD 上 且 OA OB BC CD 求证 ABC DBA 4 梯形 ABCD 中 AD BC E F 分别为 AB CD 上的一点 且梯形 AEFD 梯形 EBCF 若 AD 8 BC 18 试 求 AE EB 的值 5 已知在 ABC 中 ABC ADE DE BC 如果 AE 15 求 AC 和 EC 的长 2 3 DB AD 相似三角形提高练习相似三角形提高练习 一 选择题 4 如图 在中 点为的中点 于点 则ABC 5ABAC 6BC MBCMNAC N 等于 MN A B C D 6 5 9 5 12 5 16 5 5 如图 ABC 中 CDAB 于D 一定能确定ABC 为直角三角形的条件的个数是 1A CDDB ADCD 290B 3 4 5BC AC AB A 1 B 2 C 3 D 4 3 在 ABC 中 AB 12 AC 10 BC 9 AD 是 BC 边上的高 将 ABC 按如图所示的方式折叠 使点 A 与点 D 重合 折痕为 EF 则 DEF 的周长为 A OBCD A B C D EF 6 A 9 5B 10 5 C 11D 15 5 1 2 3 4 如图 在长为 8 cm 宽为 4 cm 的矩形中 截去一个矩形 使得留下的矩形 图中阴影部分 与原矩形 相似 则留下矩形的面积是 A B C D 2 2cm 2 4cm 2 8cm 2 16cm 5 如图 正方形ABCD中 E为AB的中点 AF DE于点O 则 DO AO 等于 A 3 52 B 3 1 C 3 2 D 2 1 6 一张等腰三角形纸片 底边长 底边上的高长 22 5cm 现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为cm15 3cm 的矩形纸条 如图所示 已知剪得的纸条中有一张是正方形 则这张正方形纸条是 A 第 4 张 B 第 5 张 C 第 6 张 D 第 7 张 7 某班在布置新年联欢会会场时 需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 30 AB 50 依次裁下宽为 1 的矩形纸条 a1 a2 a3 若使裁得的矩形纸条的长都 不小于 5 则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是 A 24 B 25 C 26 D 27 4567 8 如图 在RtABC 中 90ACB 3BC 4AC AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E 则CE的长为 A 3 2 B 7 6 C 25 6 D 2 9 如图所示 已知点分别是中边的中点 相交于点 则EF ABC ACAB BECF G2FG 的长为 CF A 4 B 4 5 C 5 D 6 A FE CB 8 9 7 二 填空题 1 如图 点 M 是 ABC 内一点 过点 M 分别作直线平行于 ABC 的各边 所形成的三个小三角形 1 2 3 图中阴影部分 的面积分别是 4 9 和 49 则 ABC 的面积是 2 如图 RtABC 中 90ACB 直线EFBD 交AB于点E 交AC于点G 交AD于点F 若 1 3 AEGEBCG SS 四边形 则 CF AD 3 将三角形纸片 ABC 按如图所示的方式折叠 使点 B 落在边 AC 上 记为点 B 折痕为 EF 已知 AB AC 3 BC 4 若以点 B F C 为顶点的三角形与 ABC 相似 那么 BF 的长度是 10 11 12 三 解答题 1 已知 P 为平行四边形 ABCD 对角线 AC 上一点 过点 P 的直线与 AD BC CD 的延长线 AB 的延 长线分别相交于点 E F G H 求证 PG PH PF PE H F G B D A C P E 2 已知 在三角形 ABC 中 D 为 AB 中点 E 为 AC 上一点 且 2 BE CD 相交于点 F 求 EC AE EF BF F D E A B C 8 3 已知 在三角形 ABC 中 AD AB 延长 BC 到 F 使 CF BC 连接 FD 交 AC 于点 E 求证 3 1 3 1 1 DE EF 2 AE 2CE E F D A B C 4 如图 DE BC 1 1 求 ADE S BDE S ABC S E A B C D 5 PD AB 交 AC 于 D 联结 PA 设 BP x y 求 1 y 与 x 之间的函数关系式并写出 x 的范 ADP S 围 2 当 x 为何值时 y 3 4 D B A C P 9 6 如图 D 是等边三角形 ABC 的 BC 上的一个动点 DE AB DF AC E F 是垂足 1 求证 BDE CDE 2 求证 BDF S CDE S 3 设 AB 1 BD x 求 BDF 的面积 y 关于 x 的函数解析式 F E A B CD 7 已知 在正 ABC 中 点 D E 分别是 AB BC 延长线上的点 且 BD CE 直线 CD 与 AE 相交于 点 F 求证 1 DC AE 2 DFDCAD2 8 已知 直角梯形 ABCD 中 AB CD ABC 90 AB 2CD 对角线 BD AC 垂足为 F 过点 F 作 EF AB 交 AD 于 E CF 4 1 求证 DAB 为等腰三角形 2 求 AE 的长 E D B F A C F E A B C D 10 9 如图 在等腰梯形中 动点从点出ABCDADBC 5ABDC 6AD 12BC PD 发沿以每秒 1 个单位的速度向终点运动 动点从点出发沿以每秒 2 个单位的速度向点DCCQCCBB 运动 两点同时出发 当点到达点时 点随之停止运动 PCQ 1 梯形的面积等于 ABCD 2 当时 点离开点的时间等于 秒 PQAB PD 3 当三点构成直角三角形时 点