第二章《轴对称图形》提高练习题

第二章第二章 轴对称图形轴对称图形 提高练习题提高练习题 1 如图 ABC 中 AB AC D E 分别是 BC AC 上的点 BAD 与 CDE 满足什么 条件时 AD AE 写出你的推理过程 2 如图 D 是等边 ABC 的边 AB 上一点 E 是 BC 延长线上一点 CE DA 连接 DE 交 AC 于 F 过 D 点作 DG AC 于 G 点 证明下列结论 1 AG AD 2 DF EF 3 S DGF S ADG S ECF 3 在菱形 ABCD 中 B 60 AC 是对角线 1 如图 1 点 E F 分别在边 BC CD 上 且 BE CF 求证 ABE ACF 求证 AEF 是等边三角形 2 若点 E 在 BC 的延长线上 在直线 CD 上是否存在点 F 使 AEF 是等边三角形 请 证明你的结论 图 2 备用 4 如图 已知 ABC 为等边三角形 延长 BC 到 D 延长 BA 到 E 并且使 AE BD 连 接 CE DE 求证 EC ED 5 如图 ABC 是边长为 6 的等边三角形 P 是 AC 边上一动点 由 A 向 C 运动 与 A C 不重合 Q 是 CB 延长线上一点 与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向 运动 Q 不与 B 重合 过 P 作 PE AB 于 E 连接 PQ 交 AB 于 D 1 当 BQD 30 时 求 AP 的长 2 当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化 如果不变 求出线段 ED 的长 如果变化 请说明理由 6 如图 ABC 是等边三角形 过点 C 作 CD CB 交 CBA 的外角平分线于点 D 连接 AD 过点 C 作 BCE BAD 交 AB 的延长线于点 E 1 求证 BD BE 2 若 CD 4 求 AD 的长 7 如图 将边长为 4cm 的正方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠 点 E F 分别在边 AB CD 上 使点 B 落在 AD 边上的点 M 处 点 C 落在点 N 处 MN 与 CD 交于点 P 连接 EP 1 如图 若 M 为 AD 边的中点 AEM 的周长 cm 求证 EP AE DP 2 随着落点 M 在 AD 边上取遍所有的位置 点 M 不与 A D 重合 PDM 的周长是 否发生变化 请说明理由 8 如图 1 在正方形 ABCD 中 E 是 AB 上一点 F 是 AD 延长线上一点 且 DF BE 1 求证 CE CF 2 在图 1 中 若 G 在 AD 上 且 GCE 45 则 GE BE GD 成立吗 为什么 3 运用 1 2 解答中所积累的经验和知识 完成下题 如图 2 在直角梯形 ABCD 中 AD BC BC AD B 90 AB BC 12 E 是 AB 上一 点 且 DCE 45 BE 4 求 DE 的长 9 如图 点 O 是等边 ABC 内一点 将 BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60 得 ADC 连 接 OD 已知 AOB 110 1 求证 COD 是等边三角形 2 当 150 时 试判断 AOD 的形状 并说明理由 3 探究 当 为多少度时 AOD 是等腰三角形 10 如图 在 Rt ABC 中 AB AC BAC 90 O 为 BC 的中点 1 写出点 O 到 ABC 的三个顶点 A B C 距离之间的关系 2 如果点 M N 分别在线段 AB AC 上移动 移动中保持 AN BM 请判断 OMN 的 形状 并证明你的结论 参考答案参考答案 1 考点 等腰三角形的性质 专题 压轴题 开放型 解答 当 BAD 2 CDE 时 AD AE 证明 若 BAD 2 CDE 设 CDE x 则 BAD 2x AB AC B C 2 CDE C ADC BAD B 2 x C 1 x 2x B 2x C 1 x C 2 AD AE 题 1 题 2 题 3 2 考点 等边三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 含 30 度角的直角三角形 专题 压轴 题 证明 1 ABC 是等边三角形 A 60 DG AC AGD 90 ADG 30 AG AD 2 2 过点 D 作 DH BC 交 AC 于点 H ADH B AHD ACB FDH E ABC 是等边三角形 B ACB A 60 A ADH AHD 60 ADH 是等边三角形 DH AD AD CE DH CE 在 DHF 和 ECF 中 DHF ECF AAS DF EF 3 ABC 是等边三角形 DG AC AG GH S ADG S HDG DHF ECF S DHF S ECF S DGF S DGH S DHF S ADG S ECF 3 考点 等边三角形的判定 全等三角形的判定与性质 菱形的性质 专题 压轴题 开放型 1 证 明 四边形 ABCD 是菱形 AB BC ACB ACF 又 B 60 ABC 是等边三角形 AB AC ACB 60 B ACF BE CF ABE ACF 由 ABE ACF AE AF BAE CAF BAE CAE 60 CAF CAE 60 即 EAF 60 AEF 是等边三角形 2 答 存在 证明 在 CD 延长线上取点 F 使 CF BE 与 1 同理可证 ABE ACF AE AF BAE CAF CAF CAE BAE CAE EAF BAC BAC 60 EAF 60 AEF 是等边三角形 注 若在 CD 延长线上取点 F 使 CE DF 亦可 4 考点 等边三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 专题 证明题 压轴题 证明 延长 BD 至 F 使 DF BC 连接 EF AE BD ABC 为等边三角形 BE BF B 60 BEF 为等边三角形 F 60 在 ECB 和 EDF 中 ECB EDF SAS EC ED 题 4 题 5 题 6 5 考点 等边三角形的性质 全等三角形的判定与性质 含 30 度角的直角三角形 专题 压轴题 动点 型 解 1 ABC 是边长为 6 的等边三角形 ACB 60 BQD 30 QPC 90 设 AP x 则 PC 6 x QB x QC QB BC 6 x 在 Rt QCP 中 BQD 30 PC QC 2 即 6 x 6 x 2 解 得 x 2 AP 2 2 当点 P Q 同时运动且速度相同时 线段 DE 的长度不会改变 理由如下 作 QF AB 交直线 AB 于点 F 连接 QE PF 又 PE AB 于 E DFQ AEP 90 点 P Q 速度相 同 AP BQ ABC 是等边三角形 A ABC FBQ 60 在 APE 和 BQF 中 AEP BFQ 90 APE BQF APE BQF AAS AE BF PE QF 且 PE QF 四边形 PEQF 是平行四边形 DE EF 2 EB AE BE BF AB DE AB 2 又 等边 ABC 的边长为 6 DE 3 点 P Q 同时运动且速度相同时 线段 DE 的长度不会改变 6 考点 等边三角形的性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 专题 计算题 证明题 压轴 题 证明 1 ABC 为等边三角形 AB BC 5 60 又 5 CBE 180 CBE 120 又 BD 平分 CBE 5 3 4 3 120 ABD CBE 在 ABD 和 CBE 中 ABD CBE ASA BD BE 2 过 D 作 DF AE 于 F DFB DCB 90 又 CBD FBD BD BD CBD FBD AAS CB BF DF CD 4 3 60 BCD 90 CDB 30 设 BC x 则 BD 2x 则 42 x2 2x 2 解得 x BD BE BD 在直角三角形 BCD 中 BCD 90 BC BF BC AB BC AF AB BF 直角三角形 ADF 中 AF DF 4 根据勾股定理可得出 AD 7 考点 翻折变换 折叠问题 全等三角形的判定 矩形的性质 相似三角形的判定 专题 几何综合 题 压轴题 解 1 由折叠知 BE EM B EMP 90 AEM 的周长 AE EM AM AE EB AM AB AM AB 4 M 是 AD 中点 AEM 的周长 4 2 6 cm 现证明 EP AE PD 方法一 取 EP 的中点 G 则在梯形 AEPD 中 MG 为中位线 MG AE PD 在 Rt EMP 中 MG 为斜边 EP 的中线 MG EP EP AE PD 方法二 延长 EM 交 CD 延长线于 Q 点 A MDQ 90 AM DM AME DMQ AME DMQ AE DQ EM MQ 又 EMP B 90 PM 垂直平分 EQ 有 EP PQ PQ PD DQ EP AE PD 2 PDM 的周长保持不变 设 AM x 则 MD 4 x 由折叠性质可知 EM 4 AE 在 Rt AEM 中 AE2 AM2 EM2 即 AE2 x2 4 AE 2 整理得 AE2 x2 16 8AE AE2 AE 16 x2 又 EMP 90 AME DMP 90 AME AEM 90 AEM DMP 又 A D PDM MAE C PDM C MAE 4 x 8 PDM 的周长保持不变 题 7 8 如图 1 在正方形 ABCD 中 E 是 AB 上一点 F 是 AD 延长线上一点 且 DF BE 1 求证 CE CF 2 在图 1 中 若 G 在 AD 上 且 GCE 45 则 GE BE GD 成立吗 为什么 3 运用 1 2 解答中所积累的经验和知识 完成下题 如图 2 在直角梯形 ABCD 中 AD BC BC AD B 90 AB BC 12 E 是 AB 上一点 且 DCE 45 BE 4 求 DE 的长 考点 等腰三角形的判定 全等三角形的判定与性质 勾股定理 正方形的判定 菁优网版权所有 专题 证明题 压轴题 探究型 分析 1 利用已知条件 可证出 BCE DCF SAS 即 CE CF 2 借助 1 的全等得出 BCE DCF GCF BCE DCG 90 GCE 45 即 GCF GCE 又因为 CE CF CG CG ECG FCG EG GF GE DF GD BE GD 3 过 C 作 CG AD 交 AD 延长线于 G 先证四边形 ABCG 是正方形 有一组邻边相等的矩形 是正方形 再设 DE x 利用 1 2 的结论 在 Rt AED 中利用勾股定理可求出 DE 解答 1 证明 在正方形 ABCD 中 BC CD B CDF BE DF CBE CDF CE CF 2 解 GE BE GD 成立 CBE CDF BCE DCF ECD ECB ECD FCD 即 ECF BCD 90 又 GCE 45 GCF GCE 45 CE CF GCF GCE GC GC ECG FCG EG GF GE DF GD BE GD 3 解 过 C 作 CG AD 交 AD 延长线于 G 在直角梯形 ABCD 中 AD BC A B 90 又 CGA 90 AB BC 四边形 ABCG 为正方形 AG BC 12 已知 DCE 45 根据 1 2 可知 ED BE DG 设 DE x 则 DG x 4 AD AG DG 16 x AE AB BE 12 4 8 在 Rt AED 中 DE2 AD2 AE2 即 x2 16 x 2 82 解得 x 10 DE 10 点评 本题是一道几何综合题 内容涉及三角形的全等 图形的旋转以及勾股定理的应用 重点考查学 生的数学学习能力 是一道好题 本题的设计由浅入深 循序渐进 考虑到学生的个体差异 从 阅卷的情况看 本题的得分在 4 8 分的学生居多 前两个小题学生做得较好 第三小题 因为学生 不懂得用前面积累的知识经验答题 数学学习能力不强 造成本小题得分率较低 9 如图 点 O 是等边 ABC 内一点 将 BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60 得 ADC 连接 OD 已知 AOB 110 1 求证 COD 是等边三角形 2 当 150 时 试判断 AOD 的形状 并说明理由 3 探究 当 为多少度时 AOD 是等腰三角形 考点 等边三角形的判定 全等三角形的判定与性质 等腰三角形的判定 勾股定理的逆定理 菁优网 版权所有 专题 证明题 压轴题 探究型 分析 此题有一定的开放性 要找到变化中的不变量才能有效解决问题 解答 1 证明 CO CD OCD 60 COD 是等边三角形 3 分 2 解 当 150 即 BOC 150 时 AOD 是直角三角形 5 分 BOC ADC ADC BOC 150 又 COD 是等边三角形 ODC 60 ADO 90 即 AOD 是直角三角形 7 分 3 解 要使 AO AD 需 AOD ADO AOD 360 AOB COD 360 110 60 190 ADO 60 190 60 125 要使 OA OD 需 OAD ADO AOD 190 ADO 60 OAD 180 AOD ADO 50 60 50 110 要使 OD AD 需 OAD AOD 190 50 140 综上所述 当 的度数为 125 或 110 或 140 时 AOD 是等腰三角形 12 分 说明 第 3 小题考生答对 1 种得 2 分 答对 2 种得 4 分 点评 本题以 空间与图形 中的核心知识 如等边三角形的性质 全等三角形的性质与证明 直角三角形 的判定 多边形内角和等 为载体 内容由浅入深 层层递进 试题中几何演绎推理的难度适宜 蕴含着丰富的思想方法 如运动变化 数形结合 分类讨论 方程思想等 能较好地考查学生的 推理 探究及解决问