解指数函数和对数函数综合题的方法和策略

1 解指数函数和对数函数综合题的方法和策略解指数函数和对数函数综合题的方法和策略 一 定义域问题和值域问题 一 定义域问题和值域问题 定义域和值域 定义域和值域 定义域和值域 例例例 1 1 1 已知函数已知函数已知函数 2 1 log 1 4 a f xmxmx 1 1 1 定义域是 定义域是 定义域是 R R R 求 求 求的取值范围的取值范围的取值范围 m 2 2 2 值域是 值域是 值域是 R R R 求 求 求的取值范围 的取值范围 的取值范围 m 分析 在已知分析 在已知分析 在已知对数函数的定义域是定义域是定义域是 R R R 与值域是与值域是与值域是 R R R 求其中参数的取值范围时 要注意它 求其中参数的取值范围时 要注意它 求其中参数的取值范围时 要注意它 们是有明显区别的 们是有明显区别的 们是有明显区别的 解 解 解 1 1 1 因为函数 因为函数 因为函数的定义域是的定义域是的定义域是 R R R 故而对任意 故而对任意 故而对任意有有有 2 1 log 1 4 a f xmxmx xR 恒成立 恒成立 恒成立 2 1 1 0 4 mxmx 时 左边时 左边时 左边 恒成立 恒成立 恒成立 0 10m 1 0 4 时 由二次函数的性质可得 时 由二次函数的性质可得 时 由二次函数的性质可得 0 20m 2 0 1 0 3535 22 m mm m 2 2 2 因为函数 因为函数 因为函数的值域是的值域是的值域是 R R R 故而有 故而有 故而有 2 1 log 1 4 a f xmxmx 2 35 1 0 2 mmm A 3 5 或m 2 2 2 2 定义域和有意义 定义域和有意义 定义域和有意义 例例例 3 3 3 已知函数已知函数已知函数 124 xx f xm 1 1 1 若此函数在若此函数在若此函数在 1 1 1 上有意义 求上有意义 求上有意义 求的取值范围的取值范围的取值范围 m 2 2 2 若此函数的定义域为若此函数的定义域为若此函数的定义域为 1 1 1 求 求 求的取值范围的取值范围的取值范围 m 分析 注意定义域和有意义是有区别的 分析 注意定义域和有意义是有区别的 分析 注意定义域和有意义是有区别的 区别 有意义问题 正好转化成 恒成立问题 来处理 而 定义域问题 刚好转化成 取遍所有问题 来解决 这里转化成了解集问题 即取遍解集内所有的数值 1 1 1 因为函数因为函数因为函数在在在 1 1 1 上有意义 即上有意义 即上有意义 即 124 xx f xm 在在在 1 1 1 上有意义 所以有 上有意义 所以有 上有意义 所以有 11 2 1 24 x f xm mm 时 时 时 在在在 0 10m 124 xx f xm 1 1 1 上有意义 上有意义 上有意义 2 时 由二次函数的性质可得 时 由二次函数的性质可得 时 由二次函数的性质可得 0 20m 或或或 解得 解得 解得 1 2 2 0 1 0 m m f 且 0 1 40 m m 1 4 m 综上所述 此函数在综上所述 此函数在综上所述 此函数在 1 1 1 上有意义 上有意义 上有意义 的取值范围为的取值范围为的取值范围为或或或 m0m 1 4 m 2 2 2 若函数若函数若函数的定义域为的定义域为的定义域为 1 1 1 则 则 则在在在内恒内恒内恒 124 xx f xm 1240 xxm 1 x 成立 从而有成立 从而有成立 从而有 因为因为因为时 时 时 所以 所以 所以 2 1 2111 4224 x xx m 1 x 11 22 x 从而 从而 从而的取值范围是的取值范围是的取值范围是 2 1113 2244 x m 3 4 m 二 单调性问题二 单调性问题 对于复合函数的单调性问题 要分两步进行 第一先考虑定义域 第二再考虑定义域 第二再考虑定义域 第二再考虑单调性 在这一步中 要注意复合函数的单调性的判定法则 同向为增 异向为减 简称 同增异减 例 3 求函数单调区间 2 1 2 log 32 f xxx 分析 先考虑定义域 由定义域 由定义域 由 即函数 的定义域为定义域为定义域为 2 3201xxx 或x 2 f x 又由 又由 又由在上递上递上递减 上递上递上递在增 且 1 2 x 22 31 32 24 xxx 3 2 3 2 1 01 2 略解 由分析可得在上递上递上递增 上递上递上递减 f x 1 2 三 对称性问题和奇偶性问题 三 对称性问题和奇偶性问题 1 若函数在其定义域上满足 则函数的图象关于直线 f x f axf bx f x 对称 2 ab x 2 奇偶性问题的判定方法 1 先特殊判定 后定义证明 2 是对数函数的 先考 虑真数 后证明结论 例 4 已知函数 讨论的奇偶性 11 log 21 a x f x x 0 1 aa f x 分析一 由题意易知函数的定义域为 当时 当 f x 1 1 x 1 2 x 1 log 3 2 a f x 时 据此可判定的奇偶性 1 2 x 1 log 3 2 a f x f x 分析二 由 得 据此也可判定的奇偶性 11 1 11 xx xx A 11 1 1 1 x x x x f x 解 由题意易得函数的定义域为 f x 1 1 x 3 且 即 所以函 1111111 logloglog 0 2121211 aaa xxxx fxf x xxxx fxf x 数是奇函数 f x 例 5 设是定义在 R 上的奇函数 且满足 若时 xf 3 5 fxfx 0 4 x 求在上的解析式 2xf x xf 8 4 分析 由定义在 R 上且满足可知 函数的图象关于直线 xf 3 5 fxfx f x 对称 又时 所以时 4x 0 4 x 2xf x 4 8 x 8 2 x f x 设 则 此时 又是定义在 R 上的奇函数 所 8 4 x 4 8 x 8 2 x fx xf 以 即在上的解析式为 8 2 x f x xf 8 4 8 2 x f x 8 4 x 例 6 设是定义在 1 1 上的偶函数 与的图象关于直线对称 xf xg xf01 x 且当时 求函数的表达式 3 2 x 3 2 log 2242 g xaxxa 为实数 xf 解 注意到是定义在区间上的函数 因此 根据对称性 我们只能求出在 xg 3 2 xf 区间上的解析式 在区间上的解析式 则可以根据函数的奇偶性去求 0 1 xf 1 0 当时 由于与的图象关于直线对称 所以 01 x322 x xg xf01 x 3 3 22 2log 2224 22 log 42 f xgxaxxxax 当时 由为偶函数 可知 10 x01 x xf 3 3 22 log 42 log 42 f xfxxaxxax 所以 3 2 3 2 log 42 10 log 42 01 xaxx f x xaxx 四 周期性问题四 周期性问题 在函数的定义域内 存在非零常数 T 使得 则函数叫做周期 xf f xTf x xf 函数 T 叫做函数的一个周期 xf 推广 若 T 是函数的一个周期 则 xf f xnTf x nZ 例 7 已知奇函数满足 当时 则则则 xf 2 f xf x 0 1 x 2xf x 1 2 log 5 f 4 分析 设分析 设分析 设 则 由题意知 因为因为因为是奇函数 所以 1 0 x 0 1 x 2 x fx xf 2 x f x 1 0 x 设设设 则 从而 又函数满足 3 2 x 2 1 0 x 2 22 x f x xf 所以 由于由于由于 所以 所以 所以 2 f xf x 2 2 x f x 3 2 x 1 2 log 5 3 2 1 2 2 5 log 5 2 log 4 1 2 5 log 5 22 4 f 五 换元法解综合题换元法解综合题 例 8 设对所有实数设对所有实数设对所有实数 x x x 不等式 不等式 不等式恒成立 求求求 2 2 222 2 4 1 2 1 log2 loglog0 14 aaa xx aaa a a a 的取值范围 的取值范围 的取值范围 解 令则原不等式化为 此不等式恒成立 故 1 2 log2t a a 2 3 220t xtxt 由得 0 a 1 2 30 0 2 8 3 0 t t ttt 0 1 2 log2 a a 即即即所求求求 a a a 的取值范围