初中三角形总复习专题+典型例题+经典测试题2套

1 三角形资料三角形资料 一 三角形相关概念一 三角形相关概念 1 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点要点 三条线段 不在同一直线上 首尾顺次相接 2 三角形的表示 通常用三个大写字母表示三角形的顶点 如用 A B C 表示三角形的三个顶点时 此三角形可记作 ABC 其中 线段 AB BC AC 是三角形的三条边 A B C 分别表示三角形的三个内角 3 三角形中的三种重要线段 三角形的角平分线 中线 高线是三角形中的三种重要线段 1 三角形的角平分线 三角形一个角的平分线与这个角的对边相交 这个角的顶点和交点之间的线段叫做三 角形的角平分线 注意 注意 三角形的角平分线是一条线段 可以度量 而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线 三角形有三条角平分线且相交于一点 这一点一定在三角形的内部 三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同 可以用量角器画 也可通过尺规作图来画 2 三角形的中线 在一个三角形中 连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线 注意 注意 三角形有三条中线 且它们相交三角形内部一点 画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可 3 三角形的高线 从三角形一个顶点向它的对边作垂线 顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线 简称三角 形的高 注意 注意 三角形的三条高是线段 画三角形的高时 只需要向对边或对边的延长线作垂线 连结顶点与垂足的线段就是该边上的高 二 三角形三边关系定理 二 三角形三边关系定理 三角形两边之和大于第三边 故同时满足 ABC 三边长 a b c 的不等式有 a b c b c a c a b 三角形两边之差小于第三边 故同时满足 ABC 三边长 a b c 的不等式有 a b c b a c c b a 注意 判定这三条线段能否构成一个三角形 只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可注意 判定这三条线段能否构成一个三角形 只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可 三 三角形的稳定性 三 三角形的稳定性 三角形的三边确定了 那么它的形状 大小都确定了 三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性 例如起重机 的支架采用三角形结构就是这个道理 三角形内角和性质的推理方法有多种 常见的有以下几种 四 三角形的内角 四 三角形的内角 结论 1 三角形的内角和为 180 表示 在 ABC 中 A B C 180 1 构造平角 可过 A 点作 MN BC 如图 可过一边上任一点 作另两边的平行线 如图 2 构造邻补角 可延长任一边得 邻补角 如图 构造同旁内角 过任一顶点作射线平行于对边 如图 2 结论 2 在直角三角形中 两个锐角互余 表示 如图 在直角三角形 ABC 中 C 90 那么 A B 90 因为 A B C 180 注意 注意 在三角形中 已知两个内角可以求出第三个内角 如 在 ABC 中 C 180 A B 在三角形中 已知三个内角和的比或它们之间的关系 求各内角 如 ABC 中 已知 A B C 2 3 4 求 A B C 的度数 五 三角形的外角 五 三角形的外角 1 意义 三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角 如图 ACD 为 ABC 的一个外角 BCE 也是 ABC 的一个外角 这两个角为对顶角 大小相等 2 性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 如图中 ACD A B ACD A ACD B 三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 3 外角个数 过三角形的一个顶点有两个外角 这两个角为对顶角 相等 可见一个三角形共有六个外角 六 多边形 六 多边形 多边形的对角线条对角线 2 3 nn n 边形的内角和为 n 2 180 多边形的外角和为 360 七 三角形的分类 七 三角形的分类 按角分 三角形 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 按边分 三角形 等边三角形 三角形底边与腰不相等的等腰 等腰三角形 不等边三角形 3 2题图 DC B A E E A C B A C B A B C A B C E E 6题图7题图5题图 F E DDFDEBC AA CBBC A 考点考点 1 1 1 对下面每个三角形 过顶点 A 画出中线 角平分线和高 考点考点 2 2 1 下列说法错误的是 A 三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B 三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C 三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D 三角形的三条高可能相交于外部一点 2 下列四个图形中 线段 BE 是 ABC 的高的图形是 3 如图 3 在 ABC 中 点 D 在 BC 上 且 AD BD CD AE 是 BC 边上的高 若沿 AE 所在直线折叠 点 C 恰好落 在点 D 处 则 B 等于 A 25 B 30 C 45 D 60 4 如图 4 已知 AB AC BD 那么 1 和 2 之间的关系是 A 1 2 2 B 2 1 2 180 C 1 3 2 180 D 3 1 2 180 5 如图 5 在 ABC 中 已知点 D E F 分别为边 BC AD CE 的中点 且 4 则等于 ABC S 2 cm S阴影 A 2 B 1 C D 2 cm 2 cm 1 2 2 cm 1 4 2 cm 6 如图 7 BD DE EF FC 那么 AE 是 的中线 1 C B A CB A 2 C B A 3 4 7 如图 6 BD 则 BC 边上的中线为 1 2 BC ABD S 8 如图 1 在 ABC 中 BAC 600 B 450 AD 是 ABC 的一条角平分线 则 DAC 0 ADB 0 9 如图 2 在 ABC 中 AE 是中线 AD 是角平分线 AF 是高 则根据图形填空 BE BAD AFB 900 2 1 2 1 10 如图在 ABC 中 ACB 900 CD 是边 AB 上的高 那么图中与 A 相等的角是 A B B ACD C BCD D BDC 11 在 ABC 中 A C ABC BD 是角平分线 求 A 及 BDC 的度数 2 1 2 1 12 已知 如图 AB CD AE 平分 BAC CE 平分 ACD 求 E 的度数 13 如图 在 ABC 中 D E 分别是 BC AD 的中点 4 求 ABC S 2 cm ABE S D C B A E D C B A 1 题 D C A F 2 题题 E DC B A D C BA E D B C A 5 5题图 A O B 考点考点 3 3 1 关于三角形的边的叙述正确的是 A 三边互不相等 B 至少有两边相等 C 任意两边之和一定大于第三边 D 最多有两边相等 2 已知 ABC 中 A 200 B C 那么三角形 ABC 是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 正三角形 3 下面说法正确的是个数有 如果三角形三个内角的比是 那么这个三角形是直角三角形 如果三角形的一个外角等于与它 相邻的一个内角 则这么三角形是直角三角形 如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点 那么这个三角形是直角三角形 如果 A B C 那么 ABC 是直角三角形 若三角形的一个内角等于 2 1 另两个内角之差 那么这个三角形是直角三角形 在ABC 中 若 A B C 则此三角形是直角三角 形 A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 5 个 4 一个多边形中 它的内角最多可以有 个锐角 5 如图是一副三角尺拼成图案 则 AEB 考点考点 4 4 1 下列每组数分别是三根小木棒的长度 用它们能摆成三角形的是 A 3cm 4cm 8cm B 8cm 7cm 15cm C 13cm 12cm 20cm D 5cm 5cm 11cm 2 下列长度的三条线段能组成三角形的是 A 3 4 8 B 5 6 11 C 1 2 3 D 5 6 10 3 等腰三角形两边长分别为 3 7 则它的周长为 A 13 B 17 C 13 或 17 D 不能确定 4 ABC 中 如果 AB 8cm BC 5cm 那么 AC 的取值范围是 5 长为 11 8 6 4 的四根木条 选其中三根组成三角形有 种选法 它们分别是 6 一个等腰三角形的两条边长分别为 8 和 3 那么它的周长为 7 已知 a b c 是三角形的三边长 化简 a b c a b c 考点考点 5 5 1 不是利用三角形稳定性的是 A 自行车的三角形车架 B 三角形房架 C 照相机的三角架 D 矩形门框的斜拉条 2 下列图形中具有稳定性的有 A 正方形 B 长方形 C 梯形 D 直角三角形 3 装饰大世界出售下列形状的地砖 正方形 长方形 正五边形 正六边形 若只选购其中某一种地 1 2 3 4 砖镶嵌地面 可供选用的地砖有 A B C D 1 2 3 1 2 4 2 3 4 1 3 4 4 下列图形中具有稳定性有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 5 如图 一扇窗户打开后用窗钩 AB 可将其固定 这里所运用的几何原理是 1 2 3 4 5 6 B C A D E 6 4题图 E BD A C H 8题图 150 50 3 2 1 7题图 140 80 1 6题图 F E A C B D A 三角形的稳定性 B 两点确定一条直线 C 两点之间线段最短 D 垂线段最短 6 桥梁拉杆 电视塔底座 都是三角形结构 这是利用三角形的 性 考点考点 6 6 1 已知 ABC 的三个内角的度数之比 A B C 1 3 5 则 B 0 C 0 2 如图 已知点 P 在 ABC 内任一点 试说明 A 与 P 的大小关系 3 如图 4 1 2 3 4 等于多少度 考点考点 7 7 1 已知等腰三角形的一个外角是 120 则它是 A 等腰直角三角形 B 一般的等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰钝角三角形 2 如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为 180 那么与这个外角相邻的内角的度数为 A 30 B 60 C 90 D 120 3 已知三角形的三个外角的度数比为 2 3 4 则它的最大内角的度数 A 90 B 110 C 100 D 120 4 如图 下列说法错误的是 A B ACD B B ACB 180 A C B ACB B 5 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角 则这个三角形是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 无法确定 6 如图 若 A 100 B 45 C 38 则 DFE 等于 A 120 B 115 C 110 D 105 7 如图 1 P C B A 4 4 4 4 7 43 2 1 10题图 CB A D 8 如图 则 1 2 3 9 已知等腰三角形的一个外角为 150 则它的底角为 10 如图 在 ABC 中 D 是 BC 边上一点 1 2 3 4 BAC 63 求 DAC 的度数 考点考点 8 8 1 一个多边形的内角和等于它的外角和 这个多边形是 A 三角形 B 四边形 C 五边形 D 六边形 2 一个多边形内角和是 10800 则这个多边形的边数为 A 6 B 7 C 8 D 9 3 一个多边形的内角和是外角和的 2 倍 它是 A 四边形 B 五边形 C 六边形 D 八边形 4 一个多边形的边数增加一倍 它的内角和增加 A 180 B 360 C n 2 180 D n 180 5 若一个多边形的内角和与外角和相加是 1800 则此多边形是 A 八边形 B 十边形 C 十二边形 D 十四边形 6 正方形每个内角都是 每个外角都是 7 多边形的每一个内角都等于 150 则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有 条 8 六边形共有 条对角线 内角和等于 每一个内角等于 9 内角和是 1620 的多边形的边数是 10 如果一个多边形的每一外角都是 24 那么它是 边形 11 将一个三角形截去一个角后 所形成的一个新的多边形的内角和 12 一个多边形的内角和与外角和之比是 5 2 则这个多边形的边数为 13 一个多边形截去一个角后 所得的新多边形的内角和为 2520 则原多边形有 条边 14 已知一个十边形中九个内角的和的度数是 12900 那么这个十边形的另一个内角为 度 15 如图 CD AF CDE BAF AB BC BCD 124 DEF 80 1 观察直线AB与直线DE的位置关系 你能得出什么结论 并说明理由 2 试求 AFE的度数 16 阅读材料 并填表 在 ABC 中 有一点 P1 当 P1 A B C 没有任何三点在同一条直线上时 可构成三个不重叠的小三角形 如图 1 当 ABC 内的点的个数增加时 若其他条件不变 三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样 3 2 1 B A C P 1 P 1 C A B P 2 P 2 B A C P 1 P 3 8 完成下表 ABC 内点的个数 123 1002 构成不重叠的小三角形的个数 35 考点考点 9 9 1 下列正多边中 能铺满地面的是 A 正方形 B 正五边形 C 等边三角形 D 正六边形 2 下列正多边形的组合中 能够铺满地面的是 A 正六边形和正三角形 B 正三角形和正方形 C 正八边形和正方形 D 正五边形和正八边形 3 下列正多边形的组合中 能够铺满地面的是 A 正六边形和正三角形 B 正三角形和正方形 C 正八边形和正方形 D 正五边形和正八边形 4 用正三角形和正十二边形镶嵌 可能情况有 种 A 1 B 2 C 3 D 4 5 某装饰公司出售下列形状的地砖 正方形 长方形 正五边形 正六边形 若只选购其中某一种地砖 镶嵌地面 可供选用的地砖共有 种 A 1 B 2 C 3 D 4 6 小李家装修地面 已有正三角形形状的地砖 现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖 与正三角形地砖 在同一顶点处作平面镶嵌 则小李不应购买的地砖形状是 A 正方形 B 正六边形 C 正八边形 D 正十二边形 7 用正三角形和正四边形作平面镶嵌 在一个顶点周围 可以有 个正三角形和 个正四边形 8 2 第 n 个图案中有白色地砖 块 综合综合 1010 1 如图 在 ABC 中 B C 的平分线交于点 O 1 若 A 500 求 BOC 的度数 2 设 A n0 n 为已知数 求 BOC 的度数 第1个 第3个 第 2个 A B C O 9 2 某零件如图所示 图纸要求 A 90 B 32 C 21 当检验员量得 BDC 145 就断定这个零件不合格 你能说出其中的道理吗 3 如图 在 ABC 中 AD BC CE 是 ABC 的角平分线 AD CE 交于 F 点 当 BAC 80 B 40 时 求 ACB AEC AFE 的度数 4 如图 在直角三角形 ABC 中 ACB 90 CD 是 AB 边上的高 AB 13cm BC 12cm AC 5cm 求 1 ABC 的 面积 2 CD 的长 3 作出 ABC 的边 AC 上的中线 BE 并求出 ABE 的面积 4 作出 BCD 的边 BC 边上的高 DF 当 BD 11cm 时 试求出 DF 的长 5 在 ABC 中 已知 ABC 66 ACB 54 BE 是 AC 上的高 CF 是 AB 上的高 H 是 BE 和 CF 的交点 求 ABE ACF 和 BHC 的度数 AB C D AB C D 10 6 如图所示 在 ABC 中 B C BAD 40 并且 ADE AED 求 CDE 的度数 7 如图 AB CD 直线 交 AB CD 分别于点 E F 点 M 在 EF 上 N 是直线 CD 上的一个动点 点 N 不与 F 重合 1 当点 N 在射线 FC 上运动时 说明理由 2 当点 N 在射线 FD 上运动时 与 有什么关系 并说明理由 8 图 1 4 27 已知在 ABC 中 AB AC A 40 ABC 的平分线 BD 交 AC 于 D 求 ADB 和 CDB 的度数 9 已知 如图 5 130 在 ABC 中 ACB 90 CD 为高 CE 平分 BCD 且 ACD BCD 1 2 那么 CE 是 AB 边上的中线对吗 说明理由 11 10 已知 如图 5 131 在 ABC 中有 D E 两点 求证 BD DE EC AB AC 11 如图 18 AB CD AD BC A 的 2 倍与 C 的 3 倍互补 BE 平分 ABC 求 A DEB 的度数 12 如图 19 已知 C DAE B D 那么 AB 与 DF 平行吗 为什么 13 如图 AD 为 ABC 的中线 BE 为 ABD 的中线 1 ABE 15 BAD 40 求 BED 的度数 2 在 BED 中作 BD 边上的高 3 若 ABC 的面积为 40 BD 5 则点 E 到 BC 边的距离为多少 12 14 阅读材料 多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线 将多边形分割成若干个小三角形 图 一 给出 了四边形的具体分割方法 分别将四边形分割成了 2 个 3 个 4 个小三角形 请你按照上述方法将图 二 中 的六边形进行分割 并写出得到的小三角形的个数以及求出每个图形中的六边形的内角和 试把这一结论推广至 n边形 并推导出 n 边形内角和的计算公式 1 15 探究规律 如图 已知直线m n A B 为直线n上的两点 C P 为直线m上的两点 1 请写出图中面积相等的各对三角形 2 如果 A B C 为三个定点 点 P 在m上移动 那么无论 P 点移动到任何位置总有 与 ABC 的面积相等 理由是 16 如图 1 MA1 NA2 则 A1 A2 度 如图 2 MA1 NA3 则 A1 A2 A3 度 如图 3 MA1 NA4 则 A1 A2 A3 A4 度 如图 4 MA1 NA5 则 A1 A2 A3 A4 A5 度 从上述结论中你发现了什么规律 如图 5 MA1 NAn 则 A1 A2 A3 An 度 n m O BA P C 1 1 1 13 三角形专题训练一 姓名 得分 一 填空题 每题一 填空题 每题 3 3 分 共分 共 3030 分 分 1 由 ABC 中 AB 2cm BC 4cm 则 AC 的取值范围是 2 如图 1 A 的外角为 120 B 为 40 则 C 图 1 图 2 图 3 3 在 ABC 中 A 50 高 BE CF 相交于点 O 则 BOC 4 如图 2 所示 在 ABC 中 A 42 B 和 C 的三等分线分别交于点 D E 则 BDC 5 如图 3 四边形 ABCD 中 A C 90 B x D x 60 则 D 6 如图 4 所示 已知点 D 是 AB 上一点 点 E 是 AC 上一点 BE CD 相交于点 F A 50 ACD 40 ABE 28 则 CFE 的度数为 图 4 图 5 7 ABC 的三边 a b c 满足 3 a 2 7 b 0 且 c 为偶数 则 c 8 如图 5 所示 AOB 是一钢架 且 AOB 10 为了使钢架更加坚固 需在其内部添加一些钢管 EF FG GH 添加的钢管长度都与 OE 相等 则最多能添加这样的钢管 根 9 如图 6 要把直钢 1 弯成 120 的钢角 2 直钢 1 所截成的缺口是 度 图 6 图 7 图 8 图 7 10 某体育馆用大小相同的长方形地板镶嵌地面 第 1 次铺 2 块 如图 7 所示 第 2 次把第 1 次铺的完全包围 起来 如图 8 所示 第 3 次把第 2 次铺的完全包围在起来 如图 9 所示 依此方法 第 n 次铺完后 所使用的地板块数为 用含 n 的式子表示 二 选择题 每题二 选择题 每题 3 3 分 共分 共 3030 分 分 14 11 下面四种正多边形中 用同一种图形不能平面镶嵌的是 A 正三角形 B 正六边形 C 正四边形 D 正六边形 12 ABC 中 三个内角 A B C 1 2 3 则三角形的三个内角为 A 30 60 90 B 40 40 100 C 60 60 60 D 45 45 90 13 如图 10 所示 在正三角形 ABC 中 AO BO OC 是三角形 ABC 角平分线交点 则 1 2 为 A 60 B 150 C 30 D 120 图 10 图 11 图 12 14 一个 n 边形每一个外角为 15 则 n 为 A 20 B 23 C 25 D 24 15 如图 11 所示 BAC 为钝角 AD BC 于 D BE AC 于 E CF AB 于 F ABC 中 AC 边上的高为 A AD B BE C CF D AF 16 四边形 ABCD 中 A B C D 的度数比为 2 3 4 3 则 D A 60 B 75 C 90 D 120 17 如图 12 所示 已知 1 60 A B C D E F A 180 B 360 C 240 D 200 18 如图 13 所示 表示 1 2 3 4 的关系正确的选项为 A 1 2 4 3 B 1 3 2 4 C 1 2 3 4 D 1 2 4 3 图 13 图 14 19 下列各组中的三条线段不能组成三角形的是 A a b n c 2n n 0 B a 6 b 3 c 8 C a b c 2 3 4 D a m 1 b m 2 c m 3 m 0 20 如图 14 ABC 中 BD 平分 ABC CD 平分 ACE 则 A 与 D 的关系是 A D A B D 2 A C D A 90 D 以上都不对 1 2 三 解答题 共三 解答题 共 6060 分 分 21 10 分 如图所示 BD CE 是 ABC 的两条高 它们的交点为 O 1 图中有哪几个直角三角形 2 试说明 1 2 3 若 A 50 ABC 70 求 3 和 4 的度数 15 22 6 分 如图所示是 45 60 的三角板拼图 求出四边形 ABCD 各角的度数 23 8 分 如图 已知 A 50 B 30 C 20 试求 DEB 24 8 分 如图所示 小张从家 图中 A 处 出发 向南偏东 40 的方向走到学校 图中 B 处 再从学校出 发 向北偏西 75 的方向走到小明家 图中 C 处 试问 ABC 为多少度 说明你的理由 25 8 分 如图 已知在 ABC 中 AD 是高 AE 是角平分线 B 42 C 84 试求 AEC DAE 26 10 分 如图所示 在 ABC 中 BD CD 是内角平分线 BP CP 是 ABC ACB 的外角平分线 分别交 于 D P 1 若 A 30 求 BDC BPC 2 不论 A 为多少时 探索 D P 的值是变化还是不变化 为什么 16 27 10 分 1 如图 所示 1 2 与 B C 有什么关系 为什么 2 如图 若把 ABC 纸片沿 DE 点折叠当点 A 落在四边形 BCED 内部时 则 A 与 之间有一种数 量关系始终保持不变 请写出这个规律 并说明理由 三角形专题训练二 姓名 得分 一 填空题 每题 3 分 共 30 分 1 顶点是 A B D 的三角形用符号表示记作 2 如图所示 图中共有 个三角形 其中以 AB 为一边的三角形有 个 以 C 为一个内角的 三角形有 个 3 如图 在ABC 中 已知 AE 是中线 AD 是角平分线 AF 是高 根据已知条件填空 BE 2 1 BAD 2 1 AFD 90 4 按角对三角形进行分类 可把三角形分为 三角 三角形和 三角形 5 在一个三角形的内角中 最多有 个钝角 至少有 个锐角 6 在ABC 中 B 60 A 70 则 C 7 在ABC 中 AB AC AD 为 BC 边上的中线 若 B 500 则 BAD 的度数为 8 三角形的两条边长分别是 5 8 第三边的取值范 围是 17 二 选择题 每题 3 分 共 30 分 1 下列说法正确的是 A 三角形的角平分线是射线 B 三角形三条高都在三角形内 C 三角形的三条角平分线有可能在三角形内 也可能在三角形外 D 三角形三条中线相交于一点 2 在 Rt 中 两个锐角关系是 A 互余 B 互补 C 相等 D 以上都不对 3 以下列长度的三条线段为边 能构成三角形的是 A 7 8 15 B 15 20 5 C 6 7 5 D 7 6 14 4 下列图中 是全等的图形是 5 在 ABC 中 A 390 B 410 则 C 的外角度数为 A 80 度 B 100