第二章-极限与连续--基础练习题(含解答)

第二章第二章 极限与连续极限与连续 基础练习题 作业 基础练习题 作业 2 1 数列的极限数列的极限 一 观察并写出下列数列的极限 1 极限为 1 4 6 8 2 3 5 7 2 极限为 0 1 11 1 1 2 34 5 3 极限为 1 21 2 21 2 n n n n n n a n 为奇数 为偶数 2 2 函数的极限函数的极限 一 画出函数图形 并根据函数图形写出下列函数极限 1 lim x x e 极限为零 2 2 lim tan x x 无极限 3 lim arctan x x 极限为 2 4 0 lim ln x x 无极限 趋于 二 设 问当 时 的极限是否存在 2 2 21 1 3 12 1 2 xx f xxxx xx 1x 2x f x 2 11 lim lim 3 3 xx f xxx 11 lim lim 21 3 xx f xx 1 lim 3 x f x 2 22 lim lim 1 3 xx f xx 2 22 lim lim 3 53 xx f xxx 不存在 2 lim x f x 三 设 求 时的左 右极限 并说明时极限是否存在 1 1 1 x f x e 0 x 0 x 1 00 1 limlim0 1 xx x f x e 1 00 1 limlim1 1 xx x f x e 不存在 0 lim x f x 四 试讨论下列函数在时极限是否存在 0 x 1 绝对值函数 存在极限为零 f xx 2 取整函数 不存在 f xx 3 符号函数 不存在 sgn f xx 2 3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 一 判断对错并说明理由 1 是无穷小量 1 sinx x 错 无穷小量需相对极限过程而言 在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能 不再是无穷小量 当时 当时 不是无穷小量 0 x 1 sin0 x x 1x 1 sinsin1x x 2 同一极限过程中两个无穷小量的商 未必是该极限过程中的无穷小量 对 两个无穷小量的商是 0 0 型未定式 即可能是无穷小量 也可能是无穷大量或其它 有极限但极限不为零的变量 3 无穷大量一定是无界变量 而无界变量未必是无穷大量 对 无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量 但无界变量可能是个别点无限增大 变量并不能一致地大于任意给定的正数 二 二 下列变量在哪些极限过程中是无穷大量 在哪些极限过程中是无穷小量 1 2 2 1 x x 时 或时 为无穷小量 2x x 时 或时 为无穷大量 1x 1x 2 1 lntan x kZ 时 则 从而为无穷小量 2 xk tan x lntan x 1 0 lntan x 时 则 从而为无穷小量 xk tan0 x lntan x 1 0 lntan x 时 则 从而为无穷大量 4 xk tan1x lntan0 x 1 lntan x 三 当时 和都是无穷小量 它们是否为同阶无穷小量 如果不是它0 x 2 xx 3 x 们之间最高阶和最低阶的无穷小量分别是谁 所以当时 是的高阶无穷小量 2 00 limlim0 1 xx xx x x 0 x 2 xx 所以当时 是的高阶无穷小量 223 3 00 limlim0 1 xx xxx x 0 x 2 x 3 x 所以当时 是的高阶无穷小量 6 3 00 limlim0 1 xx xx x 0 xx 3 x 通过比较可知 当时 和不是同阶无穷小量 其中是和的0 x 2 xx 3 x 2 xx 3 x 高阶无穷小量 因此是三者中最高阶的无穷小量 和都是的高阶无穷小量 2 x 2 xx 3 x 因此是三者中最低阶的无穷小量 3 x 四 利用无穷小量与极限的关系证明 000 lim lim lim xxxxxx f x g xf xg x 证明 设 则由无穷小量与极限的关系 0 lim xx f xA 0 lim xx g xB f xA 其中为时的无穷小量 g xB 0 xx 则 0 lim xx f x g x 00 lim lim xxxx ABABBA AB 00 lim lim xxxx f xg x 2 4 极限的性质与运算法则极限的性质与运算法则 一 如果 则存在的空心邻域 使得 1 2 4 成立 0 lim 0 xx f xA 0 x 1 有界 2 非负 3 落入其中 4 f x f x f x f xA 0 二 求下列函数的极限 1 2 11 3 2 lim 3 2 nn nn n 1 1 32 1 21 1 lim nn n 3 4 2 1 34 lim 1 x xx x 3 1 13 lim 11 x xx 5 6 2 lim412 x xxx 33 lim1 x xx 原式 原式 2 1 lim 412 x x xx 332332 1 lim 1 1 x xxxx 2 11 lim 41 42 x x 2 2 33 33 1 0 lim0 311 11 1 x x xx 三 求 使得 a b 2 1 lim0 1 x x axb x 22 1 1 limlim0 1 1 1 xx b xaxab xaxaxbxb xx x x 原式 必有同时有1 a 否则原式 0 0 ab 否则原式 四 若为有限值 求 32 1 4 lim 1 x xaxx b x a b 32 1 lim404 x xaxxa 由题意必有 否则商的极限不可存在 32 11 44 1 1 4 lim lim10 11 xx xxxxxx bb xx 原式 2 5 极限存在性定理与两个重要极限极限存在性定理与两个重要极限 一 判断题 1 错 1 sin lim1 x x x 2 对 1 sin 1 lim1 1 x x x 3 错 sin lim1 x x x 4 对 1 lim sin1 x x x 5 错 0 1 lim sin1 x x x 6 对 0 1 lim 1 x x e x 7 当时 都是的等价无穷小 对0 x sin arcsin tan arctan ln 1 1 x xxxxx e x 二 求下列函数极限 1 2 0 sin2 lim tan3 x x x 2 2 sin 4 lim 2 x x x sin22 0 tan33 xx x xx 下 22 0 sin 4 4xxx 下 00 sin222 limlim tan333 xx xx xx 2 2 4 lim4 2 x x x 下下 3 4 0 lim arctan x x x 1 lim 1 x x x x 0 arctanxxx 下 2 11 22 22 lim11 11 x x xx 00 limlim1 arctan xx xx xx 2 11 22 2 22 lim 11 11 x x e xx 5 6 1 1 1 lim x x x 1 1 1 lim 11 x x x 2 2 lim 1 x x x x lim 11 xx x xx xx 1 1 1 1 lim 11 x x xe 1 11 lim 111 xx x ee xx 7 8 23 0 1 limln 1 x xxx x 0 sin sin lim ln 1 x x x 2323 ln 1 0 xxxxxxx sin sin sin ln 1 0 xxxx x 23 23 00 1 limln 1 lim1 xx xxx xxx xx 00 sin sin sin limlim1 ln 1 xx xx xx 三 求极限 222 12 lim 12 n n nnnnnnn 22222 121212 121 nnn nnnnnnnnnnnn 22 12 1 21 limlim 2 nn nn n nnnnnn 22 12 1 21 limlim 112 nn nn n nnnn 下 由两面夹法则 222 121 lim 122 n n nnnnnnn 四 设 证明数列的极限存在 222 111 1 23 n u n n u 1 2 1 0 1 nnn uuu n 为单调递增数列 22222 111111 11 2323 n u nn 下 由单调有界定理 数列的极限存在 n u 五 设 且有 证明数列的极限存在 0 a 1 0 x 1 1 2 nn n a xx x 1 2 n n x 并求极限 1 1 2 nnn n a xxax x 下下下 2 1 11 0 22 n nnnn nn axa xxxx xx 又单调递减 从第二项起 由单调有界定理 数列的极限存在 n x 1 lim 2 n n a xAAAAa A 下下下下下下下 2 6 函数的连续性函数的连续性 一 填空题 1 设函数 若补充 1 可使在处连续 x x xf 1ln 0f xf0 x 2 是函数的第 1 类间断点 且为 可去 间断点 1 x 23 1 2 2 xx x y 3 是函数的第 1 类间断点 且为 可去 间断点 0 x tan x y x 是函数的第 2 类间断点 且为 无穷 间断点 2 1kkx tan x y x 是函数的第 1 类间断点 且为 可去 间断 2 1 2 kkx tan x y x 点 4 是函数的第 1 类间断点 且为 跳跃 间断点 ax ax ax y 5 是函数的第 2 类间断点 0 x x y 1 cos2 二 研究下列各函数的连续性 找出其间断点 并判断其类型 1 2 2 1 cos 0 1 0 x x f xx xx 为第一类跳跃间断点 2 2 00 1 cos1 limlim 1 1 2 xx x x x 下0 x 2 1 x f xe 为第二类无穷间断点 11 00 lim0 lim xx xx ee 下0 x 3 2 2 1 xx f x xx 1 1 1 x x xxx 为第一类跳跃间断点 0 x 为第一类可去间断点 1x 为第二类无穷间断点1x 四 确定使 sin 0 0 1 sin 0 x x x f xax bxx x a b 1 在处有极限 f x0 x 00 sin1 limlim sin xx x bx xx 1 b 2 在处连续 f x0 x 00 sin1 limlim sin xx x bxa xx 1 a 五 确定使同时满足 1 x eb f x xa x a b 1 是的无穷间断点 即0 x f x 2 是的可去间断点 即 00 1 lim lim 0 1 x xx ebb f xa xa xa 1 x f x 11 lim lim 0 x