公开课教案：等差数列

等差数列 一 教学目的教学目的 通过实例 理解等差数列的概念 让学生对日常生活中实际问题分析 引导学生 通过观察 分析 概括出等差数列的概念 让学生展示知识的形成过程 教学重点 教学重点 理解等差数列的概念 教学难点 教学难点 概括等差数列的概念过程中体现出的数学思想方法 教学过程教学过程 1 回顾 1 数列的定义 按一定顺序排成的一列数 2 有两种表示数列的公式 1 通项公式 2 递推公式 3 数列的分类 1 按项数的多少可分为 有穷数列 无穷数列 2 按项的大小变化可分为 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 二 探究 一 创设情景 以上对数列的分类中 我们对哪一类数列想做进一步的研究 启发学 生说出 递增数列 递减数列 这样可以避免探究的盲目性 因此 这节课我们来学习等 差数列 这不仅仅是我们喜欢这样做 而是因为日常生活中存在着大量的例子 由学生观察分析下列例子 并得出答案 1 在现实生活中 我们经常这样数数 从 0 开始 每隔 5 数一次 可以得到数列 0 5 2 2000 年 在澳大利亚悉尼举行的奥运会上 女子举重被正式列为比赛项目 该项 目共设置了 7 个级别 其中较轻的 4 个级别体重组成数列 单位 kg 48 53 58 63 3 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境 用定期放水清理水库的杂鱼 如果一个水库的水位为 18cm 自然放水每天水位降低 2 5m 最低降至 5m 那么从开始放 水算起 到可以进行清理工作的那天 水库每天的水位组成数列 单位 m 18 15 5 13 10 5 8 5 5 4 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利 即不把利息加入本金计算 下一期的利息 按照单利计算本利和的公式是 本利和 本金 1 利率 寸期 例如 按活期存入 10 000 元钱 年利率是 0 72 那么按照单利 5 年内各年末的本利和分别是 时间年初本金 元 年末本利和 元 第 1 年 10 00010 072 第 2 年 10 00010 144 第 3 年 10 00010 216 第 4 年 10 00010 288 第 5 年 10 00010 360 各年末的本利和 单位 元 组成了数列 10 072 10 144 10 216 10 288 10 360 二 抽象概括 观察上面的这四个数列 0 5 10 15 20 48 53 58 63 18 15 5 13 10 5 8 5 5 10 072 10 144 10 216 10 288 10 360 看这些数列有什么共同特点呢 引导学生观察相邻两项间的关系 启发学生重点分析数列 的特点 在几种表达中选择这种表达 对于数列 从第 2 项起 每一项与前一项的差都等于 5 随后的几种数列的特点就容易表达了 对于数列 从第 2 项起 每一项与前一项的差都等于 5 对于数列 从第 2 项起 每一项与前一项的差都等于 2 5 对于数列 从第 2 项起 每一项与前一项的差都等于 72 其中的 从第 2 项起 每一项与前一项的差都等于 容易看出是共同的 而 5 5 2 5 72 可以统称为 常数 因此 启发学生得出 概括 数列 的共同特点 从第 2 项起 每一项与前一项的差都等于同一个常数 对以上的共同特点下定义时 语言一定要准确和简练 需做进一步的修改 最后写为 等差数列 一般地 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的差等于同一个 常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母 d 表示 那么对于以上四组等差数列 它们的公差依次是 5 5 2 5 72 注意 公差 d 一定是由后项减前项所得 而不能用前项减后项来求 对于数列 若 d d 是与 n 无关的数或字母 n 2 n N 则此 n a n a 1 n a 数列是等差数列 d 为公差 提问 1 你能举一些生活中的等差数列的例子吗 2 如果在与中间插入一个数 A 使 A 成等差数列数列 那么 A 应满abab 足什么条件 由学生回答 因为 a A b 组成了一个等差数列 那么由定义可以知道 A a b A 所以就有 2 ba A 由三个数 a A b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列 这时 A 叫做 a 与 b 的 等差中项 不难发现 在一个等差数列中 从第 2 项起 每一项 有穷数列的末项除外 都是它的 前一项与后一项的等差中项 如数列 1 3 5 7 9 11 13 中 5 是 3 和 7 的等差中项 1 和 9 的等差中项 9 是 7 和 11 的等差中项 5 和 13 的等差中项 三 课堂练习 判断下列数列中哪些是等差数列 哪些不是 如果是 写出首项 a1 和公差 d 如果不是 说明理由 1 1 1 1 1 1 2 4 7 10 13 16 3 3 2 1