计算方法试题

计算方法计算方法 答案答案 一 判断题 下列各题 你认为正确的 请在括号内打 错的打 每题 2 分 共 12 分 1 任何近似值的绝对误差总是大于其相对误差 2 3 步 Adams 隐式法比 4 步 Adams 显式法的绝对稳定性要好 3 在任何情况下 求解线性方程组时 Sidel 迭代法总是优于 Jacobi 迭代法 4 设 若 则 其中 baCxf n 0 xf n bax 0 10 n xxxf baxi ni 1 0 5 给定个数据点 则至多构照次最小二乘多项式 n1 n 6 数值求积公式的代数精确度越高 计算结果越可靠 二 填空题 1 2 3 小题每空 1 分 其他题每空 2 分 共 20 分 1 设是一个的矩阵 是一个的矩阵 是一个的矩阵 A108 B5010 C150 是D 一个的矩阵 根据矩阵乘法结合率 可按如下公式计算801 ABCDF 1 2 DBCAF CDBAF 则公式 1 效率更高 其计算量为 1240flops 2 设数据的相对误差限分别为和 那么两数之商的相对误差限为 21 x x05 0 005 0 2 1 x x 0 055 2 1 x x r 3 设 则4 5 4 11 23 A 1 A A F A15 A 4 Acond 4 计算的割线法迭代公式为 3 a 2 11 2 11 1 3 1 3 3 1 kkkk kkkk kk kk k kk xxxx xxxx xx xx x xx 5 求解初值问题的改进后的 Euler 公式为 0 0 exp 2 y xy exp exp 2 2 1 2 1 nnnn xx h yy 6 将正定矩阵作分解 则 201 032 124 A T LL L 8 13 4 2 2 1 021 002 7 解线性方程组的Seidel迭代格式是 244 3043 2434 32 321 21 XX XXX XX 3 2 1 3 3 2 1 2 2 1 1 163 1 64 9 4 21 4 1 16 9 3 4 3 6 kkk kkk kk xxx xxx xx 8 用HouseHold矩阵H将矩阵化为上三角阵R 则 240 430 432 A H R 6 08 00 8 06 00 001 4 100 8 450 432 三 14分 设线性方程组的矩阵 证明对此矩阵Jacobi迭bAx 211 222 112 A 代法发散而Seidel迭代法收敛 解 1 02 12 1 101 2 12 10 1A DIBJ 4 5 2 12 1 11 2 12 1 3 J BI 所以 Jacobi 迭代法发散1 2 5 J B 2 2 100 2 12 10 2 12 10 1U LDBS 解得 2 2 1 S BI0 1 2 1 3 2 所以 Seidel 迭代法收敛1 2 1 S B 四 12 分 为次多项式 已知 且的所有 xPn2 0 P1 1 P4 2 P xP 三阶向前差分均为 1 1 以为节点建立的阶 Newton 向前差分插值多项式 并n 2 1 0 xPn xNn 求 xNxP n 2 求和的系数 n 2 x 解 因为的所有三阶向前差分均为 1 所以其四阶以上向前差分均为 0 可知 xP 3 n 向前差分表为 x 0 1 2 3 y 2 1 4 一阶差分 3 5 二阶差分 8 三阶差分 1 由于所有三阶向前差分均为 1 所以所有四阶向前差分均为 0 因此 32 6 1 2 7 3 20 2 2 1 3 1 1 2 8 32 xxxxxxxxxxNn 由 1 2 1 0 nxxxxnPxNxPxR nn 因为 所以 所以3 n0 2 1 0 xnP 0 xNxP n 所以 的系数为 32 6 1 2 7 3 20 2 xxxxNxP n 3 n 2 x 2 7 五 8 分 用复合梯形求积公式计算的近似值和 并使用外推法外推一 1 1 2 1 1 dx x 2 T 4 T 次 得到更精确的近似值 解 2 3 2 1 12 2 1 2 1 1 0 2 1 2 1 2 fffT 20 31 2 1 5 4 212 5 4 2 2 1 2 1 1 2 1 2 0 2 2 1 2 1 4 1 4 fffffT 外推 30 47 3 2 3 5 31 3 4 2 1 1 2 1 24 2 2 2 4 TT TT 六 6 分 迭代公式收敛于 计算出此公式的阶 4 6 2 222 1 axx aaxx x kk kk k a 解 4 4 6 2 4 2 222 1 axx ax a axx aaxx ax kk k kk kk k aaaxxax ax kk k k k k8 1 4 1 2 4 1 limlim 此公式的阶为 4 七 8 分 已知一组数据表如下 i x 2 1012 i y21012 试用最小二乘法求形如的四次拟合曲线 42 cxbxay 解 1 0 2 1 x 4 2 x 5 00 10 2 0110 i x 34 4 021120 i x 130 6 1221 i x 514 8 22 i x 6 0 i yf 18 2 1 ii yxf 66 4 2 ii yxf 66 18 6 51413034 1303410 34105 c b a 解得 0 a 6 7 b 6 1 c 四次拟合曲线为 6 7 22 xx 0 0 1 1 1 2 2 2 平方误差为0 八 8 分 求 和使得数值积分公式ABCD 1 0 1 0 1 0 fDfCBfAfdxxf 的代数精确度尽可能高 并给出其最大代数精确度 8 分 解 时1 xf0 x f 1 11 1 0 BAdx 时xxf 1 x f 2 2 1 1 0 DCBxdx 时 2 xxf xxf2 3 3 1 2 1 0 2 DBdxx 时 3 xxf 2 3 xxf 4 4 1 3 1 0 3 DBdxx 由 1 2 3 4 解得 2 1 A 2 1 B 12 1 C 12 1 D 即 1 12 1 0 12 1 1 2 1 0 2 1 1 0 ffCffdxxf 当时 4 xxf 3 4 xxf 6 1 4 12 1 0 12 1 1 2 1 0 2 1 5 1 1 0 4 dxx 此公式代数精确度为 3 九 10 分 证明初值问题 00 yxy yxfy 的计算公式 85 12 111 nnnnn fff h yy 是三阶方法 证明 将所有公式在处展开 n xx 2462 5 4 432 1 hy h y h y h yhyy nnnnnn 62 4 4 32 11 hy h y h yhyyf nnnnnn nnn yyxf 62 4 4 32 11 hy h y h yhyyf nnnnnn 局部截断误差为 85 12 1111 nnnnnn fff h yyT nnnnnn yhy h y h y h yhy 2462 5 4 432 nnnnn y h hy h y h y h y h 12 8 72 5 24 5 12 5 12 5 5 4 432 72241212 5 4 432 hy h y h y h y h nnn