圆锥曲线基础知识

圆锥曲线圆锥曲线 1 1 圆锥曲线的两个定义圆锥曲线的两个定义 1 第一定义第一定义中要重视重视 括号括号 内的限制条件内的限制条件 椭圆中椭圆中 与两个定点 F F 的距离的 12 和等于常数 且此常数常数一定要大于一定要大于 当常数等于时 轨迹是线段 F F 2a2a 21F F 21F F 12 当常数小于时 无轨迹 双曲线中双曲线中 与两定点 F F 的距离的差的绝对值等于常数 21F F 12 且此常数一定要小于 F F 定义中的 绝对值绝对值 与与 F F F F 不可忽视不可忽视 若2a2a 12 2a 12 F F 则轨迹是以 F F 为端点的两条射线 若 F F 则轨迹不存在 若2a 1212 2a 12 去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支 如 如 1 1 已知定点 在满足 0 3 0 3 21 FF 下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 A B 4 21 PFPF6 21 PFPF C D 答 C 2 2 方程10 21 PFPF12 2 2 2 1 PFPF 表示的曲线是 答 双曲线的左支 2222 6 6 8xyxy 2 第二定义第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线注意定点和定直线是相应的焦点和准线 且 点点距为分子 点线距点点距为分子 点线距 为分母为分母 其商即是离心率 圆锥曲线的第二定义 给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此e 点到相应准线距离间的关系 要善于运用第二定义对它们进行相互转化运用第二定义对它们进行相互转化 如如已知点 及抛物线上一动点 P x y 则 y PQ 的最小值是 答 2 0 22 Q 4 2 x y 2 2 圆锥曲线的标准方程圆锥曲线的标准方程 标准方程是指中心 顶点 在原点 坐标轴为对称轴时的标准 位置的方程 1 椭圆椭圆 焦点在轴上时 参数方程 x1 2 2 2 2 b y a x 0ab cos sin xa yb 其中为参数 焦点在轴上时 1 方程表示椭圆 y 2 2 2 2 b x a y 0ab 22 AxByC 的充要条件是什么 ABC 0 且 A B C 同号 A B 如 如 1 1 已知方程 表示椭圆 则的取值范围为 答 2 2 若1 23 22 k y k x k 11 3 2 22 且 则的最大值是 的最小值是 答 Ryx 623 22 yxyx 22 yx 5 2 2 双曲线双曲线 焦点在轴上 1 焦点在轴上 1 x 2 2 2 2 b y a x y 2 2 2 2 b x a y 方程表示双曲线的充要条件是什么 ABC 0 且 A B 异号 0 0ab 22 AxByC 如 如 1 1 双曲线的离心率等于 且与椭圆有公共焦点 则该双曲线的方程 2 5 1 49 22 yx 答 2 2 设中心在坐标原点 焦点 在坐标轴上 离心率 2 2 1 4 x y O 1 F 2 F 的双曲线 C 过点 则 C 的方程为 答 2 e 10 4 P 22 6xy 3 抛物线抛物线 开口向右时 开口向左时 开口向 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 上时 开口向下时 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 3 3 圆锥曲线焦点位置的判断圆锥曲线焦点位置的判断 首先化成标准方程 然后再判断 1 椭圆椭圆 由 分母的大小决定 焦点在分母大的坐标轴上 如如已知方程x 2 y 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆 则 m 的取值范围是 答 1 21 22 m y m x 2 3 1 1 2 双曲线双曲线 由 项系数的正负决定 焦点在系数为正的坐标轴上 x 2 y 2 3 抛物线抛物线 焦点在一次项的坐标轴上 一次项的符号决定开口方向 特别提醒特别提醒 1 1 在求解椭圆 双曲线问题时 首先要判断焦点位置 焦点 F F 的位 12 置 是椭圆 双曲线的定位条件 它决定椭圆 双曲线标准方程的类型 而方程中的两个参 数 确定椭圆 双曲线的形状和大小 是椭圆 双曲线的定形条件 在求解抛物线问题 a b 时 首先要判断开口方向 2 在椭圆中 最大 在双曲线中 最大 a 222 abc c 222 cab 4 4 圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质 1 椭圆椭圆 以 为例 范围 1 2 2 2 2 b y a x 0ab 焦点 两个焦点 对称性 两条对称轴 axabyb 0 c 0 0 xy 一个对称中心 0 0 四个顶点 其中长轴长为 2 短轴长为 2 准线 0 0 ab ab 两条准线 离心率 椭圆 越小 椭圆越圆 越大 2 a x c c e a 01e ee 椭圆越扁 如 如 1 1 若椭圆的离心率 则的值是 答 3 或 1 5 22 m yx 5 10 em 3 25 2 2 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时 则椭圆长轴的最小 值为 答 22 2 双曲线双曲线 以 为例 范围 或 22 22 1 xy ab 0 0ab xa xa yR 焦点 两个焦点 对称性 两条对称轴 一个对称中心 0 0 两 0 c 0 0 xy 个顶点 其中实轴长为 2 虚轴长为 2 特别地 当实轴和虚轴的长相等时 称 0 a ab 为等轴双曲线 其方程可设为 准线 两条准线 离心率 22 0 xyk k 2 a x c 双曲线 等轴双曲线 越小 开口越小 越大 开口越大 c e a 1e 2e ee 两条渐近线 如 如 1 1 双曲线的渐近线方程是 则该双曲线的离心率 b yx a 023 yx 等于 答 或 2 2 双曲线的离心率为 则 13 2 13 3 22 1axby 5 a b 答 4 或 3 3 设双曲线 a 0 b 0 中 离心率 e 2 1 4 1 2 2 2 2 b y a x 2 则两条渐近线夹角 的取值范围是 答 3 2 3 抛物线抛物线 以为例 范围 焦点 一个焦点 2 2 0 ypx p 0 xyR 其中的几何意义是 焦点到准线的距离 对称性 一条对称轴 没有对 0 2 p p0y 称中心 只有一个顶点 0 0 准线 一条准线 离心率 抛物线 2 p x c e a 如如设 则抛物线的焦点坐标为 答 1e Raa 0 2 4axy 16 1 0 a 5 5 点 点和椭圆和椭圆 的关系 的关系 1 点在椭圆外 00 P xy1 2 2 2 2 b y a x 0ab 00 P xy 2 点在椭圆上 1 3 点在椭圆内 22 00 22 1 xy ab 00 P xy 2 2 0 2 2 0 b y a x 00 P xy 22 00 22 1 xy ab 6 6 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系 1 相交 直线与椭圆相交 直线与双曲线相交 但直线与双曲线0 0 相交不一定有 当直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交且只有一个交点 0 故是直线与双曲线相交的充分条件 但不是必要条件 直线与抛物线相交 0 0 但直线与抛物线相交不一定有 当直线与抛物线的对称轴平行时 直线与抛物线相交0 且只有一个交点 故也仅是直线与抛物线相交的充分条件 但不是必要条件 如 如 1 1 0 若直线 y kx 2 与双曲线 x2 y2 6 的右支有两个不同的交点 则 k 的取值范围是 答 1 2 2 直线 y kx 1 0 与椭圆恒有公共点 则 m 的取值范围是 3 15 22 1 5 xy m 答 1 5 5 3 3 过双曲线的右焦点直线交双曲线于1 21 22 yx A B 两点 若 AB 4 则这样的直线有 条 答 3 2 相切 直线与椭圆相切 直线与双曲线相切 直线0 0 0 与抛物线相切 3 相离 直线与椭圆相离 直线与双曲线相离 直线0 0 0 与抛物线相离 特别提醒特别提醒 1 1 直线与双曲线 抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形 相切 和相交 如果直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交 但只有一个交点 如果直线 与抛物线的轴平行时 直线与抛物线相交 也只有一个交点 2 2 过双曲线 1 外一 2 2 2 2 b y a x 点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下 P 点在两条渐近线之间且不含双 00 P xy 曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线 共四条 P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲 线一支相切的两条切线 共四条 P 在两条渐近线上但非原点 只有两条 一条是与另一 渐近线平行的直线 一条是切线 P 为原点时不存在这样的直线 3 3 过抛物线外一点总 有三条直线和抛物线有且只有一个公共点 两条切线和一条平行于对称轴的直线 如 如 1 1 过点作直线与抛物线只有一个公共点 这样的直线有 答 2 2 2 4 2 xy8 2 过点 0 2 与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 答 1 169 22 yx 3 3 过双曲线的右焦点作直线 交双曲线于 A B 两点 若 44 5 33 1 2 2 2 y xl 4 则满足条件的直线 有 条 答 3 4 4 对于抛物线 C 我们称满 ABlxy4 2 足的点在抛物线的内部 若点在抛物线的内部 则直线 0 2 0 4xy 00 yxM 00 yxMl 与抛物线 C 的位置关系是 答 相离 5 5 过抛物线的焦 2 00 xxyy xy4 2 点作一直线交抛物线于 P Q 两点 若线段 PF 与 FQ 的长分别是 则Fpq 答 1 6 6 设双曲线的右焦点为 右准线为 设某 qp 11 1 916 22 yx Fl 直线交其左支 右支和右准线分别于 则和的大小关系为mRQP PFR QFR 填大于 小于或等于 答 等于 7 7 求椭圆上的点到直线2847 22 yx 的最短距离 答 8 8 直线与双曲线交于 01623 yx 8 13 13 1 axy13 22 yxA 两点 当为何值时 分别在双曲线的两支上 当为何值时 以 AB 为直径BaABa 的圆过坐标原点 答 3 3 1a 7 7 焦半径 焦半径 圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离 的计算方法的计算方法 利用圆锥曲线的第二定义 转化到相应准线的距离 即焦半径 其中表示 P 到与 F 所对应的准线的距离 如如red d 1 1 已知椭圆上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3 则点 P 到右准线的距离为1 1625 22 yx 答 2 2 已知抛物线方程为 若抛物线上一点到轴的距离等于 5 35 3 xy8 2 y 则它到抛物线的焦点的距离等于 3 3 若该抛物线上的点到焦点的距离是 4 则点M 的坐标为 答 4 4 点 P 在椭圆上 它到左焦点的距离M7 2 4 1 925 22 yx 是它到右焦点距离的两倍 则点 P 的横坐标为 答 5 5 抛物线上 25 12 xy2 2 的两点 A B 到焦点的距离和是 5 则线段 AB 的中点到轴的距离为 答 2 y 6 6 椭圆内有一点 F 为右焦点 在椭圆上有一点 M 使1 34 22 yx 1 1 P 之值最小 则点 M 的坐标为 答 MFMP2 1 3 62 8 8 焦点三角形 焦点三角形 椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形 问题问题 常利用第一 定义和正弦 余弦定理求解 设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别 00 P xy 12 F F 为 焦点的面积为 则在椭圆中 且 12 r r 12 FPF S1 2 2 2 2 b y a x 1 2 arccos 21 2 rr b 当即为短轴端点时 最大为 12 rr P max 2 22 arccos a cb 2 0 tan 2 Sbc y 当即为短轴端点时 的最大值为 bc 对于双曲线的焦点三角形 0 yb P max S 22 22 1 xy ab 有 如 如 1 1 短轴长为 离心 21 2 2 1arccos rr b 2 cotsin 2 1 2 21 brrS 5 率的椭圆的两焦点为 过作直线交椭圆于 A B 两点 则的周长为 3 2 e 1 F 2 F 1 F 2 ABF 答 6 2 2 设 P 是等轴双曲线右支上一点 F1 F2是左右 0 222 aayx 焦点 若 PF1 6 则该双曲线的方程为 答 0 212 FFPF 22 4xy 3 3 椭圆的焦点为 F1 F2 点 P 为椭圆上的动点 当 0 时 点 P 的横 22 1 94 xy PF2 PF1 坐标的取值范围是 答 4 4 双曲线的虚轴长为 4 离心率 e 3 5 3 5 55 F1 F2是它的左右焦点 若过 F1的直线与双曲线的左支交于 A B 两点 且是 2 6 AB 与等差中项 则 答 5 5 已知双曲线的离心率为 2 AF 2 BFAB8 2 2 F1 F2是左右焦点 P 为双曲线上一点 且 求该双曲 60 21 PFF312 21 FPF S 线的标准方程 答 22 1 412 xy 9 9 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 1 以过焦点的弦为直径的圆和准 线相切 2 设 AB 为焦点弦 M 为准线与 x 轴的交点 则 AMF BMF 3 设 AB 为焦 点弦 A B 在准线上的射影分别为 A B 若 P 为 A B 的中点 则 PA PB 4 若 AO 的 1111 延长线交准线于 C 则 BC 平行于 x 轴 反之 若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点 则 A O C 三点共线 1010 弦长公式 弦长公式 若直线与圆锥曲线相交于两点 A B 且分别为 A B 的ykxb 12 x x 横坐标 则 若分别为 A B 的纵坐标 则 AB 2 12 1kxx 12 y yAB 若弦 AB 所在直线方程设为 则 特 21 2 1 1yy k xkyb AB 2 12 1kyy 别地 焦点弦 过焦点的弦 焦点弦的弦长的计算 一般不用弦长公式计算 而是将焦点 弦转化为两条焦半径之和后 利用第二定义求解 如 如 1 1 过抛物线 y2 4x 的焦点作直线交抛 物线于 A x1 y1 B x2 y2 两点 若 x1 x2 6 那么 AB 等于 答 8 2 2 过 抛物线焦点的直线交抛物线于 A B 两点 已知 AB 10 O 为坐标原点 则 ABCxy2 2 重心的横坐标为 答 3 1111 圆锥曲线的中点弦问题 圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用 韦达定理韦达定理 或或 点差法点差法 求解 在 椭圆中 以为中点的弦所在直线的斜率 k 在双曲线1 2 2 2 2 b y a x 00 P xy 0 2 0 2 ya xb 中 以为中点的弦所在直线的斜率 k 在抛物线 22 22 1 xy ab 00 P xy 0 2 0 2 ya xb 中 以为中点的弦所在直线的斜率 k 如 如 1 1 如果椭圆 2 2 0 ypx p 00 P xy 0 p y 弦被点 A 4 2 平分 那么这条弦所在的直线方程是 答 22 1 369 xy 2 2 已知直线 y x 1 与椭圆相交于 A B 两点 280 xy 22 22 1 0 xy ab ab 且线段 AB 的中点在直线 L x 2y 0 上 则此椭圆的离心率为 答 3 3 试 2 2 确定 m 的取值范围 使得椭圆上有不同的两点关于直线对称 答 1 34 22 yx mxy 4 2 13 2 13 1313 特别提醒特别提醒 因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件 故在求解有关弦长 0 对称问题时 务必别忘了检验 0 1212 你了解下列结论吗 你了解下列结论吗 1 双曲线的渐近线方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 2 2 2 2 b y a x 2 以为渐近线 即与双曲线共渐近线 的双曲线方程为x a b y 1 2 2 2 2 b y a x 为参数 0 如如与双曲线有共同的渐近线 且过点 2 2 2 2 b y a x 1 169 22 yx 的双曲线方程为 答 32 3 22 4 1 94 xy 3 中心在原点 坐标轴为对称轴的椭圆 双曲线方程可设为 22 1mxny 4 椭圆 双曲线的通径 过焦点且垂直于对称轴的弦 为 焦准距 焦点到相 2 2b a 应准线的距离 为 抛物线的通径为 焦准距为 2 b c 2pp 5 通径是所有焦点弦 过焦点的弦 中最短的弦 6 若抛物线的焦点弦为 AB 则 2 2 0 ypx p 1122 A x yB xy 12 ABxxp 2 2 1212 4 p x xy yp 7 若 OA OB 是过抛物线顶点 O 的两条互相垂直的弦 则直线 AB 恒 2 2 0 ypx p 经过定点 2 0 p 1313 动点轨迹方程 动点轨迹方程 1 求轨迹方程的步骤 建系 设点 列式 化简 确定点的范围 2 求轨迹方程的常用方法 直接法 直接利用条件建立之间的关系 如如已知动点 P 到定点 F 1 0 和 x y 0F x y 直线的距离之和等于 4 求 P 的轨迹方程 答 或3 x 2 12 4 34 yxx 2 4 03 yxx 待定系数法 已知所求曲线的类型 求曲线方程 先根据条件设出所求曲线的方程 再由条件确定其待定系数 如如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M m 0 端点 A B 0 m 到 x 轴距离之积为 2m 以 x 轴为对称轴 过 A O B 三点作抛物线 则此抛物线方程为 答 2 2yx 定义法 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线 再由曲线的定义直接写出动点 的轨迹方程 如如 1 1 由动点 P 向圆作两条切线 PA PB 切点分别为 22 1xy A B APB 600 则动点 P 的轨迹方程为 答 22 4xy 2 2 点 M 与点 F 4 0 的距离比它到直线的距离小于 1 则点 M 的轨迹方程是05 xl且 答 3 3 一动圆与两圆 M 和 N 2 16yx 1 22 yx 都外切 则动圆圆心的轨迹为 答 双曲线的一支 0128 22 xyx 代入转移法 动点依赖于另一动点的变化而变化 并且 P x y 00 Q xy 又在某已知曲线上 则可先用的代数式表示 再将代入已知曲线 00 Q xy x y 00 xy 00 xy 得要求的轨迹方程 如如动点 P 是抛物线上任一点 定点为 点 M 分所12 2 xy 1 0 A PA 成的比为 2 则 M 的轨迹方程为 答 3 1 6 2 xy 参数法 当动点坐标之间的关系不易直接找到 也没有相关动点可用时 可 P x y 考虑将均用一中间变量 参数 表示 得参数方程 再消去参数得普通方程 如如 x y 1 1 AB 是圆 O 的直径 且 AB 2a M 为圆上一动点 作 MN AB 垂足为 N 在 OM 上取点 使 求点的轨迹 答 2 2 若点在圆P OPMN P 22 xya y 11 yxP 上运动 则点的轨迹方程是 答 1 22 yx 1111 yxyxQ 2 1 21 2 yxx 3 3 过抛物线的焦点 F 作直线 交抛物线于 A B 两点 则弦 AB 的中点 M 的轨迹方yx4 2 l 程是 答 2 22xy 注意注意 如果问题中涉及到平面向量知识 那么应从已知向量的特点出发 考虑选择向 量的几何形式进行 摘帽子或脱靴子 转化 还是选择向量的代数形式进行 摘帽子或脱靴 子 转化 如如已知椭圆的左 右焦点分 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 别是 F1 c 0 F2 c 0 Q 是椭圆外的动点 满足 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点 点 T 在线段 F2Q 2 1 aQF 上 并且满足 1 设为点 P 的横坐标 0 0 22 TFTFPTx 证明 2 求点 T 的轨迹 C 的方程 3 试x a c aPF 1 问 在点 T 的轨迹 C 上 是否存在点 M 使 F1MF2的面积 S 若存在 求 F1MF2的正切 2 b 值 若不存在 请说明理由 答 1 略 2 3 当时不存在 222 xya 2 b a c 当时存在 此时 F1MF2 2 2 b a c 曲线与曲线方程 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念 寻求轨迹或轨迹方程时应注意 轨迹上特殊点特殊点对轨迹的 完备性与纯粹性 的影响 在与圆锥曲线相关的综合题中 常借助于常借助于 平面几何性质 数