湖北省襄阳市第五中学2015届高三第一学期11月质检理科数学试题+word版

湖北省襄阳市第五中学 2015 届高三第一学期 11 月质检理 科数学试题 考试时间 2014 年 11 月 20 日上午 8 00 10 00 试卷满分 150 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分分 在每小题给出的四个选项中 只在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 已知复数 z 满足 i 为虚数单位 则 z 的共轭复数的虚部是 2 13 i z i A B C D 3 2 3 2 1 2 1 2 2 下列说法中 正确的是 A 命题 若 则 的逆命题是真命题 22 ambm ab B 命题 存在 0 2 xx 的否定是 任意 0 2 xx Rx Rx C 命题 p 或 q 为真命题 则命题 p 和命题 q 均为真命题 D 已知 Rx 则 1x 是 2x 的充分不必要条件 3 某班有 60 名学生 一次考试后数学成绩 N 110 102 若 P 100 110 0 35 则估计该班学生数学成绩在 120 分以上的人数为 A 10B 9 C 8 D 7 4 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示 则这个几何体的体积是 A B C D 3 2 51 22 3 5 高三毕业时 甲 乙 丙 丁四位同学站成一排照相留念 已知甲乙相邻 则 甲丙相邻的概率为 A 1 3 B 2 3 C 1 2 D 1 6 6 在数列中 若对任意的均有为定值 且 n a nN 12nnn aaa 则数列的前 100 项的和 7998 2 3 4aaa n a 100 S A 132 B 299C 68 D 99 7 若函数的图象 2 d f xa b c dR axbxc 如图所示 则等于 a b c d A 1 6 5 8 B 1 6 5 8 C 1 6 5 8 D 1 6 5 8 8 一辆汽车在高速公路上行驶 由于遇到紧急情况而刹车 以速度 的 25 73 1 v tt t t 单位 的单位 行驶至停止 在此期间汽车继续行驶的距离 单位 是 s v m sm A B C D 125ln5 11 825ln 3 425ln5 450ln2 9 已知函数的图象与直线 y m 有三个交点的横 坐标分别为 x1 x2 x3 x1 x2 x3 那么 x1 2x2 x3的值是 A B C D 10 已知点 F1 F2分别为双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点 P 为双曲线左支上的 x2 a2 y2 b2 任意一点 若的最小值为 9a 则双曲线的离心率为 PF2 2 PF1 A 2B 5C 3D 2 或 5 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 小题 考生共需作答小题 考生共需作答 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分分 请将答案天请将答案天 灾灾答题卡对应题号答题卡对应题号的位置上 答错位置 书写不清 模棱两可均不得分的位置上 答错位置 书写不清 模棱两可均不得分 一 必考题 一 必考题 11 14 题 题 11 设 f x lg 则的定义域为 2 x 2 x 2 2 x f x f 12 已知集合 A x y x2 y2 1 B x y kx y 2 0 其中 x y R 若 A B 则 实数 k 的取值范围是 13 菱形的边长为 为的中点 若为菱形内任意一点 含ABCD260A MDCN 边界 则的最大值为 AM AN 14 若集合且下列四个关系 4 3 2 1 dcba1 a1 b2 c 有且只有一个是正确的 则符合条件的有序数组的个数是 4 d dcba 二 选考题 二 选考题 15 选修 4 1 几何证明选讲 如右图 为圆的内接三角形 为圆ABC BD 的弦 且 过点做圆的切线与的延长线交于点 BDACADBE 与交于点 若 则线段的长为ADBCF 6 5ABAC AEBD CF 16 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中 以坐标原点为极点 轴的非x O D C B A D1 C1B1 A1 负半轴为极轴建立极坐标系 已知直线 的参数方程为 为参数 圆的l 5 1 xat yt tC 极坐标方程为 若圆关于直线 对称 则的值为 2 2cos 4 Cla 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 75 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知 f x sin x 2sin2 0 的最小正周期为 3 3 x 2 1 当 x 时 求函数 f x 的最小值 2 3 4 2 在 ABC 中 若 f C 1 且 2sin2B cosB cos A C 求 sinA 的值 18 本小题满分 本小题满分 12 分 分 每年 5 月 17 日为国际电信日 某市电信 公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠 优 惠方案如下 选择套餐一的客户可获得优惠 200 元 选择套 餐二的客户可获得优惠 500 元 选择套餐三的客户可获得优 惠 300 元 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的 统计图 现将频率视为概率 1 求某两人选择同一套餐的概率 2 若用随机变量表示某两人所获优惠金额的总和 求X 的分布列和数学期望 X 19 本小题满分 本小题满分 12 分 分 如图 在四棱柱中 侧面 底 1111 ABCDABC D 11 ADD A 面 底面为直角梯形 ABCD 11 2D AD D ABCD 其中 BCADABAD 222ADABBC 为中点 OAD 1 求证 平面 1 AO 1 ABC 2 求锐二面角的余弦值 CDCA 11 20 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知数列满足 n a 数列满足 1211 13 2 2 44 nnn aaaaannN n b 1 0b 数列的前项和为 1 3 2 nn bbn nnN n bn n S 1 求证 数列为等比数列 nn ab 2 求证 数列为递增数列 n b 3 若当且仅当时 取得最小值 求的取值范围 3n n S 1 b 套餐1套餐2套餐3套餐种类 频率 1 8 3 8 1 2 21 本小题满分 本小题满分 13 分 分 如图 分别过椭圆 左右焦点 E 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 F 的动直线相交于点 与椭圆分别交于不同四点 直线 2 F 21 l lPEDCBA 与 的斜率 满足 已知当ODOCOBOA 1 k 2 k 3 k 4 k 4321 kkkk 轴重合时 xl 与 1 32 AB 3 34 CD 1 求椭圆的方程 E 2 是否存在定点 使得为定值 若存在 求出点坐标NM PNPM NM 并求出此定值 若不存在 说明理由 22 本小题满分 本小题满分 14 分 分 1 当时 求证 0 x e x x x e ln2 2 当函数 与函数有且仅有一个交点 求的值 x ay 1 axy a 3 讨论函数 且 的零点个数 xay x 0 a1 a A O P D C B x y 1 l 2 l 1 F 2 F 第 21 题 参考答案 一 选择题 本题共 50 分 12345678910 DBBDABBCCB 二 填空题 本题共 25 分 11 12 13 9 4 1 1 4 3 3 14 6 15 16 2 3 8 17 解 f x sin x 2 sin x cos x 1 2sin x 1 3 1 cos x 23 6 由 3 得 f x 2sin x 1 2 2 3 2 3 6 1 由 x 得 x 2 3 4 2 2 3 6 2 3 当 sin x 时 f x min 2 1 1 6 分 2 3 6 3 2 3 23 2 由 f C 2sin C 1 及 f C 1 得 sin C 1 2 3 6 2 3 6 而 C 所以 C 解得 C 6 2 3 6 5 6 2 3 6 2 2 在 Rt ABC 中 A B 2sin2B cosB cos A C 2 2cos2A sinA sinA 0 sin2A sinA 1 0 解得 sinA 1 5 2 0 sinA 1 sinA 12 分 5 1 2 18 解 1 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为 4 分 1 11 13 313 8 82 28 832 P 2 由题意知某两人可获得优惠金额的可能取值为X 400 500 600 700 800 1000 1 11 400 8 864 P X 1 2 1 36 500 8 864 P XC 3 39 600 8 864 P X 1 2 1 18 700 8 264 P XC 8 分 1 2 1 324 800 2 864 P XC 1 116 1000 2 264 P X 综上可得的分布列为 X X4005006007008001000 z y x O D C B A D1 C1B1 A1 A1 B1C1 D1 A B C D O P 1 64 6 64 9 64 8 64 24 64 16 64 10 分 16982416 4005006007008001000775 646464646464 EX 即的数学期望为 775 12 分X 19 1 证明 如图 连接 则四边形为正方形 所 COACABCO 以 且 2 分 11 OCABAB 11 OCABAB 故四边形为平行四边形 所以 11 ABCO 11 AOBC 又平面 平面 1 AO 1 ABC 1 BC 1 ABC 所以平面 5 分 1 AO 1 ABC 2 因为为的中点 所以 又侧面 底面 11 D AD DO AD 1 DOAD 11 ADD AABCD 交线为 故 底面 6 分AD 1 DOABCD 以为原点 所在直线分别为轴 轴 轴建立如图所示的坐标系 O 1 OCODODxyz 则 1 0 0 0 1 0 CD 1 0 0 1 0 1 0DA 1 1 1 0 0 1 1 DCDD 111 0 1 1 1 1 0D ADCDC 设为平面的一个法向量 由 得 mx y z 11 CDDC 1 mDCmDD 0 0 xy yz 令 则 1z 1 1 1 1 1yxm 又设为平面的一个法向量 由 111 nx y z 11 AC D 111 nD AnDC 得 令 11 11 0 0 yz xy 1 1z 则 9 分 11 1 1 1 1 1yxn 则 1 1 11 cos 333 m n 故所求锐二面角的余弦值为 12 分CDCA 11 1 3 注 第 2 问用几何法做的酌情给分 20 解 2 2 11 Nnnaaa nnn 是等差数列 n a 又 4 3 4 1 21 aa 2 分 4 12 2 1 1 4 1 n nan 2 33 1 1 Nnn n bb nn 4 12 3 1 12 12 3 1 4 12 3 1 3 1 11 n b n b nn bab nnnnn 3 1 nn ab 又0 4 1 111 bab 为首项 以为公比的等比数列 5 分 4 1 1 bab nn 是 3 1 4 12 3 1 4 1 1 1 n abab n n nn 4 12 3 1 4 1 1 1 n bb n n 当 2 11 3 1 4 1 3 2 2 1 2 n nn bbbn时 又 0 1 b0 1 nn bb 是单调递增数列 8 分 n b 时 3 n当且仅当 取最小值 n S 即 0 0 4 3 b b 2 1 3 1 511 0 443 711 0 443 b b 12 分 11 47 1 b 21 解 1 当与轴重合时 即 1 lx0 4321 kkkk 43 kk 垂直于轴 得 2 lx322 aAB 3 342 2 a b CD 得 椭圆 E 的方程为 4 分3 a2 b1 23 22 yx 2 焦点 坐标分别为 1 0 1 0 1 F 2 F 当直线或斜率不存在时 P 点坐标为 1 0 或 1 0 6 分 1 l 2 l 当直线 斜率存在时 设斜率分别为 设 1 l 2 l 1 m 2 m 11 yxA 22 yxB 由得 1 1 23 1 22 xmy yx 0636 32 2 1 2 1 22 1 mxmxm 2 1 2 1 21 32 6 m m xx 2 12 2 36 23 m x x m 2 11 21 21 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 21 xx xx m x x x x m x y x y kk 2 4 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 m m m m m 同理 43 kk 2 4 2 2 2 m m 即 4321 kkkk 2 4 2 4 2 2 2 2 1 1 m m m m 0 2 1221 mmmm 由题意知 21 mm 02 21 mm 设 则 即 yxP02 11 x y x y 1 1 2 2 2 xx y 由当直线或斜率不存在时 点坐标为 1 0 或 1 0 也满足此方程 1 l 2 lP 点在椭圆上 11 分 yxP1 2 2 2 x y 存在点 M 0 1 和点 N 0 1 使得为定值 定值为 13 分 PNPM 22 22 证明 1 令 0 2ln x x e xxf0 ln x x e xxg 所以在上单调递减 在上单调递增 22 1 x ex x e x xf xfy 0 e e 同理可证 故得证 4 分0 min efxf0 max egxg 2 令 令 则 xaxh x Rx 1ln aaxh x 0 x h loglogex aa 在上单调递减 在上单调递增 xhy loglog e aa log log e aa 使 0 t 1 2 a at 当时 3 tx 1 1 1 2 11 1 2 1 2 1 2 txa a a a a a a a aaa txtxtxtxtx 222 1 1