高等数学(专科)复习题及答案

高等数学期末试卷高等数学期末试卷 一 填空题 每题一 填空题 每题 2 分 共分 共 30 分 分 1 函数的定义域是 1 1 4 2 x xy 解 2 2 2 若函数 则 52 1 2 xxxf xf 解 6 2 x 3 sin lim x xx x 答案 1 正确解法 101 sin lim1lim sin 1 lim sin lim x x x x x xx xxxx 4 已知 则 2 2 lim 2 2 2 xx baxx x a b 由所给极限存在知 得 又由 024 ba42 ab2 3 4 1 2 lim 2 lim 2 2 2 2 a x ax xx baxx xx 知8 2 ba 5 已知 则 1 lim 0 xax bex x a b 即 1 lim 0 xax be x x 0 1 1 lim 0 b a be xax x x 1 0 ba 6 函数的间断点是x 01 0 1 sin xx x x x xf 解 由是分段函数 是的分段点 考虑函数在处的连续性 xf0 x xf0 x 因为 1 0 1 1 lim0 1 sinlim 00 fx x x xx 所以函数在处是间断的 xf0 x 又在和都是连续的 故函数的间断点是 xf 0 0 xf0 x 7 设 则 nxxxxy 21 1n y 1 n 8 则 2 xxf 1 x ff 答案 或 2 12 x144 2 xx 9 函数的定义域为 1ln 4 22 2 yx yx z 解 函数 z 的定义域为满足下列不等式的点集 10 4 0 1 4 11 01 04 22 2 22 22 2 22 22 2 yx xy yx yx xy yx yx yx 的定义域为 且 z 10 22 yxyxxy4 2 10 已知 则 22 xyyxyxyxf yxf 解 令 则 xyu xyv 22 uvuv xy f xy xyxy xy 4222 22 vu uuvuvu vuf 22 4 x f x yxy 11 设 则 22 yx x xyyxf 1 0 x f 1 0 y f 0 1 000f 2 00 0 1 0 1 1 0 1 limlim2 x xx x x fxf x f xx 00 0 1 0 1 00 0 1 limlim0 y yy fyf f yy 12 设则 cos sin 32 tytxyxz t z d d 解 2 2 sin3cos dz xtty dt 13 dxxfdd dx d 解 由导数与积分互为逆运算得 xfdxxfdd dx d 14 设是连续函数 且 则 xfxdttf x 1 0 3 7 f 解 两边对求导得 令 得 所以 x1 1 3 32 xfx71 3 x2 x 12 1 3 1 7 2 2 x x f 15 若 则 2 1 de 0 x kx k 答案 d e 1 limde 2 1 00 kx k x b kx b kx kkkk kb b b kx b 1 e 1 lim 1 e 1 lim 0 2 k 二 单项选择题 每题二 单项选择题 每题 2 分 共分 共 30 分 分 1 函数 1 0 1 1 aa a a xxf x x A 是奇函数 B 是偶函数 C 既奇函数又是偶函数 D 是非奇非偶函数 解 利用奇偶函数的定义进行验证 1 1 1 1 1 1 xf a a x aa aa x a a xxf x x xx xx x x 所以 B 正确 2 若函数 则 2 2 1 1 x x x xf xf A B C D 2 x2 2 x 2 1 x1 2 x 解 因为 所以2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x x2 1 1 2 x x x xf 则 故选项 B 正确 2 2 xxf 3 设 则 1 xxf 1 xff A x B x 1 C x 2 D x 3 解 由于 得 1 xxf 1 xff1 1 xf2 xf 将代入 得 1 xxf 1 xff32 1 xx 正确答案 D 4 已知 其中 是常数 则 0 1 lim 2 bax x x x ab A B 1 1 ba1 1 ba C D 1 1 ba1 1 ba 解 0 1 1 lim 1 lim 22 x bxbaxa bax x x xx 答案 C1 1 0 01 babaa 5 下列函数在指定的变化过程中 是无穷小量 A e 1 x x B sin x x x C ln 11 xx D x x x 11 0 解 无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量 所以 0 sin lim x x x 而 A C D 三个选项中的极限都不为 0 故选项 B 正确 6 下列函数中 在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是 A B 1 sin x x xy 1 nny n C D 0 ln xxy 0 1 cos 1 x xx y 解 故不选 A 取 则 故不选 B 1 11 sinlim 1 sinlim xxx x xx 12 km 0 12 1 limlim 1 k n kn n 取 则 故不选 D 答案 C 2 1 n xn0 1 cos 1 lim nn n xx 7 设 则在处 0 0 1 sin xx x x x xf xf0 x A 连续且可导B 连续但不可导 C 不连续但可导D 既不连续又不可导 解 B 0lim lim 00 xxf xx 0 1 sinlim lim 00 x xxf xx 0 0 f 因此在处连续 xf0 x 此极限不存在 xx x x x fxf f xxx 1 sinlim 0 0 1 sin lim 0 0 lim 0 000 从而不存在 故不存在 0 f 0 f 8 曲线在点 1 0 处的切线是 xxy 3 A B 22 xy22 xy C D 22 xy22 xy 解 由导数的定义和它的几何意义可知 1 3 1 x xxy2 13 1 2 x x 是曲线在点 1 0 处的切线斜率 故切线方程是xxy 3 即 1 20 xy22 xy 正确答案 A 9 已知 则 4 4 1 xy y A B C D 6 3 x 2 3xx6 解 直接利用导数的公式计算 34 4 1 xxy 23 3 xxy 正确答案 B 10 若 则 x x f 1 xf A B C D x 1 2 1 xx 1 2 1 x 答案 D 先求出 再求其导数 xf 11 22 lnyxz 的定义域为 A 1 22 yx B 0 22 yx C 1 22 yx D 0 22 yx 解 z 的定义域为 个 选 D 0 22 yxyx 12 设函数项级数 下列结论中正确的是 1 n n xu A 若函数列定义在区间上 则区间为此级数的收敛区间 xunII B 若为此级数的和函数 则余项 xS xSxSxr nn 0 lim xrn n C 若使收敛 则所有都使收敛Ix 0 1 0 n n xu 0 xx x 1 n n xu D 若为此级数的和函数 则必收敛于 xS 1 0 n n xu 0 xS 解 选 B 13 设为常数 则级数 0 a cos1 1 1 n a n n A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 敛散性与有关a 解 因为 而收敛 因此原级数绝对收敛 故选 A 2 2 2 22 sin2 cos1 1 n a n a n a n 1 2 2 2 n n a 14 若级数在时发散 在处收敛 则常数 1 1 n n n n ax 0 x0 x a A 1 B 1 C 2 D 2 解 由于收敛 由此知 当时 由于的收敛半径为 1 因 1 1 n n n n a 1 a11 a 1 1 n n n n ax 此该幂级数在区间内收敛 特别地 在内收敛 此与幂级数在时发散矛盾 因此 1 1 aa 1 0 a0 x 故选 B 1 a 15 的特解可设为 xeyyy x 2cos52 A B 2cos xAey x 2cos xAxey x C D 2sin2cos xBxAxey x 2sin2cos xBxAey x 解 C 三 解答题 任选三 解答题 任选 4 题完成 每题题完成 每题 10 分 共分 共 40 分 分 1 设函数 0 sin 0 0 1 sin x x x xa xb x x xf 问 1 为何值时 在处有极限存在 ba xf0 x 2 为何值时 在处连续 ba xf0 x 解 1 要在处有极限存在 即要成立 xf0 x lim lim 00 xfxf xx 因为bb x xxf xx 1 sin lim lim 00 所以 当时 有成立 即时 函数在处有极限存在 又因为函1 b lim lim 00 xfxf xx 1 b0 x 数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关 所以此时可以取任意值 a 2 依函数连续的定义知 函数在某点处连续的充要条件是 lim lim 0 00 xfxfxf xxxx 于是有 即时函数在处连续 afb 0 11 ba0 x 2 求方程中是的隐函数的导数yx 1 1ee yx xy y 解 方程两边对自变量求导 视为中间变量 即xy 1 e e yx xy 0ee yyxy yx yyx xy e e 1 sin lim lim 00 x x xf xx 整理得 y x x y y e e 2 设 求 sin yxy dx dy 2 2 dx yd 解 1 cos yyxy cos 1 cos yx yx y yyxyyxy cos 1 sin 2 33 cos 1 cos 1 sin yx y yx yx y 3 设函数在 0 1 上可导 且 对于 0 1 内所有 x 有证明在 0 1 内有且只 xf1 0 xf 1 xf 有一个数 x 使 xxf 7 求函数 1 0 1 01 0 1 0 0 1 0 1 0 21 212121 xxfx ffFccRolle cccFcFccxF xFxxfxF 一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一 一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一 一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一 一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一 的单调区间和极值 12 1 xxy 解解 函数的定义域是 12 1 xxy 1 1 221 1 1 1 2 xxxxy 2 2 1 1 2 x xxx 2 1 2 x xx 令 得驻点 0 1 2 2 x xx y2 1 x0 2 x 2 2 1 2 0 1 0 0 x f 0 0 xf 极大值极小值 故函数的单调增加区间是和 单调减少区间是及 当 2 时 极大值 2 0 1 2 0 1 x 当0 时 极小值 4 2 f x0 0 f 4 求下列积分 1 x x d 1 1 3 1 解 1 2 3 lim 1 3 1 1 limd 1 limd 1 3 2 1 3 2 1 3 1 1 3 1 bxx x x x b b b b b 极限不存在 则积分发散 2 222 222 ayx dyxa 解 是 D 上的半球面 由的几何意义知 I V半球 222 f x yaxy 222d D Iaxy 3 2 3 a 3 D 由 的围成 D yd 1 1 0 xyxyx 解 关于 x 轴对称 且是关于 y 的奇函数 f x yy 由 I 几何意义知 d0 D y 5 判别级数的敛散性 如果收敛 是绝对收敛还是条件收敛 n n n ln 1 1 2 解 记 则 1ln 1 1 1 n u n nnn v n u 1 1 显见去掉首项后所得级数仍是发散的 由比较法知发散 从而发散 又显见 1 1 n n 1n n v 1n n u 2n n u 是 Leibniz 型级数 它收敛 即收敛 从而原级数条件收敛 1ln 1 1 1 1 n n n n n n ln 1 1 2 6 求解微分方程 1 的所有解 012 2 ydydxyx 解 原方程可化为 当 两边积分得 即xdx y ydy 2 1 2 1 2 ycxy 22 1 为通解 当时 即 显然满足原方程 所以原方程