课时跟踪检测(五十四)　定点、定值、探索性问题(选用)

课时跟踪检测 五十四 定点 定值 探索性问题 选用 分 卷 共 2 页 第 卷 夯基保分卷 1 已知椭圆 C 过点 M 点 F 0 是椭圆的左焦点 点 P Q 是椭圆 C 上 1 6 2 2 的两个动点 且 PF MF QF 成等差数列 1 求椭圆 C 的标准方程 2 求证 线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A 2 2013 济南模拟 已知椭圆 1 a b 0 的离心率为 x2 a2 y2 b2 2 2 且过点 2 2 1 求椭圆的标准方程 2 四边形 ABCD 的顶点在椭圆上 且对角线 AC BD 过原点 O 若 kAC kBD b2 a2 求证 四边形 ABCD 的面积为定值 3 2013 北京东城区期末 在平面直角坐标系 xOy 中 动点 P 到两点 0 0 的 33 距离之和等于 4 设点 P 的轨迹为曲线 C 直线 l 过点 E 1 0 且与曲线 C 交于 A B 两 点 1 求曲线 C 的轨迹方程 2 AOB 的面积是否存在最大值 若存在 求出 AOB 的面积的最大值 若不存在 说明理由 第 卷 提能增分卷 1 已知椭圆 C 1 点 F1 F2分别为其左 右焦点 x2 4 y2 3 点 A 为左顶点 直线 l 的方程为 x 4 过点 F2的直线 l 与椭圆 交于异于点 A 的 P Q 两点 1 求 的取值范围 AP AQ 2 若 AP l M AQ l N 求证 M N 两点的纵坐标之积为定值 并求出该定 值 2 2013 合肥模拟 已知椭圆 E 1 a b 0 与双曲线 1 0 m2 3 有 x2 a2 y2 b2 x2 m2 y2 3 m2 公共的焦点 过椭圆 E 的右顶点 R 任意作直线 l 设直线 l 交抛物线 y2 2x 于 M N 两点 且 OM ON 1 求双曲线的焦点坐标和椭圆 E 的方程 2 设 P 是椭圆 E 上第一象限内的点 点 P 关于原点 O 的对称点为 A 关于 x 轴的对称 点为 Q 线段 PQ 与 x 轴相交于点 C 点 D 为 CQ 的中点 若直线 AD 与椭圆 E 的另一个 交点为 B 试判断直线 PA PB 是否相互垂直 并证明你的结论 答 案 第 卷 夯基保分卷 1 解 1 设椭圆 C 的方程为 1 a b 0 由已知 得Error 解得Error x2 a2 y2 b2 椭圆的标准方程为 1 x2 4 y2 2 2 证明 设 P x1 y1 Q x2 y2 由椭圆的标准方程为 1 x2 4 y2 2 可知 PF x1 2 2 y2 1 2 x1 x1 2 2 2 x2 1 2 2 2 同理 QF 2 x2 2 2 MF 2 1 2 2 6 2 2 2 2 2 MF PF QF 2 4 x1 x2 2 2 2 2 2 x1 x2 2 当 x1 x2时 由Error 得 x x 2 y y 0 2 12 22 12 2 y1 y2 x1 x2 1 2 x1 x2 y1 y2 设线段 PQ 的中点为 N 1 n 由 kPQ y1 y2 x1 x2 1 2n 得线段 PQ 的中垂线方程为 y n 2n x 1 2x 1 n y 0 该直线恒过一定点 A 1 2 0 当 x1 x2时 P Q 1 6 2 1 6 2 或 P Q 1 6 2 1 6 2 线段 PQ 的中垂线是 x 轴 也过点 A 1 2 0 综上 线段 PQ 的中垂线过定点 A 1 2 0 2 解 1 由题意 e 1 c a 2 2 4 a2 2 b2 又 a2 b2 c2 解得 a2 8 b2 4 故椭圆的标准方程为 1 x2 8 y2 4 2 证明 设直线 AB 的方程为 y kx m A x1 y1 B x2 y2 联立Error 得 1 2k2 x2 4kmx 2m2 8 0 4km 2 4 1 2k2 2m2 8 8 8k2 m2 4 0 由根与系数的关系得Error kAC kBD b2 a2 1 2 y1y2 x1x2 1 2 y1y2 x1x2 1 2 1 2 2m2 8 1 2k2 m2 4 1 2k2 又 y1y2 kx1 m kx2 m k2x1x2 km x1 x2 m2 k2 km m2 2m2 8 1 2k2 4km 1 2k2 m2 8k2 1 2k2 m2 4 1 2k2 m2 8k2 1 2k2 m2 4 m2 8k2 4k2 2 m2 设原点到直线 AB 的距离为 d 则 S AOB AB d x2 x1 1 2 1 2 1 k2 m 1 k2 m 2 x1 x2 2 4x1x2 m 2 4km 1 2k2 2 4 2m2 8 1 2k2 2 m 2 8m2 1 2k2 2 2 S四边形 ABCD 4S AOB 8 2 即四边形 ABCD 的面积为定值 3 解 1 由椭圆定义可知 点 P 的轨迹 C 是以 0 0 为焦点 长半轴长为 33 2 的椭圆 故曲线 C 的轨迹方程为 y2 1 x2 4 2 AOB 的面积存在最大值 因为直线 l 过点 E 1 0 所以可设直线 l 的方程为 x my 1 或 y 0 舍 由Error 整理得 m2 4 y2 2my 3 0 2m 2 12 m2 4 0 设点 A x1 y1 B x2 y2 其中 y1 y2 解得 y1 y2 m 2 m2 3 m2 4 m 2 m2 3 m2 4 则 y2 y1 4 m2 3 m2 4 因为 S AOB OE y1 y2 1 2 2 m2 3 m2 4 2 m2 3 1 m2 3 设 t t g t t m2 33 1 t 则 g t 1 故当 t 时 g t 0 恒成立 则 g t 在区间 上为增函数 1 t233 所以 g t g 3 4 3 3 所以 S AOB 当且仅当 m 0 时取等号 3 2 所以 S AOB的最大值为 3 2 第 卷 提能增分卷 1 解 1 当直线 PQ 的斜率不存在时 由 F2 1 0 可知 PQ 的方程为 x 1 代入椭圆 C 1 x2 4 y2 3 得点 P Q 1 3 2 1 3 2 又点 A 2 0 故 AP 3 3 2 AQ 3 3 2 AP AQ 27 4 当直线 PQ 的斜率存在时 设 PQ 的方程为 y k x 1 k 0 代入椭圆 C 1 得 3 4k2 x2 8k2x 4k2 12 0 x2 4 y2 3 设 P x1 y1 Q x2 y2 得 x1 x2 x1x2 y1y2 k2 x1 1 x2 1 8k2 3 4k2 4k2 12 3 4k2 k2 x1 x2 x1x2 1 9k2 3 4k2 故 x1 2 x2 2 y1y2 x1x2 2 x1 x2 AP AQ 4 y1y2 27k2 3 4k2 27 3 k2 4 0 27 4 综上 的取值范围是 AP AQ 0 27 4 2 证明 由 1 知 直线 AP 的方程为 y x 2 与直线 l 的方程 x 4 联立 y1 x1 2 得 M 同理 得 N 4 6y1 x1 2 4 6y2 x2 2 故 M N 两点的纵坐标之积 yMyN 6y1 x1 2 6y2 x2 2 36y1y2 x1x2 2 x1 x2 4 当直线 PQ 的斜率不存在时 yMyN 9 36 3 2 3 2 1 1 2 1 1 4 当直线 PQ 的斜率存在时 由 1 可知 yMyN 9 324k2 3 4k2 4k2 12 3 4k2 16k2 3 4k2 4 综上所述 M N 两点的纵坐标之积为定值 该定值为 9 2 解 1 由题意可知 c双 故双曲线的焦点坐标为 F1 0 F2 m2 3 m233 0 3 设点 M x1 y1 N x2 y2 设直线 l ty x a 代入 y2 2x 并整理得 y2 2ty 2a 0 所以Error 故 x1x2 y1y2 ty1 a ty2 a y1y2OM ON t2 1 y1y2 at y1 y2 a2 t2 1 2a 2at2 a2 a2 2a 0 解得 a 2 又 c椭 c双 所以椭圆 E 的方程为 y2 1 3 x2 4 2 法一 判断结果 PA PB 恒成立 证明如下 设 P x0 y0 则 A x0 y0 D x0 y0 x 4y 4 1 22 02 0 将直线 AD 的方程 y x x0 y0代入椭圆方程并整理得 y0 4x0 4x y x2 6x0y x 9x y 16x 0 2 02 02 02 0 2 02 0 由题意可知此方程必有一根为 x0 于是解得 xB x0 6x0y2 0 4x2 0 y2 0 所以 yB y0 y0 4x0 6x0y2 0 4x2 0 y2 0 2x0 y3 0 2x2 0y0 4x2 0 y2 0 所以 kPB y3 0 2x2 0y0 4x2 0 y2 0 y0 6x0y2 0 4x2 0 y2 0 6x2 0y0 6x0y2 0 x0 y0 故 kPAkPB 1 即 PA PB x0 y0 y0 x0 法二 判断结果 PA PB 恒成立 证明如下 设 B x1 y1 P x0 y0 则 A x0 y0 D y 1 y 1 x0 y0 2