计算方法 作业

1 作业作业 1 2 作业作业 2 4 作业作业 3 3 8 作业作业 4 10 作业作业 5 5 14 作业作业 6 6 15 作业作业 7 15 2 作业作业 1 1 分别用不动点迭代与 Newton 法求解方程 2x ex 3 0 的正根与负根 解解 1 不动点迭代法 不动点迭代法 function f g1 x f exp x 3 2 求负根 p0 1 N 20 tol 0 00001 k 1 while k N p g1 p0 if abs p p0 disp p disp k 1 373374301147868 7 求正根 求正根 function f g1 x f x 2 x 3 exp x 1 p0 2 N 2000 tol 0 00001 k 1 while k N p g1 p0 if abs p p0 disp p disp k 1 923940019033850 9 Newton 法求负值 function f g1 x f 2 x exp x 3 function f g2 x 3 f 2 exp x p0 1 N 20 tol 0 00001 for k 1 N p1 p0 g1 p0 g2 p0 if abs p1 p0 disp p1 disp k 1 373374545351944 4 Newton 法求正值 法求正值 p0 2 N 20 tol 0 00001 for k 1 N p1 p0 g1 p0 g2 p0 if abs p1 p0 disp p1 disp k 1 923938750345880 4 分析 分析 Newton 法优于不动点迭代法 不动点迭代的迭代公式的构造较麻烦法优于不动点迭代法 不动点迭代的迭代公式的构造较麻烦 2 用 Newton 法求解方程 x sinx 0 的根 再用 Steffensen s method 加速其收 敛 解解 2 Newton 法 function f g1 x f x sin x function f g2 x f 1 cos x p0 pi 2 N 2000 tol 0 00001 for k 1 N p1 p0 g1 p0 g2 p0 if abs p1 p0 disp p1 disp k 1 707431147041399e 005 28 Steffensen 加速法加速法 p0 pi 2 N 30 tol 0 00001 n 0 p 1 p0 while n N for k 1 2 p k 1 g1 p k end p1 p 1 p 2 p 1 2 p 3 2 p 2 p 1 f0 g2 p1 if abs f0 disp p1 disp n 0 027403076503824 8 分析 分析 Steffensen 加速法迭代步骤明显少与加速法迭代步骤明显少与 Newton 法 法 作业作业 2 分别用 jacobi seidel sor w 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 方法求解方程组 Ax b 这里 10 10 1211 112 1 1112 A 10 1 1 1 b 000 x 5 10e 解 解 jacobi法法 A ones 10 13 eye 10 b 1 ones 10 1 X0 zeros 10 1 tol 1e 6 N 500 n length b X zeros 10 1 k 0 D zeros 10 10 for i 1 10 for j 1 10 if i j 5 D i j A i j end end end BJ eye 10 inv D A gJ inv D b while k N X BJ X0 gJ if norm X X0 inf if k N wraning 已达到迭代上限 end disp k num2str k k 40 disp X 0 333330819187043 0 333330819187043 0 333330819187043 0 333330819187043 0 333330819187043 0 333330819187043 0 333330819187043 0 333330819187043 0 333330819187043 0 333330819187043 Seidel法 法 A ones 10 13 eye 10 b 1 ones 10 1 X0 zeros 10 1 tol 1e 6 N 500 n length b X zeros 10 1 k 0 while k N for i 1 10 if i 1 X 1 b 1 A 1 2 10 X0 2 10 A 1 1 else if i 10 X 10 b 10 A 10 1 9 X 1 9 A 10 10 else X i b i A i 1 i 1 X 1 i 1 A i i 1 10 X0 i 1 10 A i i end end end if norm X X0 inf if k N warning yidashangxian end disp k disp X 23 0 333332553339188 0 333332595440710 0 333332635269730 0 333332672948911 0 333332708594293 0 333332742315655 0 333332774216848 0 333332804396119 0 333332832946413 0 333332859955655 SorSor法 法 w 1 1w 1 1 A ones 10 13 eye 10 b 1 ones 10 1 X0 zeros 10 1 tol 1e 6 N 500 n length b X zeros n 1 k 0 w 1 1 while k N for i 1 n if i 1 X1 1 b 1 A 1 2 n X0 2 n A 1 1 else if i n X1 n b n A n 1 n 1 X 1 n 1 A n n else X1 i b i A i 1 i 1 X 1 i 1 A i i 1 n X0 i 1 n A i i end end X i 1 w X0 i w X1 i end if norm X0 X inf tol break end k k 1 X0 X end if k N warning dashangxian end disp k disp X n length b X zeros n 1 k 0 w 1 1 while k N for i 1 n if i 1 X1 1 b 1 A 1 2 n X0 2 n A 1 1 else if i n X1 n b n A n 1 n 1 X 1 n 1 A n n else X1 i b i A i 1 i 1 X 1 i 1 7 A i i 1 n X0 i 1 n A i i end end X i 1 w X0 i w X1 i end if norm X0 X inf tol break end k k 1 X0 X end if k N warning dashangxian end disp k disp X 18 0 333332760226497 0 333332800322546 0 333332837613370 0 333332872295231 0 333332904550659 0 333332934549413 0 333332962449376 0 333332988397385 0 333333012530003 0 333333034974241 W 1 2 disp k disp X 13 0 333332902075278 0 333332944200543 0 333332982227287 0 333333016616882 0 333333047722549 0 333333075774851 0 333333100959620 0 333333123594280 0 333333144195133 0 333333162665941 W 1 3 disp k disp X 11 0 333333255088066 0 333333288136189 0 333333351409902 0 333333408881138 0 333333415223925 0 333333348156599 8 0 333333249780749 0 333333238664526 0 333333396927847 0 333333331920055 W 1 4 disp k disp X 14 0 333333440509276 0 333333450129616 0 333333379501338 0 333333259193169 0 333333176578150 0 333333229275384 0 333333415321495 0 333333520804821 0 333333260240553 0 333333357058133 W 1 5 disp k disp X 18 0 333333316677176 0 333333475601892 0 333333538072818 0 333333419825827 0 333333176629124 0 333333043579820 0 333333257527825 0 333333609921143 0 333333284913128 0 333333451154007 分析 分析 seidel优于优于jacobi 而 而sor法取决于法取决于w的值 的值 作业作业3 3 用Newton法与最速下降法求方程组在 0 8 0 7 附近的根 22 2 220 xy xy Newton 法法 程序 x0 0 8 0 7 e 10 6 N 50 for k 1 N y 2 x0 1 1 4 x0 2 1 2 x0 1 1 1 x0 1 1 2 2 x0 2 1 2 2 x0 1 1 2 x0 2 1 9 x x0 y disp x disp k if norm y e return end x0 x end disp 发散 结果 结果 k01234 x0 80 89010 88360 88360 8836 y0 70 78420 78080 78080 7808 最速下降法最速下降法 function x speedDown x0 tol N N 2000 tol 10 5 x0 0 8 0 7 for i 1 N g dfai x0 h t fai x0 t g u fminbnd h 0 100 x x0 u g if fai x A 4 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2 0 1 1 0 2 v 1 1 1 1 N 500 tol 1e 6 lamda 0 k 0 err 1 while ktol u A v m j max abs u dc abs lamda m u u m dv norm u v err max dc dv v u lamda m k k 1 end disp lamda disp u 5 236066215588851 1 000000000000000 0 618032306274094 0 118035117388973 0 499999336385796 b 用幂法求最小特征值及对应的特征向量 用幂法求最小特征值及对应的特征向量 A 4 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2 0 1 1 0 2 v 1 1 1 1 N 500 tol 1e 6 lamda 0 k 0 err 1 B inv A while ktol u B v m j max abs u 11 dc abs lamda m u u m dv norm u v err max dc dv v u lamda m k k 1 end disp lamda disp u 1 309016734481396 0 472136236214678 0 763931589613249 1 000000000000000 0 236066879991883 用反幂法求最大特征值及对应的特征向量 用反幂法求最大特征值及对应的特征向量 clear format long clc max1 100 epsilon 1e 10 A 4 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2 0 1 1 0 2 u0 1 1 1 1 u u0 lambda 0 k 0 err 1 A inv A while kepsilon v A u m j max abs v m v j u v m err abs lambda m lambda m k k 1 end k lambda 1 lambda u k 36 lambda 0 763932022568468 u 0 472135955126136 0 763932022305396 1 000000000000000 0 236067977005873 2 用Houshoeder变换求矩阵A的QR分解 并用QR方法做三次迭代 12 4111 1311 1120 1102 A A 4 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2 0 1 1 0 2 n size A Q eye n for k 1 n 1 c norm A k n k w zeros n 1 w k 1 n A k 1 n k w k A k k sign A k k c P eye n 2 w w norm w 2 Q Q P A P A end disp Q disp A Columns 1 through 3 0 917662935482247 0 154326033291867 0 336192773139988 0 229415733870562 0 857366851621483 0 357882629471600 0 229415733870562 0 445830762843172 0 862171789181582 0 229415733870562 0 205768044389156 0 124716673906769 Column 4 0 145095250022002 0 290190500044004 0 072547625011001 0 943119125143015 Columns 1 through 3 4 358898943540673 1 605910137093932 1 147078669352809 0 000000000000000 3 069373328804911 1 903354410599693 0 000000000000000 0 000000000000000 1 030268175751576 0 000000000000000 0 000000000000000 0 000000000000000 Column 4 1 605910137093932 1 114576907107929 0 271123204145151 13 1 450952500220023 迭代迭代3步后 步后 Q 0 998695202482521 0 050722014489648 0 005720594513016 0 001563516206025 0 050723006451278 0 998691769097255 0 001895799807987 0 006191356638558 0 004920506131233 0 003720987669243 0 964333143214383 0 264619598231967 0 003295113708668 0 005308656541104 0 264622881927802 0 964331732730807 R 5 198424311162425 0 449097026330777 0 031468059125357 0 023065795960679 0 000000000000000 3 644006209805871 0 015158365109808 0 024261061727233 0 000000000000000 0 000000000000000 1 156695127366024 0 567878663098360 0 000000000000000 0 000000000000000 0 000000000000000 0 912767684813911 A 5 214651814588578 0 184840306617101 0 007562750233808 0 003007673311060 0 184840306617102 3 639424206006100 0 001289375526592 0 004845570140495 0 007562750233808 0 001289375526592 1 265713136328034 0 241539215286025 0 003007673311060 0 004845570140496 0 241539215286025 0 880210843077286 作业作业5 5 对于函数 经行lagrange差值 取不同的等分数n n 5 n 10 2 1 125 f x x 将区间 1 1 n等分 取等距节点 把差值多项式的曲线画在同一张图上经行比 较 function yi F4 xi n x 1 2 n 1 for a 1 n 1 y a 1 1 25 x a 2 14 end for a 1 2 0 01 1 yi a 0 for k 1 n 1 t 1 for i 1 n 1 if i k t t xi a x i x k x i end end yi a yi a t y k end end 程序 xi 1 0 01 1 y1i F4 xi 5 y2i F4 xi 10 for a 1 2 0 01 1 y3i a 1 1 25 xi a 2 end plot xi y1i xi y2i xi y3i r 作业作业6 6 分别用Romberg求积公式计算积分 时精度达到 3 1 cos x exdx 6 10 fun inline exp x cos x a 1 b 3 i 1 j 1 h b a tol 1e 6 T 1 1 h feval fun a feval fun b 2 T i 1 1 T i 1 2 sum feval fun a h 2 h b h 2 h 2 15 T i 1 j 1 4 j T i 1 j T i j 4 j 1 while abs T i 1 i 1 T i i tol i i 1 h h 2 T i 1 1 T i 1 2 sum feval fun a h 2 h b h 2 h 2 for j 1 i T i 1 j 1 4 j T i 1 j T i j 4 j 1 end end T s T i 1 j 1 s T 18 4158 0 0 0 0 0 12 2829 10 2385 0 0 0 0 10 8629 10 3896 10 3996 0 0 0 10 5173 10 4022 10 4030 10 4031 0 0 10 4316 10 4030 10 4031 10 4031 10 4031 0 10 4102 10 4031 10 4031 10 4031 10 4031 10 4031 s 10 4031 作业作业7 分别用Euler方法 h 0 025 改进的Euler方法 h 0 025 经典的R K方法 h 0 1 求初值 问题的数值解计算0 1 0 2 0 3 0 4 0 5处的解的近似值 并与精确解比较 分析误差 2 1 0 0 5 yyx y EulerEuler dyfun inline y x 2 1 format short h 0 025 a 0 1 b 0 5 x a h b y0 0 5 y 1 y0 s length x for n 1 s 1 y n 1 y n feval dyfun x n y n h end x y x Columns 1 through 10 16 0 1000 0 1250 0 1500 0 1750 0 2000 0 2250 0 2500 0 2750 0 3000 0 3250 Columns 11 through 17 0 3500 0 3750 0 4000 0 4250 0 4500 0 4750 0 5000 y