微积分公式与定积分计算练习

微微积积分公式与定分公式与定积积分分计计算算练习练习 附加三角函 附加三角函 数公式 数公式 一 基本一 基本导导数公式数公式 0c 1 xx sincosxx cossinxx 2 tansecxx 2 cotcscxx secsectanxxx csccsccotxxx xx ee ln xx aaa 1 ln x x 1 log ln x a xa 2 1 arcsin 1 x x 2 1 arccos 1 x x 2 1 arctan 1 x x 2 1 arccot 1 x x 1x 1 2 x x 二 二 导导数的四数的四则则运算法运算法则则 uvuv uvu vuv 2 uu vuv vv 三 高三 高阶导阶导数的运算法数的运算法则则 1 2 n nn u xv xu xv x n n cu xcux 3 4 n nn u axba uaxb 0 n n n kkk n k u xv xc ux vx 四 基本初等函数的四 基本初等函数的n阶导阶导数公式数公式 1 2 3 n n xn n ax bnax b eae ln n xxn aaa 4 5 sinsin 2 n n axbaaxbn coscos 2 n n axbaaxbn 6 7 1 1 1 n n n n an axb axb 1 1 ln1 n n n n an axb axb 五 微分公式与微分运算法五 微分公式与微分运算法则则 0d c 1 d xxdx sincosdxxdx cossindxxdx 2 tansecdxxdx 2 cotcscdxxdx secsectandxxxdx csccsccotdxxxdx xx d ee dx ln xx d aaadx 1 lndxdx x 1 log ln x a ddx xa 2 1 arcsin 1 dxdx x 2 1 arccos 1 dxdx x 2 1 arctan 1 dxdx x 2 1 arccot 1 dxdx x 六 微分运算法六 微分运算法则则 d uvdudv d cucdu d uvvduudv 2 uvduudv d vv 七 基本七 基本积积分公式分公式 kdxkxc 1 1 x x dxc ln dx xc x ln x x a a dxc a xx e dxec cossinxdxxc sincosxdxxc 2 2 1 sectan cos dxxdxxc x 2 2 1 csccot sin xdxxc x 2 1 arctan 1 dxxc x 2 1 arcsin 1 dxxc x 八 八 补补充充积积分公式分公式 tanln cosxdxxc cotln sinxdxxc secln sectanxdxxxc cscln csccotxdxxxc 22 11 arctan x dxc axaa 22 11 ln 2 xa dxc xaaxa 22 1 arcsin x dxc a ax 22 22 1 lndxxxac xa 九 下列常用凑微分公式九 下列常用凑微分公式 积分型换元公式 1 f axb dxf axb d axb a uaxb 1 1 f xxdxf xd x ux 1 lnlnlnfxdxfx dx x lnux xxxx f ee dxf e d e x ue 1 ln xxxx f aa dxf a d a a x ua sincossinsinfxxdxfx dx sinux cossincoscosfxxdxfx dx cosux 2 tansectantanfxxdxfx dx tanux 2 cotcsccotcotfxxdxfx dx cotux 2 1 arctanarcnarcn 1 fxdxftax dtax x arctanux 2 1 arcsinarcsinarcsin 1 fxdxfx dx x arcsinux 十 分部十 分部积积分法公式分法公式 形如 令 nax x e dx n ux ax dve dx 形如令 sin n xxdx n ux sindvxdx 形如令 cos n xxdx n ux cosdvxdx 形如 令 arctan n xxdx arctanux n dvx dx 形如 令 ln n xxdx lnux n dvx dx 形如 令均可 sin ax exdx cos ax exdx sin cos ax uexx 十一 第二十一 第二换换元元积积分法中的三角分法中的三角换换元公式元公式 1 2 3 22 ax sinxat 22 ax tanxat 22 xa secxat 特殊角的三角函数特殊角的三角函数值值 1 2 3 4 5 sin00 1 sin 62 3 sin 32 sin1 2 sin0 1 2 3 4 5 cos01 3 cos 62 1 cos 32 cos0 2 cos1 1 2 3 4 不存在 5 tan00 3 tan 63 tan3 3 tan 2 tan0 1 不存在 2 3 4 5 不存在 cot0 cot3 6 3 cot 33 cot0 2 cot 十二 重要公式十二 重要公式 1 2 3 0 sin lim1 x x x 1 0 lim 1 x x xe lim 1 n n a ao 4 5 6 lim1 n n n limarctan 2 x x limtan 2 x arcx 7 8 9 limarccot0 x x lim arccot x x lim0 x x e 10 11 lim x x e 0 lim1 x x x 12 系数不为0的情况 0 0 1 01 1 01 lim0 nn n mm x m a nm b a xa xa nm b xb xb nm 十三 下列常用等价无十三 下列常用等价无穷穷小关系小关系 0 x sin xx tan xx arcsin xx arctan xx 2 1 1 cos 2 xx ln 1xx 1 x ex 1ln x axa 11xx 十四 三角函数公式十四 三角函数公式 1 两角和公式两角和公式 sin sincoscossinABABAB sin sincoscossinABABAB cos coscossinsinABABAB cos coscossinsinABABAB tantan tan 1tantan AB AB AB tantan tan 1tantan AB AB AB cotcot1 cot cotcot AB AB BA cotcot1 cot cotcot AB AB BA 2 二倍角公式二倍角公式 sin22sincosAAA 2222 cos2cossin1 2sin2cos1AAAAA 2 2tan tan2 1tan A A A 3 半角公式半角公式 1 cos sin 22 AA 1 cos cos 22 AA 1 cossin tan 21 cos1 cos AAA AA 1 cossin cot 21 cos1 cos AAA AA 4 和差化和差化积积公式公式 sinsin2sincos 22 abab ab sinsin2cossin 22 abab ab coscos2coscos 22 abab ab coscos2sinsin 22 abab ab sin tantan coscos ab ab ab 5 积积化和差公式化和差公式 1 sin sincoscos 2 ababab 1 cos coscoscos 2 ababab 1 sincossinsin 2 ababab 1 cos sinsinsin 2 ababab 6 万能公式万能公式 2 2tan 2 sin 1tan 2 a a a 2 2 1tan 2 cos 1tan 2 a a a 2 2tan 2 tan 1tan 2 a a a 7 平方关系平方关系 22 sincos1xx 22 secn1xtax 22 csccot1xx 8 倒数关系倒数关系 tancot1xx seccos1xx csin1cs xx 9 商数关系商数关系 sin tan cos x x x cos cot sin x x x 十五 几种常十五 几种常见见的微分方程的微分方程 1 可分离可分离变变量的微分方程量的微分方程 dy f x g y dx 1122 0fx gy dxfx gy dy 2 齐齐次微分方程次微分方程 dyy f dxx 3 一一阶线阶线性非性非齐齐次微分方程次微分方程 解为 dy p x yQ x dx p x dxp x dx yeQ x edxc 高考定高考定积积分分应应用常用常见题见题型大全型大全 一 一 选择题选择题 共 共21小小题题 1 2012 福建 如图所示 在边长为1的正方形OABC中任取一点P 则点P恰好取自阴影部分 的概率为 A B C D 2 2010 山东 由曲线y x2 y x3围成的封闭图形面积为 A B C D 3 设f x 函数图象与x轴围成封闭区域的面积为 A B C D 4 定积分的值为 A B 3 ln2 C 3 ln2 D 6 ln2 5 如图所示 曲线y x2和曲线y 围成一个叶形图 阴影部分 其面积是 A 1B C D 6 A B 2C D 4 7 已知函数f x 的定义域为 2 4 且f 4 f 2 1 f x 为f x 的导函数 函数y f x 的图 象如图所示 则平面区域f 2a b 1 a 0 b 0 所围成的面积是 A 2B 4C 5D 8 8 01exdx与 01exdx相比有关系式 A 01exdx 01exdx B 01exdx 01exdx C 01exdx 2 01exdx D 01exdx 01exdx 9 若a b 则a与b的关系是 A a bB a bC a bD a b 0 10 的值是 A B C D 11 若f x e为自然对数的底数 则 A e2 e B e C e2 e D e2 e 12 已知f x 2 x 则 A 3B 4C 3 5D 4 5 13 设f x 3 x 1 则 22f x dx A 7B 8C 7 5D 6 5 14 积分 A B C a2D 2 a2 15 已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为 A 1 2B 1C 2D 3 2 16 由函数y cosx 0 x 2 的图象与直线及y 1所围成的一个封闭图形的面积是 A 4B C D 2 17 曲线y x3在点 1 1 处的切线与x轴及直线x 1所围成的三角形的面积为 A B C D 18 图中 阴影部分的面积是 A 16B 18C 20D 22 19 如图中阴影部分的面积是 A B C D 20 曲线与坐标轴围成的面积是 A B C D 21 如图 点P 3a a 是反比例函y k 0 与 O的一个交点 图中阴影部分的面积为10 则反比例函数的解析式为 A y B y C y D y 高考定高考定积积分分应应用常用常见题见题型大全 含答案 型大全 含答案 参考答案与参考答案与试题试题解析解析 一 一 选择题选择题 共 共21小小题题 1 2012 福建 如图所示 在边长为1的正方形OABC中任取一点P 则点P恰好取自阴影部分 的概率为 A B C D 考点 定积分在求面积中的应用 几何概型 501974 专题 计算题 分析 根据题意 易得正方形OABC的面积 观察图形可得 阴影部分由函数y x与y 围 成 由定积分公式 计算可得阴影部分的面积 进而由几何概型公式计算可得答案 解答 解 根据题意 正方形OABC的面积为1 1 1 而阴影部分由函数y x与y 围成 其面积为 01 x dx 01 则正方形OABC中任取一点P 点P取自阴影部分的概率为 故选C 点评 本题考查几何概型的计算 涉及定积分在求面积中的应用 关键是正确计算出阴影部 分的面积 2 2010 山东 由曲线y x2 y x3围成的封闭图形面积为 A B C D 考点 定积分在求面积中的应用 501974 专题 计算题 分析 要求曲线y x2 y x3围成的封闭图形面积 根据定积分的几何意义 只要求 01 x2 x3 dx 即可 解答 解 由题意得 两曲线的交点坐标是 1 1 0 0 故积分区间是 0 1 所求封闭图形的面积为 01 x2 x3 dx 故选A 点评 本题考查定积分的基础知识 由定积分求曲线围成封闭图形的面积 3 设f x 函数图象与x轴围成封闭区域的面积为 A B C D 考点 分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数的图象 定积分在求面积中的应用 5019 74 专题 计算题 数形结合 分析 利用坐标系中作出函数图象的形状 通过定积分的公式 分别对两部分用定积分求出 其面积 再把它们相加 即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积 解答 解 根据题意作出函数的图象 根据定积分 得所围成的封闭区域的面积S 故选C 点评 本题考查分段函数的图象和定积分的运用 考查积分与曲边图形面积的关系 属于中 档题 解题关键是找出被积函数的原函数 注意运算的准确性 4 定积分的值为 A B 3 ln2 C 3 ln2 D 6 ln2 考点 定积分 微积分基本定理 定积分的简单应用 501974 专题 计算题 分析 由题设条件 求出被积函数的原函数 然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可 解答 解 x2 lnx 12 22 ln2 12 ln1 3 ln2 故选B 点评 本题考查求定积分 求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法 属 于基础题 5 如图所示 曲线y x2和曲线y 围成一个叶形图 阴影部分 其面积是 A 1B C D 考点 定积分 定积分的简单应用 501974 专题 计算题 分析 联立由曲线y x2和曲线y 两个解析式求出交点坐标 然后在x 0 1 区间上利用 定积分的方法求出围成的面积即可 解答 解 联立得 解得 或 设曲线与直线围成的面积为S 则S 01 x2 dx 故选 C 点评 考查学生求函数交点求法的能力 利用定积分求图形面积的能力 6 A B 2C D 4 考点 微积分基本定理 定积分的简单应用 501974 专题 计算题 分析 由于F x x2 sinx为f x x cosx的一个原函数即F x f x 根据 abf x dx F x ab 公式即可求出值 解答 解 x2 sinx x cosx x cosx dx x2 sinx 2 故答案为 2 点评 此题考查学生掌握函数的求导法则 会求函数的定积分运算 是一道基础题 7 已知函数f x 的定义域为 2 4 且f 4 f 2 1 f x 为f x 的导函数 函数y f x 的图 象如图所示 则平面区域f 2a b 1 a 0 b 0 所围成的面积是 A 2B 4C 5D 8 考点 定积分的简单应用 501974 分析 根据导函数的图象 分析原函数的性质或作出原函数的草图 找出a b满足的条件 画 出平面区域 即可求解 解答 解 由图可知 2 0 上f x 0 函数f x 在 2 0 上单调递减 0 4 上f x 0 函数f x 在 0 4 上单调递增 故在 2 4 上 f x 的最大值为f 4 f 2 1 f 2a b 1 a 0 b 0 表示的平面区域如图所示 故选B 点评 本题考查了导数与函数单调性的关系 以及线性规划问题的综合应用 属于高档题 解决时要注意数形结合思想应用 8 01exdx与 01exdx相比有关系式 A 01exdx 01exdx B 01exdx 01exdx C 01exdx 2 01exdx D 01exdx 01exdx 考点 定积分的简单应用 定积分 501974 专题 计算题 分析 根据积分所表示的几何意义是以直线x 0 x 1及函数y ex或y ex在图象第一象限 内圆弧与坐标轴围成的面积 只需画出函数图象观察面积大小即可 解答 解 01exdx表示的几何意义是以直线x 0 x 1及函数y ex在图象第一象限内圆弧与坐 标轴围成的面积 01exdx表示的几何意义是以直线x 0 x 1及函数y ex在图象第一象限内圆弧 与坐标轴围成的面积 如图 当0 x 1时 exx ex 故有 01exdx 01exdx 故选B 点评 本题主要考查了定积分 定积分运算是求导的逆运算 解题的关键是求原函数 也可 利用几何意义进行求解 属于基础题 9 若a b 则a与b的关系是 A a bB a bC a bD a b 0 考点 定积分的简单应用 501974 专题 计算题 分析 a cosx cos2 cos cos2 sin24 6 b sinx sin1 sin0 sin1 sin57 3 解答 解 a cosx cos2 cos cos2 cos114 6 sin24 6 b sinx sin1 sin0 sin1 sin57 3 b a 故选A 点评 本题考查定积分的应用 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 10 的值是 A B C D 考点 定积分的简单应用 501974 专题 计算题 分析 根据积分所表示的几何意义是以 1 0 为圆心 1为半径第一象限内圆弧与抛物线y x2 在第一象限的部分坐标轴围成的面积 只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第 一象限的部分与x轴和直线x 1围成的图形的面积即可 解答 解 积分所表示的几何意义是以 1 0 为圆心 1为半径第一象限内圆弧与抛物线y x2 在第一象限的部分坐标轴围成的面积 故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x 1围成 的图形的面积之差 即 故答案选A 点评 本题主要考查了定积分 定积分运算是求导的逆运算 解题的关键是求原函数 也可 利用几何意义进行求解 属于基础题 11 若f x e为自然对数的底数 则 A e2 e B e C e2 e D e2 e 考点 定积分的简单应用 501974 专题 计算题 分析 由于函数为分段函数 故将积分区间分为两部分 进而分别求出相应的积分 即可得 到结论 解答 解 故选C 点评 本题重点考查定积分 解题的关键是将积分区间分为两部分 再分别求出相应的积分 12 已知f x 2 x 则 A 3B 4C 3 5D 4 5 考 点 定积分的简单应用 501974 专 题 计算题 分 析 由题意 由此可求定积分的 值 解 答 解 由题意 2 4 2 3 5 故选C 点 评 本题考查定积分的计算 解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和 13 设f x 3 x 1 则 22f x dx A 7B 8C 7 5D 6 5 考点 定积分的简单应用 501974 专题 计算题 分析 22f x dx 22 3 x 1 dx 将 22 3 x 1 dx转化成 21 2 x dx 12 4 x dx 然后根据定积 分的定义先求出被积函数的原函数 然后求解即可 解答 解 22f x dx 22 3 x 1 dx 21 2 x dx 12 4 x dx 2x x2 21 4x x2 12 7 故选A 点评 本题主要考查了定积分 定积分运算是求导的逆运算 同时考查了转化与划归的思想 属于基础题 14 积分 A B C a2D 2 a2 考点 定积分的简单应用 定积分 501974 专题 计算题 分析 本题利用定积分的几何意义计算定积分 即求被积函数y 与x轴所围成的 图形的面积 围成的图象是半个圆 解答 解 根据定积分的几何意义 则表示圆心在原点 半径为3的圆的 上半圆的面积 故 故选B 点评 本小题主要考查定积分 定积分的几何意义 圆的面积等基础知识 考查考查数形结 合思想 属于基础题 15 已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为 A 1 2B 1C 2D 3 2 考点 定积分在求面积中的应用 501974 专题 计算题 分析 根据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积 求出函数f x 的积分 求出 所求即可 解答 解 由题意图象与x轴所围成图形的面积为 01 sinx 1 故选D 点评 本题考查定积分在求面积中的应用 求解的关键是正确利用定积分的运算规则求出定 积分的值 本题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误 牢固掌握好基础知 识很重要 16 由函数y cosx 0 x 2 的图象与直线及y 1所围成的一个封闭图形的面积是 A 4B C D 2 考点 定积分在求面积中的应用 501974 专题 计算题 分析 由题意可知函数y cosx 0 x 2 的图象与直线及y 1所围成的一个封闭图形可 利用定积分进行计算 只要求 0 1 cosx dx即可 然后根据积分的运算公式进行求 解即可 解答 解 由函数y cosx 0 x 2 的图象与直线及y 1所围成的一个封闭图形的面积 就是 0 1 cosx dx x sinx 0 故选B 点评 本题考查余弦函数的图象 定积分 考查计算能力 解题的关键是两块封闭图形的面 积之和就是上部直接积分减去下部积分 17 曲线y x3在点 1 1 处的切线与x轴及直线x 1所围成的三角形的面积为 A B C D 考点 定积分在求面积中的应用 501974 专题 计算题 分析 欲求所围成的三角形的面积 先求出在点 1 1 处的切线方程 只须求出其斜率的值 即可 故要利用导数求出在x 1处的导函数值 再结合导数的几何意义即可求出切线 的斜率 从而问题解决 解答 解 y x3 y 3x2 当x 1时 y 3得切线的斜率为3 所以k 3 所以曲线在点 1 1 处的切线方程为 y 1 3 x 1 即3x y 2 0 令y o得 x 切线与x轴 直线x 1所围成的三角形的面积为 S 1 1 故选B 点评 本小题主要考查直线的斜率 导数的几何意义 利用导数研究曲线上某点切线方程等 基础知识 属于基础题 18 图中 阴影部分的面积是 A 16B 18C 20D 22 考点 定积分在求面积中的应用 501974 专题 计算题 分析 从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为 2 2 8 4 过 2 2 作x轴的垂线把 阴影部分分为S1 S2两部分 利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到 阴影部分的面积 解答 解 从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为 2 2 8 4 过 2 2 作x轴的垂线 把阴影部