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1 题型五题型五 解析几何中的探索性问题解析几何中的探索性问题 1 设椭圆 C 1 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 上顶点为 A AF1F2 x2 a2 y2 b2 为正三角形 且以 AF2为直径的圆与直线 y x 2 相切 3 1 求椭圆 C 的方程 2 在 1 的条件下 过右焦点 F2作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M N 两点 在 x 轴 上是否存在点 P m 0 使得以 PM PN 为邻边的平行四边形是菱形 若存在 求实数 m 的 取值范围 若不存在 请说明理由 2 2010 福建 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A 2 3 且点 F 2 0 为其右焦 点 1 求椭圆 C 的方程 2 是否存在平行于 OA 的直线 l 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点 且直线 OA 与 l 的距 离等于 4 若存在 求出直线 l 的方程 若不存在 说明理由 2 答案答案 1 解 1 AF1F2是正三角形 a 2c 由已知 F2 c 0 A 0 b 以 AF2为直径的圆的圆心为 半径 r a 1 2c 1 2b 1 2 又该圆与直线x y 2 0 相切 3 则有 3 2 c b 2 2 2 a 2 由 a 2c 得 b c 3 3 2 c 3 2 c 2 2 a 2 得 a 2 c 1 b 3 椭圆 C 的方程为 1 x2 4 y2 3 2 由 1 知 F2 1 0 l y k x 1 由Error 得 3 4k2 x2 8k2x 4k2 12 0 设 M x1 y1 N x2 y2 则 x1 x2 y1 y2 k x1 x2 2 8k2 3 4k2 x1 m y1 x2 m y2 PM PN x1 x2 2m y1 y2 由菱形对角线垂直 则 0 PM PN MN x1 x2 2m x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 得 k y1 y2 x1 x2 2m 0 得 k2 x1 x2 2 x1 x2 2m 0 k2 2m 0 8k2 3 4k2 2 8k2 3 4k2 由已知条件 k 0 且 k R m k2 3 4k2 1 3 k2 4 0 0 mb 0 且可知其左焦点为 x2 a2 y2 b2 F 2 0 3 从而有Error 解得Error 又 a2 b2 c2 所以 b2 12 故椭圆 C 的方程为 1 x2 16 y2 12 2 假设存在符合题意的直线 l 设其方程为 y x t 3 2 由Error 得 3x2 3tx t2 12 0 因为直线 l 与椭圆 C 有公共点 所以 3t 2 4 3 t2 12 0 解得 4 t 4 33 另一方面 由直线 OA 与 l 的距离 d 4 得 4 t 9 4 1 解得 t 2 13 由于 2 4 4 1333 所以符合题意的直线 l 不存在 方法二 1 依题意 可设椭圆 C 的方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 且有
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