课时跟踪检测(三十三)　数列的综合应用

课时跟踪检测 三十三 数列的综合应用 分 卷 共 2 页 第 卷 夯基保分卷 1 已知数列 an 的前 n 项和 Sn an 1 a 0 则数列 an A 一定是等差数列 B 一定是等比数列 C 或者是等差数列 或者是等比数列 D 既不可能是等差数列 也不可能是等比数列 2 2013 辽宁高考 下面是关于公差 d 0 的等差数列 an 的四个命题 p1 数列 an 是递增数列 p2 数列 nan 是递增数列 p3 数列是递增数列 an n p4 数列 an 3nd 是递增数列 其中的真命题为 A p1 p2 B p3 p4 C p2 p3 D p1 p4 3 2013 湖南省五市十校联合检测 已知函数 f x 是定义在 0 上的单调函数 且 对任意的正数 x y 都有 f x y f x f y 若数列 an 的前 n 项和为 Sn 且满足 f Sn 2 f an f 3 n N 则 an为 A 2n 1 B n C 2n 1 D n 1 3 2 4 将石子摆成如图的梯形形状 称数列 5 9 14 20 为梯形数 根据图形的构成 此 数列的第 2 012 项与 5 的差即 a2 012 5 A 2 018 2 012 B 2 018 2 011 C 1 009 2 012 D 1 009 2 011 5 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树 每人植一棵 相邻两棵树相距 10 米 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗 往返所走的路程总和最小 这个最小值为 米 6 设数列 an 中 若 an 1 an an 2 n N 则称数列 an 为 凸数列 已知 创新题 数列 bn 为 凸数列 且 b1 1 b2 2 则数列 bn 的前 2 013 项和为 7 2014 济南高考模拟考试 数列 an 的前 n 项和为 Sn a1 1 an 1 2Sn 1 n N 等差数列 bn 满足 b3 3 b5 9 1 分别求数列 an bn 的通项公式 2 设 cn n N 求证 cn 10 且 a 1 的图像上一点 等比数 1 1 3 列 an 的前 n 项和为 f n c 数列 bn bn 0 的首项为 c 且前 n 项和 Sn满足 Sn Sn 1 n 2 SnSn 1 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 若数列 cn 的通项 cn bn n 求数列 cn 的前 n 项和 Rn 1 3 第 卷 提能增分卷 1 2014 乌鲁木齐第一次诊断 已知等比数列 an 和等差数列 bn 均是首项为 2 各项 为正数的数列 且 b2 4a2 a2b3 6 1 求数列 an bn 的通项公式 2 求使 abn 0 001 成立的正整数 n 的最小值 2 2014 江南十校联考 已知直线 ln y x 与圆 Cn x2 y2 2an n 交于不同的 2n 两点 An Bn n N 数列 an 满足 a1 1 an 1 AnBn 2 1 4 1 求数列 an 的通项公式 2 若 bn Error 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 3 已知点 A 1 0 B 0 1 和互不相同的点 P1 P2 P3 Pn 满足 创新题 an bn n N 其中 an bn 分别为等差数列和等比数列 O 为坐标原点 n OP OA OB 若 P1是线段 AB 的中点 1 求 a1 b1的值 2 点 P1 P2 P3 Pn 能否在同一条直线上 请证明你的结论 答 案 第 卷 夯基保分卷 1 选 C Sn an 1 a 0 an Error 即 an Error 当 a 1 时 an 0 数列 an 是一个常数列 也是等差数列 当 a 1 时 数列 an 是一个 等比数列 2 选 D 设 an a1 n 1 d dn a1 d 它是递增数列 所以 p1为真命题 若 an 3n 12 则满足已知 但 nan 3n2 12n 并非递增数列 所以 p2为假命题 若 an n 1 则满足已知 但 1 是递减数列 所以 p3为假命题 设 an 3nd 4dn a1 d 它是递增 an n 1 n 数列 所以 p4为真命题 3 选 D 由题意知 f Sn 2 f an f 3 n N Sn 2 3an Sn 1 2 3an 1 n 2 两式相减得 2an 3an 1 n 2 又 n 1 时 S1 2 3a1 a1 2 a1 1 数列 an 是首项为 1 公比为 的等比数列 an n 1 3 2 3 2 4 选 D 结合图形可知 该数列的第 n 项 an 2 3 4 n 2 所以 a2 012 5 4 5 2 014 4 2 011 2 011 1 009 故选 D 2 011 2 010 2 5 解析 当放在最左侧坑时 路程和为 2 0 10 20 190 当放在左侧第 2 个 坑时 路程和为 2 10 0 10 20 180 减少了 360 米 当放在左侧第 3 个坑时 路 程和为 2 20 10 0 10 20 170 减少了 680 米 依次进行 显然当放在中间的第 10 11 个坑时 路程和最小 为 2 90 80 0 10 20 100 2 000 米 答案 2 000 6 解析 由 凸数列 的定义 可知 b1 1 b2 2 b3 3 b4 1 b5 2 b6 3 b7 1 b8 2 故数列 bn 是周期为 6 的周期数列 又 b1 b2 b3 b4 b5 b6 0 故数列 bn 的前 2 013 项和 S2 013 b1 b2 b3 1 2 3 4 答案 4 7 解 1 由 an 1 2Sn 1 得 an 2Sn 1 1 n 2 n N 得 an 1 an 2 Sn Sn 1 an 1 3an n 2 n N 又 a2 2S1 1 3 a2 3a1 an 3n 1 b5 b3 2d 6 d 3 bn 3n 6 2 证明 an 2 3n 1 bn 2 3n cn cn 1 cn 0 3n 3n 1 n 3n 1 2n 3n 1 cn 1 cn c1 1 3 即 cn 10 SnSn 1SnSn 1SnSn 1 0 1 SnSnSn 1 数列 构成一个首项为 1 公差为 1 的等差数列 Sn 1 n 1 1 n Sn n2 Sn 当 n 2 时 bn Sn Sn 1 n2 n 1 2 2n 1 又 b1 c 1 满足 bn 2n 1 bn 2n 1 n N 2 cn bn n 2n 1 n 1 3 1 3 Rn c1 c2 c3 cn Rn 1 1 3 2 5 3 2n 1 n 1 3 1 3 1 3 1 3 Rn 1 2 3 3 5 4 2n 3 n 2n 1 n 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 由 得 Rn 2Error 2 3 1 3 Error 2n 1 n 1 1 3 化简得 Rn 2 2 3 1 3 2n 1 n 1 n 1 321 1 3n 1 1 1 3 1 3 2 3 2 n 1 3 1 3 Rn 1 n 1 3n 第 卷 提能增分卷 1 解 1 设 an 的公比为 q bn 的公差为 d 依题意得Error 解得Error 或Error 舍 an n 2 bn 2n 1 2 2 由 1 得 abn a2n 2n 2 1 2 abn 0 001 即 2n 21 000 2n 2 10 即 n 6 满足题意的正整数 n 的最小值为 6 2 解 1 由题意知 圆 Cn的圆心到直线 ln的距离 dn 圆 Cn的半径 rn n2an n an 1 2 r d 2an n n 2an 又 a1 1 an 2n 1 1 2 AnBn 2 n2 n 2 当 n 为偶数时 Tn b1 b3 bn 1 b2 b4 bn 1 5 2n 3 2 23 2n 1 2n 1 n n 1 2 2 1 2n 1 4 n2 n 2 2 3 当 n 为奇数时 n 1 为偶数 Tn 1 2n 1 1 2n 1 1 n 1 2 n 1 2 2 3 n2 n 2 2 3 而 Tn 1 Tn bn 1 Tn 2n Tn 2n 2 n2 n 2 1 3 Tn Error 3 解 1 P1是线段 AB 的中点 1 OP 1 2OA 1 2OB 又 a1 b1 且 不共线 1 OP OA OB OA OB 由平面向量基本定理 知 a1 b1 1 2 2 由 an bn n N an bn n OP OA OB n OP 设 an 的公差为 d bn 的公比为 q 则由于 P1 P2 P3 Pn 互不相同 所以 d 0 q 1 不会同时成立 若 d 0 q 1 则 an a1 n N 1 2 P1 P2 P3 Pn 都在直线 x 上 1 2 若 q 1 d 0 则 bn 为常数列 1 2 P1 P2 P3 Pn 都在直线 y 上 1 2 若 d 0 且 q 1 P1 P2 P3 Pn