微积分(二)同步练习

理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 1 8 1 向量及其线性运算 向量及其线性运算 1 2 3 4 一 设 试用表示 2 2uabc vabc a b c 24uv 二 为三个模为 1 的单位向量 且有成立 证明 可构成一个等边三角 a b c 0abc a b c 形 三 把 的边四等分 设分点依次为 再把各分点与点连接 试以ABCBC 123 DDD A 表示向量和 ABc BCa 12 D A D A 3 D A 四 已知两点和 试用坐标表示式表示向量及 1 1 2 3M 2 1 2 1M 12 M M 12 3M M 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 2 五 在空间直角坐标系中 指出下列各点在哪个卦限 并画出前两个 1 1 1A 2 1 1B 2 3 4C 3 4 5D 六 指出下列各点的位置 观察其所具有的特征 并总结出一般规律 0 4 3 A 3 0 4 B 0 0 1 C 0 8 0 D 七 求点关于 1 各坐标面 2 各坐标轴 3 坐标原点的对称点的坐标 x y z 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 3 8 1 向量及其线性运算 向量及其线性运算 5 8 2 数量积数量积 向量积向量积 一 试证明以三点为顶点的三角形是等腰直角三角形 10 1 64 1 92 4 3ABC 二 设已知两点 计算向量的模 方向余弦和方向角 并求 12 5 2 24 0 3MM和 12 M M 与方向一致的单位向量 12 M M 三 设 求在轴上的投234 4223mijk nijkpijk 及232amnp x 影及在轴上的分向量 z 四 已知为三个模为 1 的单位向量 且 求之值 a b c 0abc a bb cc a AAA 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 4 五 已知 计算 23 aijk bijkcij 和 1a b ca c b AA 2abbc 3ab c A 六 设 问满足何关系时 可使与轴垂直 2 1 3 1 2 1ab 和ab z 七 已知 求 的面积 1 2 3OA 2 1 1OB AOB 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 5 8 3 曲面及其方程曲面及其方程 一 一动点与两定点等距离 求这动点的轨迹方程 1 2 33 0 7和 二 方程表示什么曲面 222 2460 xyzxyz 三 将平面上的双曲线分别绕轴及轴旋转一周 求所生成的旋转曲面的xoz 22 4936xz xz 方程 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 6 四 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形 1 24yx 22 2 326xy 五 说明下列旋转曲面是怎样形成的 222 1 226xyz 2 22 2 zaxy 六 指出下列方程所表示的曲面 222 1 22xyz 222 2 33xyz 22 3 345 xyz 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 7 8 4 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 8 5 平面及其方程平面及其方程 1 一 填空题 1 曲面与平面的交线圆的方程是 其圆心坐标是 22 xy 2 0 9 z 3z 圆的半径为 2 曲线在面上的投影曲线为 22 222 1 1 1 1 xy xyz yoz 3 螺旋线 在面上的投影曲线为 cosxa sinya zb yoz 4 上半锥面 在面上的投影为 在面上的投影 22 zxy 01z xoyxoz 为 在面上的投影为 yoz 二 选择题 1 方程在空间解析几何中表示 22 1 49 xy yz 椭圆柱面 椭圆曲线 两个平行平面 两条平行直线 2 参数方程的一般方程是 cos sin xa ya zb B C D 222 xya cos z xa b sin z ya b cos sin z xa b z ya b 3 平面的位置是 20 xz 平行坐标面 平行轴xozoy 垂直于轴 通过轴oyoy 4 下列平面中通过坐标原点的平面是 C D 1x 2340 xyz 3 1 3 0 xyz 1xyz 三 化曲线为参数方程 222 9xyz yx 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 8 四 画出下列曲线在第一卦限内的图形 1 2 x y 222 222 xya xza 五 求通过三点 和的平面方程 1 1 1 2 2 2 1 1 2 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 9 8 5 平面及其方程平面及其方程 2 3 8 6 空间直线及其方程空间直线及其方程 一 填空题 过点且平行于直线的直线方程为 4 1 3 P 5 1 2 3 2 z y x 过点且与直线垂直的平面方程为 2 0 3 P 277 3521 xyz xyz 过点且与二平面和平行的直线方程是 0 2 4 P21xz 32yz 4 当 时 直线与平面平行 m 13 2 4 1zyx 3510mxyz 二 选择题 1 下列直线中平行与坐标面的是 xoy A C B D 2 3 3 2 1 1 zyx 10 1 0 1zyx 440 40 xy xz 12 3 4 xt yt z 2 直线与平面的关系是 L 37 4 2 3zyx 4223xyz A 平行 B 垂直相交 C 在上 D 相交但不垂直L 3 设直线与 则与的夹角为 1 158 121 xyz L 2 6 23 xy L yz 1 L 2 L A 6 B 4 C 3 D 2 4 两平行线与之间的距离是 tztytx 12 1 1 1 2 1 1 2 zyx 12 2 3 4 3 3 三 设直线通过 且与相交 又与垂直 求直线L 1 1 1 1 6 32Lxyz 2 L 4 3 1 2 2 1 zyx 的方程 L 四 求通过轴 且与平面的夹角为的平面方程 z2570 xyz 3 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 10 五 求通过点 且又通过直线的平面方程 2 0 1 P 3 2 12 1 zyx 六 设直线 求证与相交 并求交点坐标 11 230 112 xyz Lxyz 与平面 L 求与交角 求过与交点且与垂直的平面方程 求过且与垂直L L LL 的平面方程 求在上的投影直线方程 L 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 11 第八章第八章 习题课习题课 一 选择题 1 若直线和直线相交 则 1 2 1 1 1 zyx z yx 1 1 1 1 A B C D1 3 2 5 4 5 4 2 母线平行于轴且通过曲线的柱面方程是 x 0 162 222 222 zyx zyx A B C D 2 216xy 22 316yz 22 3216xz 22 316yz 3 曲线的参数方程是 222 1 1 4 0 xyz z B C D 0 sin3 cos31 z y x 0 sin2 cos21 z y x 0 sin3 cos3 z y x 0 sin2 cos2 z y x 二 填空题 1 已知与垂直 且 5 12 则 a b a b ba ba 2 一向量与轴和轴成等角 而与轴组成的角是它们的二倍 那么这个向量的方向角 oxoyoz 3 已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点 则该平面方程为 2 2 1 三 证明 与垂直 b c ac a b c 四 求原点关于平面的对称点 6291210 xyz 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 12 五 求过点垂直于直线 且平行于平面的直线方程 1 2 3 456 xyz 789100 xyz 六 求过原点且与直线垂直相交的直线方程 2340 23450 xyz xyz 七 讨论两直线与的位置关系 1 230 2470 xyz l xyz 2 32350 3230 xyz l xyz 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 13 9 1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 一 已知 求 22 yx x y yxf f x y 二 求下列函数的定义域 1 2 yxyx z 11 22 1 ln yx x xyz 3 2222 ln 9 1 zxyxy 三 求下列极限 若不存在 说明理由 1 2 22 1 0 1 lim yx xy y x 22 22 0 0 cos1 lim yx yx y x 3 4 yx x y x 0 0 lim 11 lim 0 0 xy xy y x 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 14 四 讨论函数的连续性 sin 2 2 2 0 2 xxy xy xyf x y xy 五 设 证明 对任意 在处连续 sinf x yx 00 xy 00 xR yR f x y 00 xy 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 15 9 2 偏导数偏导数 9 3 全微分全微分 1 一 计算 1 设 求 22 x f x yxy xy 0 1 x f 0 1 y f 2 设函数 且 求 zf x y 2 2 2 f y 0 1f x 0 y fxx f x y 二 求下列函数的一阶偏导数 1 2 z y ux 21 0 xy x y F x yf s dse dx 3 1 arcsin x f x yxy y 三 求下列函数的二阶偏导数 1 4422 4zxyx y 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 16 2 y xz 四 设 求证 11 xy ze 22 2 zz xyz xy 五 求下列函数的全微分 1 2 sin x ze yxy xyz ux 3 求 22 ln 1zxy 1 1 dz 六 求在点的偏导数 22 f x yxy 0 0 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 17 9 4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 一 计算 1 设 求 2 其中可微 求 3 zxyx zz xy sin x y zf ey x f x y z x 二 设 求 222 xyz ue 2 sinzxy uu xy 三 设 且可微 求 22 uf xy xy f uu xy 四 设 求 2 sin cos 1 ax eyz uyax zx a du dx 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 18 五 已知 2 ln zf x yxy 2 zz xx y 六 设 其中连续偏导 求 y zf u x y uxe f zz xy 七 设 求 23 y z uxfxy e 2 2 u y 八 设函数满足 作变换 求证 u0 uuu xyz xyxzx 0 u 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 19 9 5 9 5 隐函数的求导公式隐函数的求导公式 9 6 9 6 多元微分学的几何应用 多元微分学的几何应用 1 1 1 设 求 2 设 求 2 sin 0 y exyx dy dx xyzxyz z x z y 3 设 其中可微 求 4 设 可微 求 22 y z yzx y z 0F xy xy xy F dy dx 5 设 求及 6 设 求 3 20zxzy yx z 22 2 z x 222 0 1 axbycz xyz dz dy dx dy 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 20 7 证明由方程 可微 确定的函数满足 0f cxaz cybz f zz x y zz abc xy 8 求曲线 在处的切线和法平面方程 cosxat sinyat zbt 4 t 9 求曲线在点处的切线和法平面方程 222 6 0 xyz xyz 1 2 1M 10 求曲线 在点处的切线和法平面方程 2 sinxt sin cosytt 2 coszt 0 5 0 5 0 5 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 21 9 6 9 6 多元微分学的几何应用 多元微分学的几何应用 2 2 9 7 9 7 方向导数和梯度方向导数和梯度 1 求曲面在点处的切平面与法线方程 2 xyz 1 4 2 2 求曲面上平行于平面的切平面方程 222 24xyz 21xyz 3 求函数在点处 沿从点到的方向的方向导数 uxyz 5 1 2 5 1 2 9 4 14 4 求函数在点处方向导数的最大值 2 2uxyz 2 1 1 5 设 求 222 vxyz gradv 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 22 6 求在点处的梯度 并求该梯度方向的方向导数 uxxyxyz 1 2 1 7 求在点处沿曲线的内法向量的方向导数 22 22 1 xy z ab 22 ab 1 2 2 2 2 b y a x 8 设是曲面在点处指向外侧的法向量 求函数在点n 222 2362xyz 1 1 1P z yx u 22 86 处沿方向的方向导数 Pn 9 试证 曲面上任意一点处切平面与三个坐标轴所围四面体体积为常数 3 xyza 理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 23 9 8 9 8 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法 1 求的极值 22 f x yxyxyx y 2 求的极值点及极 22 2 y f x yxxy e 值 3 求在条件下的极值 zxy 21xy 4 设 求在条件uxyz u 22 2zxy 下的极值 5 设 求在区域上的最大值与最小值 22 uxxy u 22 1Dxy 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 24 6 求曲线上到坐标面距离最短的点 22 1 zxy xy xoy 7 求内接于椭球面且棱平行于坐标轴的体积最大的长方体 222 222 1 xyz abc 8 求周长为的三角形的最大面积 2p 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 25 第九章第九章 习题课习题课 1 求偏导数 1 2 ln zxy arctan zuxy 2 已知 求 arctan 22 y x zxye dz 3 设 其中具有 2 阶连续导数 求 1 zf xyyxy x f 2z x y 4 设 而由方程确定 其中 一阶连续可导 求 yf x z zz x y 0F x y z fF dy dx 5 设 二阶可导 求 uf x xy xyz f x y u x 2u x y 2u x z 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 26 6 设 及点 1 试求 2 若在处取最 22 uxxyy cos sinl 0 1 1 P u l u l 0 P 大值 求 7 设满足方程 且 求 zz x y 2e23 z zxy 1 2 0z 1 2 d z 8 证明 锥面上任一点的切平面都经过其顶点 22 1zxy 9 求周长为定值的三角形 使它绕自己的一边旋转所产生的旋转体体积最大者 2p 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 27 10 1 10 1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 10 2 10 2 二重积分的计算法 二重积分的计算法 1 1 1 利用二重积分的几何意义计算 1 2 由 所围 求 222 222 ayx dyxa D1 1 0 xyxyx D yd 2 利用估值定理估计下列积分的值 1 2 22 22 1 41 xy xydxdy 10 10 22 y x dyxxy 3 比较下列积分的大小 1 2 22 01 01 x y xyd 33 01 01 x y xyd 1 D f x y d 2 D f x y d 12 0 fDD 4 计算 1 2 22 1 1 xy xxyyd 0 0 cos x y x xxy d 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 28 5 画出积分区域 并计算 1 其中由所围 xy D ye dxdy D1 2 1xyxy 2 其中 2 D xydxdy 1Dx yxy 6 交换积分次序 1 2 1 1 0 y dyf x y dx 2 1 0 y y dyf x y dx 3 2 2 2 0 y y dyf x y dx 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 29 10 2 10 2 二重积分的计算法 二重积分的计算法 1 1 续 续 2 2 1 画出下列积分区域 并把化为极坐标系下的二次积分 D D f x y dxdy 1 2 2222 0Dx y axybab 22 24Dx yxxyx 2 将下列二次积分化为极坐标形式并计算 1 2 1 1 0 0 dxxy dy 2 2 1 11 0 11 x x dxxydy 3 利用极坐标计算 1 2 22 22 14 ln xy xydxdy 22 4 xyx xy dxdy 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 30 4 计算二重积分 1 是由 直线围成dvyx D 22 D 2 1yx 1 1 2yyx 2 其中为 D dxdy yx yx 22 D1 1 22 yxyx 5 求圆锥体被柱面所截下部分的体积 22 zxy 2 2zx 6 用二重积分表示由三个坐标面及所围立体的体积 并计算之 236xyz 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 31 10 3 10 3 三重积分 三重积分 1 1 2 2 1 化三重积分为三次积分 其中积分区域分别为 If x y z dxdydz 1 由双曲抛物面及平面所围成的闭区域2xyz 10 0 xyz 2 由曲面及所围成的闭区域 22 23zxy 2 3zx 2 计算 其中为 23 xy z dxdydz axb cyd lzm 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 32 3 计算 其中为平面所围成的四面体 3 2 dxdydz xyz 0 0 0 1xyzxyz 4 利用三重积分计算由曲面及所围成的立体的体积 22 6zxy 22 zxy 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 33 10 3 10 3 三重积分 三重积分 2 2 续 续 1 利用柱面坐标计算下列三重积分 1 其中是由曲面及所围成的闭区域zdv 22 3zxy 22 2zxy 2 其中是由曲面及平面所围成的闭区域 22 xydv 22 2xyz 8z 2 利用球面坐标计算下列三重积分 1 其中是由球面所围成的闭区域 222 xyzdv 222 2xyz 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 34 2 其中闭区域由不等式所确定zdv 2 222222 24 xyzaaxyz 3 利用三重积分计算由曲面及所围成的立体的体积 22 5zxy 22 4xyz 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 35 10 4 10 4 重积分的应用重积分的应用 第十章第十章 习题课 习题课 1 1 1 求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积 222 xyR 222 xzR 2 求球面含在圆柱面内部的那部分面积 2222 xyzR 22 xyRx 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 36 3 计算下列二重积分 1 其中 22 D xyd 0sin 0Dx yyxx 2 其中是圆周所围成的闭区域 222 D axy d D 22 xyax 3 其中 2 486 D xxyd 222 Dx y xyR 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 37 第十章第十章 习题课 习题课 2 2 1 交换下列二次积分的积分次序 1 2 2 3 1 0 x x dxf x y dy 2 2 1 1 1 1 x x dxf x y dy 2 将化为极坐标形式 2 3 22 0 x x dxfxydy 3 计算 其中 cos esind d xy D xxy x y 1Dxy 4 求曲面包含在圆柱内那部分的面积 azxy 222 xya 5 设可微 且 求 其中 f x 0 0f 22 3 0 1 lim d d t D fxyx y t 222 D xyt 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 38 6 计算下列三重积分 1 其中是 与的公共部分 2 x dxdydz 2222 xyzR 222 20 xyzRx R 2 其中是由球面所围成的闭区域 222 222 sin1 1 xxyz dxdydz xyz 2222 xyzR 3 其中是由曲面及平面所围成的闭区域 22 xydxdydz 222 9zxy 3z 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 39 11 1 11 1 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 11 2 11 2 对坐标的曲线积分 对坐标的曲线积分 1 1 1 计算下列对弧长的曲线积分 1 其中为 22 n L xyds A L cos 02 sin xRt t yRt 2 其中为由与所表示的圆的一周 2 L x ds A L 222 1xyz 0 xyz 3 其中为曲线上相应于 从变到的 222 1 ds xyz cos sin ttt xet yet ze t02 一段弧 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 40 4 其中为内摆线 44 33 L xyds A L 222 333 xya 2 设为双纽线 求 L 222222 0 xyaxya L y ds 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 41 11 2 11 2 对坐标的曲线积分 对坐标的曲线积分 2 2 3 3 11 3 11 3 格林公式及其应用 格林公式及其应用 1 1 1 计算下列对坐标的曲线积分 1 其中为及轴所围成的在第一象限内的区域的 L xydx A L 2 22 0 xRyRR x 逆时针方向绕行的整个边界 2 其中为逆时针方向绕行的圆周 22 L xy dxxy dy xy A L 222 xyR 3 其中为从点到点的一段直线 232xdxydyxydz 1 1 1 2 3 4 4 其中为上从点到点的一段弧 322 22 L xxydxyxy dy L 2 yx 1 1 1 1 2 将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分 其中为 L P x y dxQ x y dy L 1 在平面内从点到点的直线段xoy 0 0 1 3 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 42 2 沿的上半部分从点到点 22 2xyx 0 0 1 1 3 利用曲线积分计算星形线所围图形的面积 222 333 xya 4 利用格林公式计算下列曲线积分 1 其中为三顶点分别为 和的三角 24357 L xydxxydy A L 0 0 3 0 3 2 形正向边界 2 其中为 且为逆时针方向 22 4 L ydxxdy xy A L 2 2 29xy 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 43 11 3 11 3 格林公式及其应用 格林公式及其应用 2 2 3 3 一 验证下列曲线积分与路径无关 并求积分值 1 1 1 0 0 xy dxdy 2 沿在右半平面的路线 1 2 2 2 1 ydxxdy x 二 利用格林公式计算曲线积分 其中为圆周上 sin cos1 L yy dxxydy A L 22 2xyx 从点到点的一段弧 0 0 O 1 1 A 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 44 三 验证下列是某一函数的全微分 并求这样的一个 P x y dxQ x y dy U x y U x y 1 2222 2 2 xxyydxxxyydy 2 2sin cosxy dxxydy 四 在过点与的曲线族中 求一条曲线 使沿该曲线从 0 0O 0A sin0yaxa L 到的积分的值最小 OA 3 12 L ydxxy dy 五 求可微函数 使关系式成立 其中为与轴不相交的任何闭曲线 f x 0 L f xydxxdy A Ly 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 45 第十一章第十一章 曲线积分及格林公式习题课曲线积分及格林公式习题课 一 计算 其中为连接点 的闭折线 L xy ds A L 0 0 1 0 0 1 二 计算 其中为圆周 直线 和在第一象限内围成扇形的边 L yx dse 22 L 222 ayx yx 0y 界 三 计算 是从沿到的圆弧 ydxxdyxy L 22 L 1 0 A 2 1xy 1 0 B 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 46 四 计算曲线积分 2 2 1 1 L ydxxdy I xy A 其中为圆周的正向 为椭圆的正向 1 L 22 20 xyy 2 L 22 480 xyx 五 设曲线积分与路径无关 其中具有连续的导数 且 计算 2 L xy dxyx dy 00 1 1 2 0 0 Ixy dxyx dy 六 设曲线是正向圆周 是连续的正函数 证明 L 22 1xaya x 2 L x dyyx dx y A 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 47 11 4 11 4 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 11 5 11 5 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 1 1 一 计算下列对面积的曲面积分 1 其中是上半球面 xyz dS 2222 0 xyzaz 2 其中为柱面被平面所截取的部分 22 dS xy 222 xyR 0 zzh 3 其中为平面在第一卦限的部分xyzdS 1xyz 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 48 二 求面密度为的抛物面壳的质量 z 22 1 01 2 zxyz 三 如是坐标面面内的一个闭区域时 曲面积分与二重积分有什么关系 xOy R x y z dxdy 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 49 11 5 11 5 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 2 3 2 3 11 6 11 6 高斯公式高斯公式 1 1 一 计算下列对坐标的曲面积分 1 其中是球面的上半部分并取外侧yzdzdx 222 1xyz 2 其中是由平面和所围的四面体表面并xydydzyzdzdxzxdxdy 0 xyz 1xyz 取外侧 二 求流速场穿过曲面与平面所围成的立体表面的流量 kyi xv 2 22 yxz 1z 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 50 三 试把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分 P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy 其中是平面在第一卦限的部分的上侧 322 36xyz 四 利用高斯公式计算曲面积分 其中是 22 y xz dydzx dzdxyxz dxdy A 0 xxa 所围正方体表面的外侧 0 0 yya zza 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 51 第十一章第十一章 曲面积分及高斯公式习题课曲面积分及高斯公式习题课 一 计算 为球面的外侧 dxdy z dzdx y dydz x 111 2222 xyzR 二 设是球面的外侧 求曲面积分 2222 azyx zdxdy 三 计算为的下侧 dxdyyxdxdzxzdydzzy 0 222 hzyxz 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 52 四 求曲面积分 为锥面与平面所围成的区域的边界曲面 dsyx 22 22 zxy 1z 五 利用高斯公式计算曲面积分 其中为界于和 之间的圆柱xdydzydzdxzdxdy A 0z 3z 体的整个表面的外侧 22 9xy 六 计算对坐标的曲面积分 其中是平行六面体 If x dydzg y dzdxh z dxdy A 的表面并取外侧 为上的连续函数 0 0 0 xaybzc f x g y h z 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 53 12 1 12 1 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质 12 2 12 2 常数项级数的审敛法 常数项级数的审敛法 1 1 一 根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的收敛性 1 2 1111 1 66 111116 54 51 nn AAA 1 221 n nnn 二 判断下列级数的收敛性 1 2 3451 234 n n 2341 23 8888 9999 n n 3 23 11111111 3132333nn 三 若级数收敛于 1 求级数的和 1 n n u 2 1 nn n uu 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 54 四 求级数的和 22 1 21 1 n n n n 五 判别下列级数的收敛性 1 2 3 1 1 2 n n n 1 11 sin n nn 3 4 1 1 2 tan 3 n n n 1 1 1 n n a 0 a 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 55 12 2 12 2 常数项级数的审敛法 常数项级数的审敛法 1 1 2 2 3 3 一 用比值审敛法判断下列级数的收敛性 1 2 3 12 n n n 12 n n n n n A 3 1 1 sin 2n n n 二 用根值审敛法判断下列级数的收敛性 1 2 2 1 11 1 4 n n n n 2 1 2 31 n n n n 3 其中 1 n n n e a lim0 n n aa 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 56 三 判断下列级数是否收敛 如果是收敛 是绝对收敛还是条件收敛 1 2 1 1 1 2 n n n 2 1 1 2 n n n n 3 2 1 2 1 2 1 n nn n n 四 设收敛 证明绝对收敛 2 1 n n a 1 n n a n 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 57 12 3 12 3 幂级数幂级数 一 求下列幂级数的收敛域 1 2 1 1 n n n x n 1 2n n n x n A 3 4 1 3 1 nn n n x n A 2 1 1 21 n n n x n 5 1 2 n n x n 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 58 二 设级数在处收敛 讨论此级数在处的敛散性 1 1 n n n ax 2x 53x 三 利用逐项求导或逐项积分 求下列级数的和函数 1 2 21 12 1 n n x n 1 1 1 n n nx 四 求级数的和函数 并求出级数的和 22 1 21 2 n n n n x 1 21 2n n n 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 59 12 4 12 4 函数展开成幂级数函数展开成幂级数 一 将下列函数展开成的幂级数 并求展开式成立的区间 x 1 2 2 2cos x 1 ln 1 xx 3 4 sin 4 x 0 sin x t dt t 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 60 二 将下列函数展开成的幂级数 并求展开式成立的区间 1 x 1 ln ax 0 a 2 1 1 x x 三 将函数展开成的幂级数 并求展开式成立的区间 2 45 x f x xx 2 x 苏州大学理工类高等数学 课次练习 班级 学号 姓名 61 第十二章第十二章 习题课习题课 一 对于正项级数 1 n n u 1 若 是否 1 1 2 nn uu n 1 n n u 一定发散 2 若 是否 1 1 2 nn uu n 1 n n u 一定收敛 二 设正项数列单调减少 并且发散 判别的敛散性 n a 1 1 n n n a 1 1 1 n n n a 三 判断下列级数的收敛性 1 2 1 1 n nn n 1 1 cos n n 3 4 2