武汉市中考第25题的解题分析

武汉市中考第武汉市中考第 25 题的解题分析题的解题分析 25 本题 12 分 已知抛物线 y a x 1 2 c a 0 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的 1 1 左侧 与 y 轴交于点 C 其顶点为 M 已知直线 MC 的函数表达式为 y kx 3 与 x 轴的交点为 N 且 cos BCO 3 10 10 求抛物线的解析式 在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P 使以 N P C 为顶点的三角形是以 NC 为一条直角边的直角三角形 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 如图 2 过点 A 作 x 轴的垂线 交直线 MC 于点 Q 若将抛物线沿其对称轴上下平 移 使抛物线与线段 NQ 总有公共点 则抛物线向上最多可平移多少单位长度 向下 最多可平移多少个单位长度 解 25 抛物线为 y x 1 2 4 x2 2x 3 假设在抛物线线上存在异于点 C 的点 P 使以 N P C 为顶点 的三角形是以 NC 为一条直角边的直角三角形 当 PNC 90 时 可知 M 1 4 代入 y kx 3 得 k 1 直线 MC 为 y x 3 N 3 0 OC ON 3 CNO 45 设 NP 交 y 轴于 D PNC 90 DNO PNC CNO 45 OD ON 3 D 0 3 于是可得直线 DN y x 3 由可得 y x 3 y x2 2x 3 C A N B M Q 图 2 O x y C A N B M Q 图 1 O x y C A N B M D P2 Q P1 第 25 题 O x y 图 1 D M C BA O x y E F Q O x y P1 P2 3 33 2 9 33 2 3 33 2 9 33 2 当 PCN 90 时 同理可得 P3 3 0 P4 0 3 舍去 综上 抛物线线上存在满足条件的点有3 个 P1 P2 3 33 2 9 33 2 3 33 2 9 33 2 P3 3 0 若抛物线向上平移 最多可平移 个单位长度 1 4 若抛物线向下平移 最多可平移 12 个单位长度 25 本题满分 12 分 如图 1 抛物线 y ax2 bx 3 经过点 A 3 0 B 1 0 两点 2 2 1 求抛物线的解析式 2 设抛物线的顶点为 M 直线 y 2x 9 与 y 轴交于点 C 与直线 OM 交于点 D 现将抛物 线平移 保持顶点在直线 OD 上 若平移的抛物线与射线 CD 含端点 C 只有一个公共点 求它的顶点横坐标的值或取值范围 3 如图 2 将抛物线平移 当顶点至原点时 过 Q 0 3 作不平行于 x 轴的直线交抛物 线于 E F 两点 问在 y 轴的负半轴上是否存在一点 P 使 PEF 的内心在 y 轴上 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 25 解 1 抛物线 y ax2 bx 3 经过点 A 3 0 B 1 0 两 2 2 点 03 0339 ba ba 解得 a 1 b 4 抛物线解析式为 y x2 4x 3 2 由 1 配方得 y x 2 1 2 抛物线的顶点 M 2 1 直线 OD 的解析式为 y x 2 1 于是设平移后的抛物线的顶点坐标为 h h 2 1 平移后的抛物线解析式为 y x h h 2 2 1 当抛物线经过点 C 时 C 0 9 h h 9 解得 h 2 2 1 4 1451 当 x 时 平移的抛物线与射线 CD 含端点 C 只有一个公共 4 1451 4 1451 点 当抛物线与直线 CD 只有一个公共点时 由方程组 92 2 1 2 xy hhxy 得 x 2h 2 x h h 9 0 22 2 1 2h 2 4 h h 9 0 22 2 1 解得 h 4 此时抛物线 y x 4 2 与射线 CD 只有唯一一个公共点为 3 3 符合题意 2 综上所述 平移的抛物线与射线 CD 含端点 C 只有一个公共点时 顶点横坐标 h 的取值 范围为 h 4 或 x 4 1451 4 1451 3 设直线 EF 的解析式为 y kx 3 k 0 点 E F 的坐标分别为 m m n n 22 由 得 x kx 3 0 m n k m n 3 3 2 kxy xy 2 作点 E 关于 y 轴的对称点 R m m 作直线 FR 交 y 轴于点 P 2 由对称性知 EFP FPQ 此时 PEF 的内心在 y 轴上 点 P 即为所求的点 由 F R 的坐标可得直线 FR 的解析式为 y n m x mn记 y n m x 3 当 x 0 时 y 3 p 0 3 y 轴的负半轴上存在点 P 0 3 使 PEF 的内心在 y 轴上 25 本题满分 12 分 如图 抛物线经过 A 1 0 C 2 3 3 2 1 2yaxaxb 3 2 两点 与 x 轴交于另一点 B 1 求此地物线的解析式 2 若抛物线的顶点为 M 点 P 为线段 OB 上一动点 不与点 B 重合 点 Q 在线段 MB 上移动 且 MPQ 45 设线段 OP x MQ 求 y2与 x 的函数关系式 并直 2 2 2 y 接写出自变量 x 的取值范围 3 在同一平面直角坐标系中 两条直线 x m x n 分别与抛物线交于点 E G 与 2 中的函数图象交于点 F H 问四边形 EFHG 能否为平行四边形 若能 求 m n 之 间的数量关系 若不能 请说明理由 备用图 25 如果抛物线的顶点在抛物线上 同时 抛物线的顶点在抛物线上 那么 1 C 2 C 2 C 1 C 我们称抛物线与关联 1 C 2 C 1 已知抛物线 判断下列抛物线 12 2 xxy12 2 xxy 与已知抛物线 是否关联 并说明理由 12 2 xxy 2 抛物线 动点P的坐标为 t 2 将抛物线绕点P t 2 旋转 1 C2 1 8 1 2 xy 得到抛物线 若抛物线与关联 求抛物线的解析式 180 2 C 1 C 2 C 2 C 3 A为抛物线 的顶点 B为与抛物线关联的抛物线顶点 是否存 1 C2 1 8 1 2 xy 1 C 在以AB为斜边的等腰直角 使其直角顶点C在轴上 若存在 求出C点的坐ABC y 标 若不存在 请说明理由 25 本题满分 12 分 抛物线 2 6 3ya x 与x轴相交于A B两点 与y轴相 交于C D为抛物线的顶点 直线DEx 轴 垂足为E 2 3AEDE 1 求这个抛物线的解析式 2 P为直线DE上的一动点 以PC为斜边构造直角三角形 使直角顶点落在x轴上 若在x轴上的直角顶点只有一个时 求点P的坐标 3 M为抛物线上的一动点 过M作直线MNDM 交直线DE于N 当M点在 抛物线的第二象限的部分上运动时 是否存在使点E三等分线段DN的情况 若存在 请 求出所有符合条件的M的坐标 若不存在 请说明理由 D B A O C M 25 12 分 如图直角坐标系中 以 M 3 0 为圆心的 M 交 x 轴负半轴于 A 交 x 轴正半轴于 B 交 y 轴于 C D 1 若 C 点坐标为 0 4 求点 A 坐标 2 在 1 的条件下 在 M 上 是否存在点 P 使 CPM 45 若存在 求出满足条件 的点 P 3 过 C 作 M 的切线 CE 过 A 作 A