2013年全国各地中考开放性问题

开放性问题开放性问题 一 选择题 二 填空题 1 2013 徐州 13 3 分 请写出一个是中心对称图形 的几何图形的名称 考点 中心对称图形 专题 开放型 分析 常见的中心对称图形有 平行四边形 正方形 圆 菱形 写出一个即可 解答 平行四边形是中心对称图形 故答案可为 平行 四边形 点评 本题考查了中心对称图形的知识 同学们需要记忆一些常见的中心对称图形 2 2013 上海市 上海市 15 4 分分 如图 3 在 ABC和 DEF中 点 B F C E 在 同一直线上 BF CE AC DF 请添加一个条件 使 ABC DEF 这个添加的条 件可以是 只需写一个 不添加辅助线 3 2013 四川巴中 四川巴中 14 3 分 分 如图 已知点 B C F E 在同一直线上 1 2 BC EF 要使 ABC DEF 还需添加一个条件 这个条件可以是 CA FD 只需写出一个 考点 全等三角形的判定 专题 开放型 分析 可选择添加条件后 能用 SAS 进行全等的判定 也可以选择 AAS 进行添加 解答 解 添加 CA FD 可利用 SAS 判断 ABC DEF 故答案可为 CA FD 点评 本题考查了全等三角形的判定 解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理 本题 答案不唯一 4 2013 江西南昌 15 3 分 若一个一元二次方程的两个根分别是 Rt ABC 的两条直角 边长 且 S ABC 3 请写出一个符合题意的一元二次方程 答案答案 x2 5x 6 0 解析解析 先确定两条符合条件的边长 再以它为根求作一元二次方程 方法指导方法指导 本题是道结论开放的题 答案不唯一 已知直角三角形的面积为 3 直角边 长未定 要写一个两根为直角边长的一元二次方程 我们尽量写边长为整数的情况 即保 证方程的根为整数 如直角边长分别为 2 3 的直角三角形的面积就是 3 以 2 3 为根的 一元二次方程为 2 560 xx 也可以以 1 6 为直角边长 得方程为 2 760 xx 5 20132013 山东菏泽 山东菏泽 1212 3 3 分 分 我们规定 将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线 叫做该平面图形的 面线 面线 被这个平面图形截得的线段叫做该图形的 面径 例如圆的直径就是它的 面径 已知等边三角形的边长为 2 则它的 面径 长可以 是 写出 1 个即可 答案 3或2 写出 1 个即可 解析 1 根据 三线合一 等可知 面径为底边上的高 h 312 22 h 2 与一边平行的线段 如图 设 DE x 因为 ADE 与四边形 DBCE 面积要相等 根据三角形相似性质 有 2 1 2 2 x 解得 x 2 综上所述 所以符合题意的面径只有这两种数量关系 方法指导 根据规定内容的定义 思考要把边长为 2 的等边三角形分成面积相等的两部 分的直线存在有两种情形 1 高 中线 角平分线 所在线 2 与一边平行的线 要 把一个三角形面积进行两等份 这样的直线有无数条 都过这个三角形三边中线的交点 重心 经过计算无数条中等边三角形 面径 长只有上述两种情形 三 解答题 1 2013 山西 山西 25 13 分 分 本题 13 分 数学活动数学活动 求重叠部分的面积 求重叠部分的面积 问题情境问题情境 数学活动课上 老师出示了一个问题 如图 将两块全等的直角三角形纸片 ABC 和 DEF 叠放在一起 其中 ACB E 90 BC DE 6 AC FE 8 顶点 D 与边 AB 的中点重合 DE 经过点 C DF 交 AC 于点 G 求重叠部分 DCG 的面积 1 独立思考 请解答老师提出的问题 解析 解 ACB 90 D 是 AB 的中点 DC DB DA B DCB G E F C B A D 又 ABC FDE FDE B FDE DCB DG BC AGD ACB 90 DG AC 又 DC DA G 是 AC 的中点 CG 1 2 AC 1 2 8 4 DG 1 2 BC 1 2 6 3 SDCG 1 2 CG DG 1 2 4 3 6 2 合作交流 希望 小组受此问题的启发 将 DEF 绕点 D 旋转 使 DE AB 交 AC 于 点 H DF 交 AC 于点 G 如图 2 你能求出重叠部分 DGH 的面积吗 请写出解答过程 解析 解法一 ABC FDE B 1 3 2 1 G H E FC B A D C 90 ED AB A B 90 A 2 90 B 2 1 2 GH GD A 2 90 1 3 90 A 3 AG GD AG GH 点 G 是 AH 的中点 在 Rt ABC 中 AB 10 D 是 AB 的中点 AD 1 2 AB 5 在 ADH 与 ACB 中 A A ADH ACB 90 ADH ACB AD AC DH CB 5 8 6 DH DH 15 4 S DGH 1 2 S ADH 1 2 1 2 DH AD 1 4 15 4 5 75 16 25 题 1 25 题 2 解法二 同解法一 G 是 AH 的中点 3 2 1 G H E FC B A D 连接 BH DE AB D 是 AB 的中点 AH BH 设 AH x 则 CH 在 Rt BCH 中 CH2 BC2 BH2 即 8 x 2 36 x2 解得 x S ABH AH BC 1 2 25 4 6 75 4 S 1 2 S ADH 1 2 1 2 S ABH 1 4 75 4 75 16 3 2 1 N M G H E F C B A D 解法三 同解法一 1 2 连接 CD 由 1 知 B DCB 1 1 2 B DCB DGH BDC 作 DM AC 于点 M CN AB 于点 N D 是 AB 的中点 ACB 90 CD AD BD 点 M 是 AC 的中点 DM 1 2BC 1 2 6 3 在 Rt ABC 中 AB 2222 86ACBC 10 1 2 AC BC 1 2 AB CN CN 8 624 105 ACBC AB DGH BDC 2 DGH BCDC SDM SCN A A 2 DGHBCDC DM SS CN AA 2 1 2 DM BD CN CN 25 题 2 25 题 2 2 312575 5 25 2416 4 DGH S A 3 提出问题提出问题 老师要求各小组向 希望 小组学习 将 DEF 绕点 D 旋转 再提出一个求 重叠部分面积的问题 爱心 小组提出的问题是 如图 3 将 DEF 绕点 D 旋转 DE DF 分别交 AC 于点 M N 使 DM MN 求重叠部分 DMN 的面积 任务 请解决 爱心 小组所提出的问题 直接写出 DMN 的面积是 请你仿照以上两个小组 大胆提出一个符合老师要求的问题 并在图中画出图形 标明 字母 不必解答 注 也可在图 1 的基础上按顺时针方向旋转 N M E F C B A D N M E F C B A D 答案 75 16 注 此题答案不唯一 语言表达清晰 准确得 1 分 画图正确得 1 分 重叠部分未涂阴 影不扣分 示例 如图 将 DEF 绕点 D 旋转 使 DE BC 于点 M DF 交 AC 于点 N 求 重叠部分 四边形 DMCN 的面积 2 2013 潍坊 24 13 分 如图 抛物线cbxaxy 2 关于直线1 x对称 与坐标 轴交于CBA 三点 且4 AB 点 2 3 2 D在抛物线上 直线是一次函数 25 题 3 25 题 4 02 kkxy的图象 点O是坐标原点 1 求抛物线的解析式 2 若直线平分四边形OBDC的面积 求k的值 3 把抛物线向左平移 1 个单位 再向下平移 2 个单位 所得抛物线与直线交于 NM 两点 问在y轴正半轴上是否存在一定点P 使得不论k取何值 直线PM与 PN总是关于y轴对称 若存在 求出P点坐标 若不存在 请说明理由 答案 1 因为抛物线关于直线 x 1 对称 AB 4 所以 A 1 0 B 3 0 由点 D 2 1 5 在抛物线上 所以 5 124 0 cba cba 所以 3a 3b 1 5 即 a b 0 5 又1 2 a b 即 b 2a 代入上式解得 a 0 5 b 1 从而 c 1 5 所以 2 3 2 1 2 xxy 2 由 1 知 2 3 2 1 2 xxy 令 x 0 得 c 0 1 5 所以 CD AB 令 kx 2 1 5 得 l 与 CD 的交点 F 2 3 2 7 k 令 kx 2 0 得 l 与 x 轴的交点 E 0 2 k 根据 S四边形 OEFC S四边形 EBDF得 OE CF DF BE 即 5 11 2 7 2 2 3 2 72 k kkkk 解得 3 由 1 知 2 1 2 1 2 3 2 1 22 xxxy 所以把抛物线向左平移 1 个单位 再向下平移 2 个单位 所得抛物线的解析式为 2 2 1 xy 假设在 y 轴上存在一点 P 0 t t 0 使直线 PM 与 PN 关于 y 轴对称 过点 M N 分别 向 y 轴作垂线 MM1 NN1 垂足分别为 M1 N1 因为 MPO NPO 所以 Rt MPM1 Rt NPN1 所以 1 1 1 1 PN PM NN MM 1 不妨设 M xM yM 在点 N xN yN 的左侧 因为 P 点在 y 轴正半轴上 则 1 式变为 N M N M yt yt x x 又 yM k xM 2 yN k xN 2 所以 t 2 xM xN 2k xM xN 2 把 y kx 2 k 0 代入 2 2 1 xy 中 整理得 x2 2kx 4 0 所以 xM xN 2k xM xN 4 代入 2 得 t 2 符合条件 故在 y 轴上存在一点 P 0 2 使直线 PM 与 PN 总是关于 y 轴对称 考点 本题是一道与二次函数相关的压轴题 综合考查了考查了二次函数解析式的确定 函数图象交点及图形面积的求法 三角形的相似 函数图象的平移 一元二次方程的解法 等知识 难度较大 点评 本题是一道集一元二次方程 二次函数解析式的求法 相似三角形的条件与性质以 及质点运动问题 分类讨论思想于一体的综合题 能够较好地考查了同学们灵活应用所学 知识 解决实际问题的能力 问题设计富有梯度 由易到难层层推进 既考查了知识掌握 也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成 3 2013 江西南昌 18 6 分 先化简 再求值 1 2 2 44 2 22 x xx x xx 在 0 1 2 三个数中选一个合适的 代入求值 思路分析思路分析 先将分式的分子分母因式分解 再将除法运算转化为乘法运算 约分后得到 2 1 2 x 可通分得 222 1 2222 xxx 也可将 2 2 x 化为1 2 x 求解 解解 原式 x x 2 2 2 2 2 xx x 1 1 2 x x 2 x 当 x 1 时 原式 2 1 方法指导方法指导 本题考查的是分式的化简求值 涉及因式分解 约分等运算知识 要求考生 具有比较娴熟的运算技能 化简后要从三个数中选一个数代入求值 又考查了考生的细心 答题的态度 这个陷阱隐蔽但不刁钻 看到分式 必然要注意分式成立的条件 4 2013 山东德州山东德州 22 10 分 分 设 A 是由 2 4 个整数组成的 2 行 4 列的数表 如果某一行 或某一列 各数之和为负数 则改变该行 或该列 中所有数的符号 称为一次 操作 1 数表 A 如表 1 所示 如果经过两次 操作 使得到的数表每行的各数之和与每列的 各数之和均为非负整数 请写出每次 操作 后所得的数表 写出一种方法即可 2 数表 A 如表 2 所示 若经过任意一次 操作 以后 便可使得到的数表每行的各数之 和与每列的各数之和均为非负整数 求整数 a 的值 思路分析 1 根据提供信息 理解题目要达到要求 答案不唯一 属于开放题 2 分 析各行 各列上数字和情况 同时注意其和要符合非负数 0 解 1 法 1 法 2 写出一种即可 2 每一列所有数之和分别为 2 0 2 0 每一行所有数之和分别为 1 1 如果操作第三列 则 则第一行之和为